|试卷下载
终身会员
搜索
    上传资料 赚现金
    陕西省西安市阎良区关山中学2021-2022学年高二下学期期中数学(理科)试卷
    立即下载
    加入资料篮
    陕西省西安市阎良区关山中学2021-2022学年高二下学期期中数学(理科)试卷01
    陕西省西安市阎良区关山中学2021-2022学年高二下学期期中数学(理科)试卷02
    陕西省西安市阎良区关山中学2021-2022学年高二下学期期中数学(理科)试卷03
    还剩18页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    陕西省西安市阎良区关山中学2021-2022学年高二下学期期中数学(理科)试卷

    展开
    这是一份陕西省西安市阎良区关山中学2021-2022学年高二下学期期中数学(理科)试卷,共21页。试卷主要包含了满分,观察下列式子等内容,欢迎下载使用。


    1.(单选题.5分)若复数z=(3-4i)(1+i).则z在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限
    B.第二象限
    C.第三象限
    D.第四象限
    2.(单选题.5分)函数y=3x2-2x从1到2的平均变化率为( )
    A.5
    B.6
    C.7
    D.8
    3.(单选题.5分)在△ABC中.三条边的长分别为面积为S.则△ABC的内切圆半径 r=2Sa+b+c .类比这个结论.在四面体PABC中.六条棱的长分别为四个面的面积分别为体积为V.则四面体PABC的内切球半径为( )
    A. 2S1+S2+S3+S4a+b+c+d+e+f
    B. 2Va+b+c+d+e+f
    C. 3Va+b+c+d+e+f
    D. 3VS1+S2+S3+S4
    4.(单选题.5分)已知复数z满足|z-i|=2.且|z|=1.则z=( )
    A.1+i
    B.1-i
    C.-i
    D.i
    5.(单选题.5分)函数f(x)=x3-3x的极大值点是( )
    A.-2
    B.-1
    C.1
    D.2
    6.(单选题.5分)用数学归纳法证明不等式“ 1+12+13+…+12n<nn∈N,n≥2 ”时.由n=k(k≥2)时不等式成立.推证n=k+1时.左边增加的项数是( )
    A.2k-1
    B.2k-1
    C.2k
    D.2k+1
    7.(单选题.5分)已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+3q.单价p与产量q的函数关系式为 p=75−16q2 .则当利润最大时.q=( )
    A.8
    B.12
    C.16
    D.20
    8.(单选题.5分)已知复数 z=3−i3+i . z 为z的共轭复数.则 zz 的虚部为( )
    A. −12
    B. 32i
    C. 12
    D. 32
    9.(单选题.5分)观察下列式子:
    1×2=131×2×3−0×1×2 ;
    2×3=132×3×4−1×2×3 ;
    3×4=133×4×5−2×3×4 ;

    根据规律.则1×2+2×3+3×4+…+2021×2022=( )
    A. 13×2020×2021×2022
    B. 13×2021×2022×2023
    C. 132020×2021×2022−1×2×3
    D. 132021×2022×2023−1×2×3
    10.(单选题.5分)已知函数f(x)为奇函数.当x≥0时.f(x)=g(x).函数g(x)的导函数为g'(x).且g(x)=2xg'(1)+x2.则不等式f(x)>0的解集为( )
    A.(-4.0)∪(4.+∞)
    B.(-2.0)∪(2.+∞)
    C.(-4.0)∪(0.4)
    D.(-2.0)∪(0.2)
    11.(单选题.5分)甲、乙、丙、丁、戊五位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩.老师说:“你们五人中有两位获得一等奖.三位获得二等奖.”甲看了乙、丙的成绩后说:“我还是不知道我的成绩.”丁看了甲、戊的成绩后说:“你们俩的获奖情况一样.”根据以上信息.则( )
    A.丁一定获得一等奖
    B.丁一定获得二等奖
    C.乙、丁的获奖情况一定不一样
    D.乙、丁的获奖情况可以相同
    12.(单选题.5分)已知x1.x2是函数f(x)=x2-2ax+2lnx的两个极值点.且x1<x2.当 a≥52 时.不等式f(x1)≥mx2恒成立.则实数m的取值范围为( )
    A. (0,−98−ln2]
    B. (−∞,−98−ln2]
    C. [−98−ln2,0)
    D. [−98−ln2,+∞)
    13.(填空题.5分)设复数z满足 i+z1−z=i2023 .则|1+z|=___ .
