专练06 数列考查的九个热点-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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热点一
等差数列的基本计算
1．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知等差数列为递增数列，为其前项和，，则（ ）
A．516B．440C．258D．220
2（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm，满盘时直径为120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约（ ）（，精确到1m）
A．65mB．85mC．100mD．120m
3.（2020·全国高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
4．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【规律方法】
1.等差数列中的基本量，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
2. 在等差数列{an}中，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与am有关的条件；若求am项，可由am＝ eq \f(1,2)(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋am＋n的值．
3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.
热点二
等比数列的基本计算
5．（2020·全国·统考高考真题）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
6.（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（ ）
A．B．C．D．
7.（2023·全国高考真题）已知为等比数列，，，则______.
【规律方法】
1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.
热点三
等差数列与等比数列的综合计算
8．（2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
9．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
10．（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
热点四
数列与函数的交汇
11．（2018·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A．B．C．D．
12．（2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：交于点和，则 .
（参考数据：取.）
13.（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知数列满足，.
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
14.（2023·全国·高三专题练习）已知、是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且．
(1)求的值及的值；
(2)已知，当时，，设，数列的前项和，若存在正整数，，使得不等式成立，求和的值；
【点评】
作为高考热点，数列与函数的交汇问题，等差数列易于同二次函数结合，研究和的最值问题，而等比数列易于同指数函数结合，利用指数函数的单调性解决问题，递推、通项问题往往与函数的单调性、周期性相结合.
热点五
数列与不等式交汇
15．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
16.（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为．以此类推，操作次，若，则的最小值是（ ）

A．9B．10C．11D．12
17．（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且
(1)求的通项公式，
(2)设，且的前项和为，证明，.
18.（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
19．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
20.（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.
(1)若，，求；
(2)若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.
21.（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，，，，数列满足.
(1)求和的通项公式；
(2)证明：.
【点评】
作为高考热点，数列与不等式的交汇问题，往往综合考查等差数列、等比数列及其求和，结论类型灵活，有不等式的证明、参数范围的确定、有求最值问题、还有“恒成立”问题等.
热点六
数列与解析几何交汇
22.（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
23.（重庆·高考真题）设是右焦点为F的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件
24.（2021·浙江·统考高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
【点评】
数列与解析几何的交汇问题，近几年多以客观题出现，几何量成等差数列或等比数列，探索其它几何量的关系或研究曲线的特征等.
热点七
数列与概率统计交汇
25．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）甲同学现参加一项答题活动，其每轮答题答对的概率均为，且每轮答题结果相互独立.若每轮答题答对得5分，答错得0分，记第轮答题后甲同学的总得分为，其中.
(1)求；
(2)若乙同学也参加该答题活动，其每轮答题答对的概率均为，并选择另一种答题方式答题：从第1轮答题开始，若本轮答对，则得20分，并继续答题；若本轮答错，则得0分，并终止答题，记乙同学的总得分为.证明：当时，.
26．（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）在正三棱柱中，点处有一只小蚂蚁，每次随机等可能地沿各条棱或侧面对角线向另一顶点移动，设小蚂蚁移动次后仍在底面的顶点处的概率为.

(1)求，的值.
(2)求.
27．（2019·全国·高考真题（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【点评】
数列与概率统计的交汇问题，近几年多在主观题中出现，与数列的综合运算相结合等.
热点八
等差数列、等比数列的判断与证明
28．【多选题】（2022·广东茂名·模拟预测）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为
D．
29.（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
热点九
数列中的“新定义”问题
30．（2020·全国·统考高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A．B．C．D．
31.【多选题】（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．；
B．1225既是三角形数，又是正方形数；
C．；
D．，总存在，，使得成立；
32．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）若项数为的数列满足：我们称其为项的“对称数列”．例如：数列为项的“对称数列”；数列为项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中是公差为的等差数列，数列的最大项等于，记数列的前项和为，若，则 ．