山东省临沂市临沭县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省临沂市临沭县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了 下列事件中，属于随机事件的是， 如图，在中，，，，则的值是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置，答案全部填涂在答题卡上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 地球绕着太阳转B. 从装有黑球，白球的袋里摸出红球
C. 天空出现三个太阳D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【详解】解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故A不符合题意；
B、从装有黑球，白球的袋里摸出红球是不可能事件，故B不符合题意；
C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D符合题意．
故选：D．
2. 下列几何图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此判断即可．
【详解】A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
3. 如图，在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接运用正切的定义解答即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了正切的定义，在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么角A的对边与邻边的比值随之确定,这个比叫做角A的正切．
4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程无实根；由此即可求解，掌握根与系数的关系的运用是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实根，
故选：．
5. 如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质和对称的性质得到AD=BC和，再根据相似的性质可得到ABBC=ADAE，继而可得到 的值．
【详解】解：∵ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F，
∴ ，
∵矩形AEFD与矩形ABCD相似，
∴ ABBC=ADAE，
∴ ，
，
，
∴，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、相似多边形的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
6. 如图，点在二次函数的图象上，则方程解的一个近似值可能是（ ）
A. 2.18B. 2.68C. -0.51D. 2.45
【答案】D
【解析】
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．
【详解】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，-0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x=2.18时，y=-0.51；x=2.68时，y=0.54，
∴当y=0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．
7. 如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建九块形状大小相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，停车区域之间留有宽度相等的行车通道（阴影部分），求行车通道的宽度是多少？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意得到停车区域的总长和总宽，再利用停车区域面积总和为，即可列出方程解题．
【详解】解：由图可知，矩形空地每条边上都有两条宽的行车通道，
又停车区域面积总和为，矩形空地长为，宽为，
停车区域的总长和总宽分别为和，
可列方程得：，
故选：A．
8. 下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A. 点在函数图象上B. 开口方向向上
C. 对称轴是直线D. 与直线有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．求出时，的值即可判断选项A；根据即可判断选项B；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项C；联立二次函数与直线可得一个关于的一元二次方程，由此即可判断选项D．
【详解】解：当时，，
则点不在函数图象上，选项A错误；
∵，
∴抛物线的开口方向向下，选项B错误；
，
则对称轴是直线，选项C错误；
联立，得，
解得，
则与直线有两个交点，选项D正确；
故选：D．
9. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，根据题意，反比例函数的比例系数，图像在每个象限，函数值随自变量的增大而增大，由此即可求解，掌握反比例函数图象的性质，增减性比较自变量、函数值的大小的知识是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，且当时，；当时，；
∵，即，
∴，
∴，
故选：．
10. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质即可解答．
【详解】根据题意，由旋转的性质，
可得，，，
无法证明，，故B选项和D选项不符合题意，
，故C选项不符合题意，
，故A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．
11. 如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则的值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是点的坐标，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键．点关于轴的对称点为，根据反射的性质得，反射光线所在直线过点和，求出的解析式为：，再根据反射后经过点，，即可求出答案．
【详解】解：点关于轴的对称点为，
反射光线所在直线过点和，
设的解析式为：，过点，
，
，
的解析式为：，
反射后经过点，
，
．
故选：B．
12. 在平面直角坐标系中，A，B，C，点P为任意一点，已知PA⊥PB，则线段PC的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】连接OC、OP、PC由PA⊥PB可得点P在以O为圆心，AB长为直径的圆上；再根据三角形的三边关系可得CP≤OP+OC，则当当点P，O，C在同一直线上， CP的最大值为OP+OC的长，然后进行计算即可.
详解】解：如图所示，连接OC、OP、PC
∵PA⊥PB，
∴点P在以O为圆心，AB长为直径的圆上，
∵△COP
∴CP≤OP+OC，
∴当点P，O，C在同一直线上，且点P在CO延长线上时，CP的最大值为OP+OC的长，
又∵A（-3，0），B（3，0），C（3，4），
∴AB=6，OC=5，OP=AB=3，
∴线段PC的最大值为OP+OC=3+5=8，
故答案为C．
【点睛】本题考查了90°所对的弦为圆的直径、三角形的三边关系以及最短路径问题，其中确定最短路径是解答本题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．

【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【解析】
【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
14. 一元二次方程的两根为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数关系即可解答，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
故答案为：．
15. 如图，是劣弧上一点，，则劣弧的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、弧长的计算，作圆周角，使在优弧上，根据圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理得出，最后由弧长公式进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作圆周角，使在优弧上，
，
四点共圆，，，
，
，
劣弧的长度为：，
故答案为：．
16. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②△AEF∽△ACD；③S△BCE＝36；④S△ABE＝12．其中一定正确的是_____（填序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】由AF∥BC，推出＝＝＝，＝（）2，求出△ABE，△BEC的面积即可判断；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，OA＝OC，
∵AE＝EO，
∴AE：EC＝1：3，
∵AF∥BC，
∴＝＝＝，＝（）2，
∴AF：AD＝1：3，
∴AF：DF＝1：2，故①正确，
∵S△AEF＝4，
∴S△AEB＝3×4＝12，S△EBC＝4×9＝36，
故③④正确，
∵EF不平行CD，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故②错误，
故答案为①③④．
【点睛】本题考查平行四边形相关性质并结合相似三角形相关性质进行分析.