    14.(填空题.5分)已知函数 fx=x−2x .则 Δx→0f1+2Δx−f13Δx =___ .
    15.(填空题.5分)若复数z满足|z+1-i|=1.则|z-2i|的最大值为 ___ .
    16.(填空题.5分)下面四个推理得出的结论正确的所有序号是 ___ .
    ① 函数f(x)=x3.因为f'(0)=0.所以x=0是f(x)的极值点.
    ② 在平面中.三角形的内角和是180°.四边形的内角和是360°.五边形的内角和是540°.由此得到凸多边形的内角和是(n-2)×180°.
    ③ 在△ABC中.D为BC的中点.则 AD=12AB+AC .类比到四面体A-BCD中.G为△BCD的重心.则 AG=13AB+AC+AD .
    ④ 在圆x2+y2=r2中.AB为直径.C为圆上异于A.B的任意一点.若AC.BC的斜率都存在.则kAC•kBC=-1.类比到椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 中.AB为过中心的一条弦.P为椭圆上异于A.B的任意一点.若PA.PB的斜率都存在.则 kPA•kPB=−a2b2 .
    17.(问答题.10分)已知函数 fx=x33+x2−mx .
    (1)若f(x)在R上单调递增.求实数m的取值范围;
    (2)若函数g(x)=f(x)+mx.求g(x)在[-2.1]上的值域.
    18.(问答题.12分)在数列{an}中.a1=4. an+1=n+3n+1an+1n∈N∗ .
    (1)求的值.并猜想{an}的通项公式;
    (2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想.
    19.(问答题.12分)已知函数 fx=x−a+1lnx−axa>0 .
    (1)当a=3时.求f(x)的单调区间;
    (2)讨论f(x)的极值.
    20.(问答题.12分)在△ABC中.角A.B.C为△ABC的三个内角.
    (1)若 sinBsinC=cs2A2 .证明:△ABC为等腰三角形.
    (2)若sinC=csA+csB.用反证法证明:△ABC为直角三角形.
    21.(问答题.12分)已知函数 fx=lnx+1x+1 .
    (1)证明:f(x)的图象与直线y=x只有一个公共点;
    (2)证明:对任意的n∈N*. 2+34+49+…+n+1n2>lnn+1 恒成立.
    22.(问答题.12分)已知函数 fx=2x−12x2 .
    (1)求函数F(x)=f(x)+3lnx的单调区间;
    (2)当x≤2时.ex•f(x)≥a(x-1)恒成立.求实数a的取值范围.
    2021-2022学年陕西省西安市阎良区关山中学高二(下)期中数学试卷(理科)
    参考答案与试题解析
    试题数:22.满分:150
    1.(单选题.5分)若复数z=(3-4i)(1+i).则z在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限
    B.第二象限
    C.第三象限
    D.第四象限
    【正确答案】:D
    【解析】:先利用复数的运算法则求出复数z的代数形式.由复数的几何意义得到对应的点的坐标.即可得到答案.
    【解答】:解:∵z=(3-4i)(1+i)=7-i.∴z在复平面内的对应的点位于第四象限.
    故选:D.
    【点评】:本题考查了复数的几何意义.考查了复数的运算法则的运用.解题的关键是求出复数的代数形式.属基础题.
    2.(单选题.5分)函数y=3x2-2x从1到2的平均变化率为( )
    A.5
    B.6
    C.7
    D.8
    【正确答案】:C
    【解析】:分别求出函数和自变量的改变量△y和△x.再根据平均变化率 △y△x .求解即可.
    【解答】:解:△y=(3×22-2×2)-(3×12-2×1)=7.△x=2-1=1.
    ∴平均变化率为 △y△x = 71 =7.
    故选:C.
    【点评】:本题考查平均变化率的求法.考查学生的运算能力.属于基础题.
