专练05 解三角形“热考”十点-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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热点一
三角形中边角计算
1．（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
2.（2020·全国·统考高考真题）在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
3．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
4.（2020·山东·统考高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；
【详解】，，
，
，
，，
，
，
故选：A.
5.（2021·浙江·统考高考真题）在中，，M是的中点，，则 ， .
【答案】
【分析】由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.
【详解】由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
【规律方法】
1.已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
②求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
已知三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角．
热点二
判断三角形的形状
6.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccsBcsC，试判断△ABC的形状．
【答案】直角三角形．
【解析】解法一：∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccsBcsC，
∴利用正弦定理可得
sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinB·sinC·csB·csC，
∵sinBsinC≠0，∴sinB·sinC＝csBcsC，∴cs(B＋C)＝0，∴csA＝0，
∵0解法二：已知等式可化为b2－b2cs2C＋c2－c2·cs2B＝2bccsBcsC，
由余弦定理可得b2＋c2－b2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))2－c2·(eq \f(a2＋c2－b2,2ac))2
＝2bc·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
解法三：已知等式变形为b2(1－cs2C)＋c2(1－cs2B)＝2bccsB·csC，
∴b2＋c2＝b2cs2C＋c2cs2B＋2bccsB·csC，
∵b2cs2C＋c2cs2B＋2bccsBcsC＝(bcsC＋ccsB)2＝a2，
∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
7.（2020·全国·统考高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；
（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
【规律方法】
利用正弦定理判断三角形形状的方法：
(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．
(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如)，进而确定三角形的形状．
2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件．
热点三
三角形解的个数问题
8． (2016·全国卷Ⅰ文，4)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a＝eq \r(5)，c＝2，csA＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3)
C．2D．3
【答案】D
【解析】由余弦定理，得4＋b2－2×2bcsA＝5.整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq \f(1,3)(舍去)，故选D．
2.在△ABC中，已知sinC＝eq \f(1,2)，a＝2eq \r(3)，b＝2，求边c．
【解析】∵sinC＝eq \f(1,2)，且0∴C＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)．
当C＝eq \f(π,6)时，csC＝eq \f(\r(3),2)，
此时，c2＝a2＋b2－2abcsC＝4，即c＝2．
当C＝eq \f(5π,6)时，csC＝－eq \f(\r(3),2)，
此时，c2＝a2＋b2－2abcsC＝28，即c＝2eq \r(7)．
9．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在中，角所对的边分别为，且__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案.
（2）将代入正弦定理可得，要使角有两解，即，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）若选①：整理得，因为，
所以，因为，所以；
若选②：因为，
由正弦定理得，
所以，所以，因为，所以；
若选③：由正弦定理整理得，所以，
即，因为，所以；
（2）将代入正弦定理，得，所以，
因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，所以，
即，又，所以，解得.
【方法技巧】
三角形解的个数的判断
在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍．具体解的情况如下表：
上表中若A为锐角，则当a热点四
解三角形与平面向量的交汇
10．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
11.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意，所以，
即，所以，所以，
又，，
则，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，，
所以当取最大值时，.
12．【多选题】（2023·浙江·二模）在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据条件，结合余弦定理求得，再建立不等关系，判断选项.
【详解】设，，，，
由条件可知，，
中，，
中，
，
所以，
，得，即，故B正确；
，
所以.
故选：BD
【点评】
1.交汇考向主要有：（1）向量坐标运算条件下解三角形问题；（2）三角形中向量运算问题；（3）共线向量条件下解三角形问题；（4）向量的模与解三角形问题.
2.解答的总体思路可归结为三个环节：（1）根据向量运算的定义、法则、运算律等，加以计算；（2）应用三角公式，进行变形进而完成化简；（3）应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，实施边角转化.就整体而言，正确向量运算、恒等变形是基础，恰当的边角转化是关键，考查的核心是解三角形、三角问题，向量运算是工具.应该注意的是，向量运算条件的给出，也可能是向量平行、垂直，需根据相关条件加以转化.
热点五
解三角形与解析几何交汇问题
13．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.
【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，

则①，即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，
而，所以，
即，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解.
15.（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 ．
【答案】8
【分析】先设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，，再由正弦定理得到，得到，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出，进而求出，.
【详解】由题意得，，当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
故设直线的方程为，不妨设，
联立，可得，易得，
设，则，
则，
则，
，
由正弦定理得，，
因为，，
所以，，即，
又由焦半径公式可知，
则，即，
即，解得，
则，解得，
故，
当时，同理可得到.

