第09讲 二次函数与幂函数-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.二次函数的图象和性质
2.幂函数
(1)定义:一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
常用结论
1.二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.一元二次不等式恒成立的条件:
(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”;
(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.
分类训练
探究点一 幂函数的图象和性质
1.已知幂函数y=xn在第一象限内的图象如图2-9-2所示.若n∈2,−2,12,-12,则与曲线C1,C2,C3,C4对应的n的值依次为( )
图2-9-2
A.-12,-2,2,12B.2,12,-2,-12
C.2,12,-12,-2D.-12,-2,12,2
2.(多选题)若函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且f(x)的图象与坐标轴无交点,则f(x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是其定义域上的增函数
D.没有最小值
3.若0A.mC.y [总结反思] 幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.
探究点二 二次函数的解析式
例1 (1)已知抛物线y=ax2+bx+c经过P(1,1),Q(2,-1)两点,且抛物线在点Q处的切线平行于直线y=x-3,则抛物线的方程为( )
A.y=3x2-11x+9
B.y=3x2+11x+9
C.y=3x2-11x-9
D.y=-3x2-11x+9
(2)已知二次函数y=f(x)图象的顶点坐标为-32,49,且方程f(x)=0的两个实根之差的绝对值等于7,则此二次函数的解析式是 .
[总结反思] 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式.
变式题 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则此二次函数的解析式为 .
探究点三 二次函数的图象与性质问题
微点1 通过图象识别二次函数
例2 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2-9-3所示.给出下列说法:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a.其中说法正确的是 .(填序号)
图2-9-3
[总结反思] 一般地,给出了二次函数的图象,我们可以从图象中得到下列信息:(1)开口方向;(2)判别式的正负;(3)对称轴方程;(4)特殊点的函数值的大小(正负).
微点2 二次函数的单调性问题
例3 (1)若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是( )
A.-113,-3B.[-6,-4]
C.[-3,-22]D.[-4,-3]
(2)已知函数f(x)=2x2-kx-4在区间[-2,4]上具有单调性,则k的取值范围是 .
[总结反思] 对于二次函数的单调性,关键是确定其图象的开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解.
微点3 二次函数的最值问题
例4 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上的最大值为2,则a的值为 .
[总结反思] 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
微点4 二次函数的恒成立与存在性问题
例5 已知f(x)=x2+2x+1+a,若对任意的x∈R,f[f(x)]≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.5-12,+∞B.5-32,+∞
C.[-1,+∞)D.[0,+∞)
[总结反思] 由不等式恒成立求参数取值范围一般有两个解题思路:一是分离参数,二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值,若不分离参数,则一般需要对参数进行分类讨论求解;若分离参数,则a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
▶ 应用演练
1.【微点1】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2-9-4所示,则下列说法中正确的是( )
图2-9-4
A.a>0
B.当x>1时,y随x的增大而增大
C.c<0
D.3是方程ax2+bx+c=0的一个根
2.【微点3】已知函数f(x)=x2-6x+8,且函数f(x)在[1,a]上的最小值为f(a),则实数a的取值范围是( )
A.(1,2]B.(1,3]
C.(1,4]D.(1,5]
3.【微点4】已知函数f(x)=x2+x+6,若存在x0∈[0,2],使得f(x0)≥a2-a成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,4]
B.[-2,3]
C.(-∞,-2]∪[3,+∞)
D.(-∞,-3]∪[4,+∞)
4.【微点3】已知a∈R,函数f(x)=|x2-4x+3-a|+a在区间[0,4]上的最大值是3,则实数a的取值范围是( )
A.[1,3]B.(-∞,3]
C.(-∞,1]D.[0,1]
5.【微点2】(多选题)已知函数f(x)=-x2+2x+1的定义域为(-2,3),则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-1]B.(-3,-1]
C.[0,1]D.[1,3)
6.【微点4】已知f(x)=ax2+bx-1(x∈R).
(1)若f(x)>0的解集是{x|1(2)当b=2时,对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
同步作业
1.已知幂函数f(x)=(m2-6m+9)xm2-3m+1在(0,+∞)上单调递增,则m的值为( )
A.2B.3
C.4D.2或4
2.已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为( )
A.{0,-3}
B.[-3,0]
C.(-∞,-3]∪[0,+∞)
D.{0,3}
3.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是( )
图K9-1
4.已知二次函数f(x)=ax2+bx在[1,+∞)上单调递减,则a,b应满足的约束条件为( )
A.a≠0,2a+b≥0B.a<0,2a+b≥0
C.a≠0,2a+b≤0D.a<0,2a+b≤0
5.已知二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的对称轴方程是x=1,且图象过点P(-1,7),则a,b的值分别是( )
A.2,4B.-2,4
C.2,-4D.-2,-4
6.-23 23,25 -23,23 13的大小关系为( )
A.25 -23>23 13>-23 23
B.-23 23>23 13>25 -23
C.23 13>-23 23>25 -23
D.25 -23>-23 23>23 13
7.已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,则α= .
8.函数y=1-|x-x2|的图象大致是( )
图K9-2
9.已知幂函数g(x)=(2a-1)xa+1的图象过函数f(x)=mx-b-12(m>0且m≠1)的图象所经过的定点,则b的值为( )
A.±12B.±22
C.2D.±2
10.已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是( )
A.(1,3]B.[2,3]
C.(1,2]D.(2,3)
11.(多选题)下列关于二次函数y=(x-2)2-1的说法正确的是( )
A.∀x∈R,y=(x-2)2-1≥1
B.∀a>-1,∃x∈R,y=(x-2)2-1C.∀a<-1,∃x∈R,y=(x-2)2-1=a
D.∃x1≠x2,(x1-2)2-1=(x2-2)2-1
12.已知函数f(x)=-2x2+bx+c在x=1时有最大值1,若0A.3+32B.3−32
C.32D.53
13.若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上的偶函数,则函数f(x)的最大值为 .
14.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2时,求函数f(x)在[-2,3]上的最值;
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
15.已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,函数y=f(x)的图象恒在y=3x+m的图象的上方,试确定实数m的取值范围.
16.(多选题)当x∈[0,1]时,下列关于函数f(x)=(mx-1)2的图象与g(x)=x+m的图象交点个数的说法错误的是( )
A.当m∈[0,1]时,有两个交点
B.当m∈(1,2]时,没有交点
C.当m∈(2,3]时,有且只有一个交点
D.当m∈(3,+∞)时,有两个交点
17.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1,则当x∈[-2,2]时,f(x)的最大值为 .
解析式
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域


单调性
在 上单调递减,在-b2a,+∞上单调递增
在 上单调递增,在-b2a,+∞上单调递减
顶点坐标

奇偶性
当 时为偶函数
对称轴
方程
x=-b2a
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x12
y=x-1
图象
性
质
定义域
R
R
R


值域
R

R


奇偶性
函数
函数
函数

函数
函数
单调性
在R上单
调递增
在 上
单调递减;
在 上
单调递增
在R上
单调递增
在
上单调
递增
在
和 上
单调递减
公共点