    3.(单选题.5分)在△ABC中.三条边的长分别为面积为S.则△ABC的内切圆半径 r=2Sa+b+c .类比这个结论.在四面体PABC中.六条棱的长分别为四个面的面积分别为体积为V.则四面体PABC的内切球半径为( )
    A. 2S1+S2+S3+S4a+b+c+d+e+f
    B. 2Va+b+c+d+e+f
    C. 3Va+b+c+d+e+f
    D. 3VS1+S2+S3+S4
    【正确答案】:D
    【解析】:根据类比思想.“边”变为“面”.“内切圆半径”变为“内切球半径”.根据四面体的几何性质.即可得到答案.
    【解答】:解:设四面体的内切球球心为O.则球心O到四个面的距离都是R.
    所以四面体的体积等于以O为顶点.分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积之和.
    即四面体的体积 V=13S1+S2+S3+S4R .
    所以 R=3VS1+S2+S3+S4 .
    故选:D.
    【点评】:本题考查类比推理的应用.属于基础题.
    4.(单选题.5分)已知复数z满足|z-i|=2.且|z|=1.则z=( )
    A.1+i
    B.1-i
    C.-i
    D.i
    【正确答案】:C
    【解析】:设z=a+bi(a.b∈R).利用复数的运算法则可得a=0.b=-1.可求z.
    【解答】:解:设z=a+bi(a.b∈R).∵|z-i|=2.
    ∴|a+(b-1)i|=2.∴a2+(b-1)2=4.
    ∵|z|=1.∴a2+b2=1.∴a=0.b=-1.故z=-i.
    故选:C.
    【点评】:本题考查复数的运算法则.属基础题.
    5.(单选题.5分)函数f(x)=x3-3x的极大值点是( )
    A.-2
    B.-1
    C.1
    D.2
    【正确答案】:B
    【解析】:令f′(x)=0.可得 x=-1或 x=1.根据导数在 x=-1和 x=1两侧的符号.判断故f(-1)为极大值.从而得到极大值点.
    【解答】:解:∵函数f(x)=x3-3x.导数f′(x)=3x2-3.
    令f′(x)=0.可得 x=-1 或 x=1.
    ∵导数在 x=-1的左侧大于0.右侧小于0.故f(-1)为极大值;
    导数在 x=1 的左侧小于0.右侧大于0.故f(1)为极小值.
    ∴函数f(x)=x3-3x的极大值点是-1
    故选:B.
    【点评】:本题考查函数在某点取得极值的条件.利用f′(x)=0.判断导数在极值点处左侧大于0.右侧小于0.是解题的关键.
    6.(单选题.5分)用数学归纳法证明不等式“ 1+12+13+…+12n<nn∈N,n≥2 ”时.由n=k(k≥2)时不等式成立.推证n=k+1时.左边增加的项数是( )
    A.2k-1
    B.2k-1
    C.2k
    D.2k+1
    【正确答案】:C
    【解析】:分别写出n=k和n=k+1时.不等式左边的所有项.根据分母特点计算多出的项数.
    【解答】:解:“ 1+12+13+…+12n<nn∈N,n≥2 ”.
    当n=k时.左边= 1+12+13+…+12k .
    而当n=k+1时.左边= 1+12+13+…+12k−1+12k+12k+1+…+12k+1 .
    增加了 12k+1+12k+2+…+12k+1 .共2k+1-2k=2k项.
    故选:C.
    【点评】:本题考查了数学归纳法的证明步骤.属于基础题.
    7.(单选题.5分)已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+3q.单价p与产量q的函数关系式为 p=75−16q2 .则当利润最大时.q=( )
    A.8
    B.12
    C.16
    D.20
    【正确答案】:B
    【解析】:设利润为y.则y=pq-C.将条件代入.可得y为关于q的函数.利用导函数判断函数y的单调性.进而得到取得最大值时q的值.
    【解答】:解:设利润为y.
    则y=pq-C=(75- 16 q2)q-(100+3q)=- 16 q3+72q-100.所以y′=- 12 q2+72.
    则当0<q<12时.y′>0;当q>12时.y′<0.
    故当利润最大时.q=12.
    故选:B.
    【点评】:本题考查了利用导数求函数的最值.属于基础题.