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值，二次根式的混合运算及用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先计算特殊角三角函数值，再进行二次根式的混合运算，即得答案；
（2）先移项，再对方程左边因式分解，即得答案．
【详解】解：（1）原式=
；
（2）移项，得，
因式分解，得，
于是得或，
所以，．
18. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐子航和紫琪两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
（1）子航选择交通安全手抄报的概率为 ；
（2）求子航和紫琪选择同一主题手抄报的概率．（用树状图或列表法求解）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）子航从四个主题中随机选择一个，所有的结果数是4，其中选择交通安全手抄报的结果数是1，直接利用概率公式即可得解；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，两人恰好同一主题的结果有4种，然后由概率公式计算即可．
小问1详解】
解：子航选择交通安全手抄报的概率为：；
故答案：．
【小问2详解】
解：设用分别表示交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全四个主题内容，根据题意画出树状图如下：
一共有16种等可能的结果数，其中子航和紫琪选择同一主题手抄报的结果数为4，
子航和紫琪选择同一主题手抄报的概率为：．
答：子航和紫琪选择同一主题手抄报的概率为．
【点睛】此题考查了求随机事件的概率、画树状图法或列表法求概率，熟练画出树状图与运用概率公式是解答此题的关键．
19. 一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，和分别是两根不同长度的支撑杆，夹角．若，．问：当时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为多少？（参考数据：，，，．）
【答案】
【解析】
【分析】过O作，过A作，可得，利用等腰三角形的三线合一得到为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出h即可．
【详解】过O作，过A作，可得，
∵
∴平分，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
答：较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．
20. 如图，已知等腰三角形是线段上的一点，连接，且有．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求一个数的算术平方根的运用，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定方法即可求解；
（2）根据可得，则，再根据，可得，最后运用求一个数的算术平方根的方法即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），看弹簧测力计的示数（单位：）有什么变化，小明在做此活动时，得到下表的数据．
（1）表中第___________组数据是明显错误的；
（2）在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的函数解析式；
（3）若弹簧测力计的最大量程是，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）的值逐渐增大，逐渐减小，由此即可求解；
（2）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，由此即可求解；
（3）由（2）的函数解析式即可求解．
【小问1详解】
解：根据表格中数据趋势可知，的值逐渐增大，逐渐减小，
∴第组的数据错误，
故答案为：．
【小问2详解】
解：根据杠杆原理知，
∴F与L的函数解析式为．
【小问3详解】
解：当时，由得．
由题意可知，
∴根据反比例函数的图像与性质可得，L的取值范围为．
【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，理解题目中数量关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键．
22. 如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，．
（1）求证：平分；并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点，若，圆的半径长为8，求的长．
【答案】（1）见解析，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、角平分线的判定与性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆周角定理结合得出，即可得出平分，由角平分线的定义得出，再由圆内接四边形的性质得出，即可得解；
（2）证明出是等边三角形，得出，从而得出，再由圆内接四边形的性质求出，从而即可得解．
【小问1详解】
证明：，
，
平分，
平分，
，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知：，，
是圆的直径，，
，，
，
是等边三角形，
，
又平分，
，
，
，
，
，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
．
23. 【综合与实践】
为响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，我县各校开展了丰富多彩的社团活动．球类运动课上，甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，从侧面看乒乓球台如图所示，为球台，为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．以所在直线为轴，为原点作平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，段抛物线的表达式为，设段抛物线的表达式为．
（1）①点的坐标为______；
②用含的式子表示：点的坐标为______；点的坐标为______；
（2）当球在球网正上方时到达最高点，求此时球与的距离；
（3）若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍在处正上方如线段，将球拍向前水平推出接球，如果接住了球，求的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）此时球与的距离为
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，需认真审题，完成由实际问题到理论知识的转化，采用顺利解题．
（1）①依题意求得坐标即可；②求抛物线与轴的交点即可；
（2）先求出解析式，再求得球与的距离；
（3）将实际问题转化为求抛物线与直线的交点问题即可．
【小问1详解】
解：①点为中点，，，
，
，
故答案为：；
②，是轴与抛物线的交点，
令，则，
解得：，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：段抛物线与轴交于，
段抛物线的对称轴为直线：，
当球在上方到达最高点时，即，
，即：段抛物线为，
当时，，
．
此时球与的距离为；
【小问3详解】
解：∵球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，
∴球过，且最高点为1.25，
，
解得或14（舍去），
当时，
解得：或21，
又，，，
．
第组
第组
第组
第组