故答案为：8
【点睛】方法点睛：解三角形中，当条件中有角平分线时，可利用正弦定理得到角平分线的性质，将角的关系转化为边的比例关系，再进行求解.
【点评】
1.与椭圆、双曲线的定义及几何性质相结合，在“焦点三角形”中，综合应用定义、正弦定理或余弦定理，确定几何量或几何量之间的关系，解决离心率（范围）计算问题，这类问题多以客观题出现；
2.直线与圆锥曲线位置关系问题中，通过交点等构造或产生三角形，计算三角形面积（最值）、线段长度等，这类问题多在主观题出现，解题过程往往通过直线与圆锥曲线方程联立方程组，应用判别式、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、正弦定理、余弦定理等.
热点六
解三角形与立体几何交汇问题
16.（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得，，从而得到，再在中利用余弦定理求得，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.
【详解】法一：
连结交于，连结，则为的中点，如图，
因为底面为正方形，，所以，则，
又，，所以，则，
又，，所以，则，
在中，，
则由余弦定理可得，
故，则，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面积为.
法二：
连结交于，连结，则为的中点，如图，
因为底面为正方形，，所以，
在中，，
则由余弦定理可得，故，
所以，则，
不妨记，
因为，所以，
即，
则，整理得①，
又在中，，即，则②，
两式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面积为.
故选：C.
17．（2023·全国·统考高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，
又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，

显然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，显然平面平面，
直线平面，则直线在平面内的射影为直线，
从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得，即，
显然是锐角，，
所以直线与平面所成的角的正切为.
故选：C
18．（2023·河南·校联考模拟预测）点是圆柱上底面圆周上一动点，是圆柱下底面圆的内接三角形，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，三棱锥的体积最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最大值，利用正弦定理可求得圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式可求得圆柱的高，进而可求得该三棱锥外接球的半径，结合球体表面积公式可求得结果.
【详解】在中，由余弦定理可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，，
设圆柱的高为，则，

因为三棱锥的体积的最大值为，则，所以，，
圆柱底面圆半径，
设三棱锥的外接球的半径为，则该三棱锥的外接球和圆柱的外接球为同一个球，
则，因此，三棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
【点评】
与立体几何的交汇问题，往往是利用几何体中存在的三角形，应用正弦定理或余弦定理，确定解题所需要的几何量，完成角的（函数值）的计算、面积计算等，有时与数学文化相结合，解决古典书籍中的问题，或与时俱进，解决现实生活中的立体几何问题，善于发现相关三角形或做辅助线构造三角形，是解题的重要基础.
热点七
正弦定理、余弦定理应用于平面几何问题
19．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
20.（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
【点评】
解三角形应用于平面几何问题的基本思路
（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
（3）特别提醒：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
热点八
三角形周长问题
21．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
22．（2022·北京·统考高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
热点九
三角形面积问题
23．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
24.（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
【点评】
三角形面积有关的问题解答步骤：
化简转化：根据条件，利用三角恒等变换公式，化简已知条件等式，再利用正弦定理、余弦定理化边、化角；
选择公式：多选择S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
求值（最值）.
热点十
三角形范围（最值）问题
25．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
26.（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
27.（2020·全国·统考高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【思路引导】（1）第一步，应用正弦定理角化边；第二步，应用余弦定理求，进而求得；
（2）重点分析方法一：由于已知，因此，主要任务是确定的最值.第一步，应用余弦定理并化简可得；第二步，利用基本不等式求得的最大值，进而得到结果.
【解析】
（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【交汇点阐释】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题，这里提供了三种解法，各具特点.其中，方法一：求解周长最大值的关键是能够在应用余弦定理得到的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值，易错点是“=”成立的条件是否具备. 方法二：采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决，这种解法易错点是确定角的范围. 方法三：将化为．巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题，难点在于等式的转化.总之，恰当的边角转化、恒等变形是关键，也是考查的核心.根据等式的结构，联想应用基本不等式是难点.
28.（2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）在①；②；③向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______.
(1)求角C；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先选择条件，再根据三角形的正、余弦定理，求出角C；
（2）根据题（1）在结合余弦定理以及三角形的三边关系，得出b的范围，进而求出面积的取值范围.
【详解】（1）若选择①：由①及正弦定理可得，即，
由余弦定理得，又，
∴.
若选择②：由②及正弦定理得， 所以，
即，由，
∴，又，
故.
若选择③：由③可得，∴，
∴，又，.
（2）由已知及余弦定理可得，
由为锐角三角形可得且，
解得，
所以面积.
【点评】
1.边角、周长问题：利用正弦定理余弦定理灵活的进行边角转化，如果转化成 “边”的表达式，应用基本不等式求最值（范围）；如果转化成三角函数表达式，应用二次函数的性质或应用三角函数的性质求解.
2.面积问题求解基本步骤：一是应用正弦定理、余弦定理实施边角转化；二是确定三角形面积的表达式；三是应用均值不等式或三角函数性质求其最值（范围）.A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解