    8.(单选题.5分)已知复数 z=3−i3+i . z 为z的共轭复数.则 zz 的虚部为( )
    A. −12
    B. 32i
    C. 12
    D. 32
    【正确答案】:D
    【解析】:根据复数的运算以及共轭复数的定义可解.
    【解答】:解:因为 z=3−i3+i=1−3i2 .所以 z=1+3i2 .
    故 zz = 1+3i1−3i = −12+32i .故其虚部为 32 .
    故选:D.
    【点评】:本题考查复数的运算以及共轭复数的定义.属于基础题.
    9.(单选题.5分)观察下列式子:
    1×2=131×2×3−0×1×2 ;
    2×3=132×3×4−1×2×3 ;
    3×4=133×4×5−2×3×4 ;

    根据规律.则1×2+2×3+3×4+…+2021×2022=( )
    A. 13×2020×2021×2022
    B. 13×2021×2022×2023
    C. 132020×2021×2022−1×2×3
    D. 132021×2022×2023−1×2×3
    【正确答案】:B
    【解析】:依题意可得n×(n+1)= 13 [n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)].再用裂项相消法求和即可.
    【解答】:解:由规律可得 n×n+1=13n×n+1×n+2−n−1×n×n+1 .
    所以1×2+2×3+3×4+…+2021×2022= 13 (1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+...+ 2021×2022×2023−2020×2021×2022)=13×2021×2022×2023
    = 13 (2021×2022×2023-0×1×2)
    = 13 ×(2021×2022×2023).
    故选:B.
    【点评】:本题考查裂项相消法求和.数与式中的归纳推理.属于基础题.
    10.(单选题.5分)已知函数f(x)为奇函数.当x≥0时.f(x)=g(x).函数g(x)的导函数为g'(x).且g(x)=2xg'(1)+x2.则不等式f(x)>0的解集为( )
    A.(-4.0)∪(4.+∞)
    B.(-2.0)∪(2.+∞)
    C.(-4.0)∪(0.4)
    D.(-2.0)∪(0.2)
    【正确答案】:A
    【解析】:根据条件求出g'(1).然后求出x≥0时.f(x)的解析式.再结合f(x)为奇函数求解即可.
    【解答】:解:∵g(x)=2xg'(1)+x2.∴g'(x)=2g'(1)+2x.
    又g'(1)=2g'(1)+2.∴g'(1)=-2.
    ∴当x≥0时.f(x)=x2-4x.∴由x2-4x>0.解得x>4.
    ∵f(x)为奇函数.∴当x<0时.由f(x)>0.解得-4<x<0.
    故不等式的解集为(-4.0)∪(4.+∞).
    故答案为:A.
    【点评】:本题考查了函数的奇偶性.一元二次不等式的解法和导数的运算.考查了转化思想和方程思想.属基础题.
    11.(单选题.5分)甲、乙、丙、丁、戊五位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩.老师说:“你们五人中有两位获得一等奖.三位获得二等奖.”甲看了乙、丙的成绩后说:“我还是不知道我的成绩.”丁看了甲、戊的成绩后说:“你们俩的获奖情况一样.”根据以上信息.则( )
    A.丁一定获得一等奖
    B.丁一定获得二等奖
    C.乙、丁的获奖情况一定不一样
    D.乙、丁的获奖情况可以相同
    【正确答案】:D
    【解析】:根据已知条件推理可得结论.
    【解答】:解:由于甲看了乙、丙的成绩后并不知道自己的成绩.故可判断乙、丙的成绩可能是一个一等奖和一个二等奖或者两个都是二等奖;
    又由于甲、戊的成绩一样.故可知当乙、丙一个一等奖和一个二等奖时.可得甲、戊一定是二等奖.丁的获奖情况是一等奖.
    这样可得乙、丁的获奖情况可以相同也可以不同;
    又由于乙、丙两个都是二等奖时.甲、戊一定都是一等奖.丁为二等奖.由此可得乙、丁的获奖情况相同.
    故选:D.
    【点评】:本题考查简单的合情推理.属中档题.
    12.(单选题.5分)已知x1.x2是函数f(x)=x2-2ax+2lnx的两个极值点.且x1<x2.当 a≥52 时.不等式f(x1)≥mx2恒成立.则实数m的取值范围为( )
    A. (0,−98−ln2]
    B. (−∞,−98−ln2]
    C. [−98−ln2,0)
    D. [−98−ln2,+∞)
    【正确答案】:B
    【解析】:先对f(x)求导.由x1.x2是函数f(x)的两个极值点.即为f′(x)=0的两个正解.结合韦达定理可得x1+x2与x1x2的式子.再将不等式整理为 m≤fx1x2 .将x1+x2与x1x2的式子代入 fx1x2 中.可得到 fx1x2=−x13−2x1+2x1lnx1 .构造函数g(x)=-x3-2x+2xlnx.将问题转化为m≤g(x)min.利用导函数求得g(x)的最小值.即可求解.
    【解答】:解:由题.因为 f′x=2x−2a+2x=2x2−ax+1x .
    所以x1.x2是方程x2-ax+1=0的两个正根.
    所以 Δ=a2−4>0,x1+x2=a≥52,x1x2=1 .
    因为不等式f(x1)≥mx2恒成立.即 m≤fx1x2 恒成立.
    因为 fx1x2=x12−2ax1+2lnx1x2=x13−2ax12+2x1lnx1=x13−2x1+x2x12+2x1lnx1 = −x13−2x1+2x1lnx1 .
    所以 m≤−x13−2x1+2x1lnx1min .
    因为 x1+x2=a≥52,x1x2=1 .得 x1+1x1≥52 .所以 0<x1≤12 .
    令 gx=−x3−2x+2xlnx0<x≤12 .则g′(x)=-3x2+2lnx<0.
    所以g(x)在 (0,12] 上单调递减.
    所以 gxmin=g12=−98−ln2 .
    故 m≤−98−ln2 .
    故选:B.
    【点评】:本题考查利用导数研究函数的极值.考查学生的运算能力.属于中档题.
    13.(填空题.5分)设复数z满足 i+z1−z=i2023 .则|1+z|=___ .
    【正确答案】:[1] 5
    【解析】:把已知等式变形.利用复数代数形式的乘除运算化简.再由复数模的计算公式求解.
    【解答】:解:∵ i+z1−z=i2023=−i .∴ z=−2i1−i = −2i−2i21−i2 =1-i.
    ∴ 1+z=2−i=5 .
    故答案为: 5 .
    【点评】:本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.属基础题.
    14.(填空题.5分)已知函数 fx=x−2x .则 Δx→0f1+2Δx−f13Δx =___ .
    【正确答案】:[1]2
    【解析】:利用导函数的定义.即可解出.
    【解答】:解:f′(x)=1+ 2x2 .
    ∴f′(1)=3.
    ∴ Δx→0f1+2Δx−f13Δx = 23lim△x→0f1+2△x−f12△x = 23 f′(1)=2.
    故答案为:2.
    【点评】:本题考查了导函数.学生的数学运算能力.属于基础题.
    15.(填空题.5分)若复数z满足|z+1-i|=1.则|z-2i|的最大值为 ___ .
    【正确答案】:[1] 2+1
    【解析】:设z=x+yi.进而得(x+1)2+(y-1)2=1.利用|z-2i|可理解为圆(x+1)2+(y-1)2=1上的点(x.y)到M(0.2)的距离.可求最大值.
    【解答】:解:设z=x+yi(x.y∈R).∴ z+1−i=x+1+y−1i=x+12+y−12=1 .
    ∵(x+1)2+(y-1)2=1表示以C(-1.1)为圆心.1为半径的圆.
    ∴|z-2i|可理解为圆(x+1)2+(y-1)2=1上的点(x.y)到M(0.2)的距离.
    又∵|CM|= 12+12 = 2 .
    故|z-2i|的最大值为 2+1 .
    故答案为: 2+1 .
    【点评】:本题考查复数的模的最大值.属中档题.
    16.(填空题.5分)下面四个推理得出的结论正确的所有序号是 ___ .
    ① 函数f(x)=x3.因为f'(0)=0.所以x=0是f(x)的极值点.
    ② 在平面中.三角形的内角和是180°.四边形的内角和是360°.五边形的内角和是540°.由此得到凸多边形的内角和是(n-2)×180°.
    ③ 在△ABC中.D为BC的中点.则 AD=12AB+AC .类比到四面体A-BCD中.G为△BCD的重心.则 AG=13AB+AC+AD .
    ④ 在圆x2+y2=r2中.AB为直径.C为圆上异于A.B的任意一点.若AC.BC的斜率都存在.则kAC•kBC=-1.类比到椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 中.AB为过中心的一条弦.P为椭圆上异于A.B的任意一点.若PA.PB的斜率都存在.则 kPA•kPB=−a2b2 .
    【正确答案】:[1] ② ③
    【解析】:对于 ① .由f′(x)≥0恒成立.即可判断;对于 ② .根据凸多边形的性质判断即可;对于 ③ .重心为中线交点.由向量结合重心的性质即可判断;对于 ④ .由AB为过中心的一条弦.可设A(x1.y1).B(-x1.-y1).再设P(x0.y0).结合斜率公式即可判断.
    【解答】:解:对于 ① .因为f'(x)=3x2≥0恒成立.所以f(x)在R上单调递增.没有极值.故 ① 不正确;
    对于 ② .因为凸多边形边数增加1.内角和增加180°.所以凸多边形的内角和是(n-2)×180°.故 ② 正确;
    对于 ③ .在四面体A-BCD中. AG=AB+BG=AB+23×12BC+BD=AB+13AC−AB+AD−AB .所以 AG=13AB+AC+AD .故 ③ 正确;
    对于 ④ .设A(x1.y1).B(-x1.-y1).P(x0.y0).则 kPA⋅kPB=y1−y0x1−x0⋅−y1−y0−x1−x0=y12−y02x12−x02=−b2a2x12−x02x12−x02=−b2a2 .故 ④ 不正确.
    故答案为: ② ③ .
    【点评】:本题考查图与形中的归纳推理.圆锥曲线中的类比推理.平面与空间中的类比推理.属于基础题.
    17.(问答题.10分)已知函数 fx=x33+x2−mx .
    (1)若f(x)在R上单调递增.求实数m的取值范围;
    (2)若函数g(x)=f(x)+mx.求g(x)在[-2.1]上的值域.
    【正确答案】:
    【解析】:(1)对函数f(x)求导.依题意.得f'(x)=x2+2x-m≥0恒成立.由判别式△≤0即可求得实数m的取值范围;
    (2)由g(x)= x33+x2 .求导分析其单调性.即可求得g(x)在[-2.1]上的值域.
    【解答】:解:(1)因为 fx=x33+x2−mx .所以f'(x)=x2+2x-m;
    因为f(x)在R上单调递增.所以f'(x)≥0恒成立.
    则Δ=22+4m≤0.解得m≤-1.
    即实数m的取值范围是(-∞.-1].
    (2)因为g(x)=f(x)+mx= x33+x2−mx +mx= x33+x2 .
    所以g'(x)=x2+2x.
    由g'(x)>0.得x<-2或x>0;由g'(x)<0.得-2<x<0.
    所以函数g(x)在(0.1)上单调递增.在(-2.0)上单调递减.
    因为 g−2=43 .g(0)=0. g1=43 .
    所以g(x)在[-2.1]上的值域为 0,43 .
    【点评】:本题考查了利用导数研究函数的单调性.考查转化化归思想及运算求解能力.属于中档题.
    18.(问答题.12分)在数列{an}中.a1=4. an+1=n+3n+1an+1n∈N∗ .
    (1)求的值.并猜想{an}的通项公式;
    (2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想.
    【正确答案】:
    【解析】:(1)利用数列的递推关系式求解数列的前几项.然后猜想通项公式.
    (2)利用数学归纳法的证明步骤.证明求解即可.
    【解答】:(1)解:∵在数列{an}中.a1=4. an+1=n+3n+1an+1 .
    ∴a2=2a1+1=9. a3=53a2+1=16 . a4=32a3+1=25 .•••
    猜想 an=n+12 .
    (2)由(1)猜想 an=n+12 .
    证明: ① 当n=1时. a1=4=22 .猜想显然成立;
    ② 假设当n=k时.猜想成立.即 ak=k+12 .
    则当n=k+1时. ak+1=k+3k+1ak+1=k2+4k+4=k+22=k+1+12 .
    即当n=k+1时.猜想也成立.
    由 ① ② 可知.猜想成立.即 an=n+12 .
    【点评】:本题考查数列的递推关系式的应用.数学归纳法的应用.是中档题.
    19.(问答题.12分)已知函数 fx=x−a+1lnx−axa>0 .
    (1)当a=3时.求f(x)的单调区间;
    (2)讨论f(x)的极值.
    【正确答案】:
    【解析】:(1)将a=3代入.对函数f(x)求导.判断导函数与0的关系.进而得到单调区间;
    (2)对函数f(x)求导.分a<1.a=1及a>1讨论函数f(x)的单调性情况.进而得到极值.
    【解答】:解:(1)当a=3时. fx=x−4lnx−3x .
    则 f′x=1−4x+3x2=x2−4x+3x2=x−3x−1x2 .
    由f'(x)>0.得0<x<1或x>3;由f'(x)<0.得1<x<3.
    所以f(x)的单调递增区间为(0.1).(3.+∞).单调递减区间为(1.3).
    (2) f′x=x−ax−1x2 .
    当a<1时.f(x)的单调递增区间为(0.a).(1.+∞).单调递减区间为(a.1).
    故此时f(x)的极大值为f(a)=a-1-(a+1)lna.极小值为f(1)=1-a;
    当a=1时.f'(x)≥0.即f(x)在(0.+∞)上单调递增.此时f(x)无极值;
    当a>1时.f(x)的单调递增区间为(0.1).(a.+∞).单调递减区间为(1.a).
    故此时f(x)的极大值为f(1)=1-a.极小值为f(a)=a-1-(a+1)lna.
    综上.当a<1时.f(x)的极大值为f(a)=a-1-(a+1)lna.极小值为f(1)=1-a;当a=1时.f(x)无极值;当a>1时.f(x)的极大值为f(1)=1-a.极小值为f(a)=a-1-(a+1)lna.
    【点评】:本题考查利用导数研究函数的单调性.极值.考查分类讨论思想及运算求解能力.属于中档题.
    20.(问答题.12分)在△ABC中.角A.B.C为△ABC的三个内角.
    (1)若 sinBsinC=cs2A2 .证明:△ABC为等腰三角形.
    (2)若sinC=csA+csB.用反证法证明:△ABC为直角三角形.
    【正确答案】:
    【解析】:(1)利用二倍角公式结合三角形的内角和定理.利用两角和与差的三角函数推出B=C.判断三角形的形状.
    (2)利用反证法的证明方法.假设△ABC不是直角三角形.则A.B.C都不等于 π2 .推出2sinC=0.这与sinC≠0矛盾.得到结果.
    【解答】:证明:(1)在△ABC中.角A.B.C为△ABC的三个内角.
    因为 sinBsinC=cs2A2=1+csA2 .
    所以2sinBsinC=1+csA=1-cs(B+C)=1-csBcsC+sinBsinC.
    所以csBcsC+sinBsinC=1.所以cs(B-C)=1.
    因为B-C∈(-π.π).所以B=C.
    故△ABC为等腰三角形.
    (2)(反证法)假设△ABC不是直角三角形.则A.B.C都不等于 π2 .
    在△ABC中.角A.B.C为△ABC的三个内角.
    因为sinC=csA+csB.所以sin(A+B)=csA+csB.
    所以sinAcsB+csAsinB=csA+csB.
    所以csA(1-sinB)+csB(1-sinA)=0.
    因为(1+sinA)(1+sinB)>0.
    所以csA(1-sinB)(1+sinA)(1+sinB)+csB(1-sinA)(1+sinA)(1+sinB)=0.
    所以csA(1-sin2B)(1+sinA)+csB(1-sin2A)(1+sinB)=0
    所以csAcs2B(1+sinA)+csBcs2A(1+sinB)=0.
    因为A.B.C都不等于 π2 .所以csA≠0.csB≠0.
    所以csA+csB+sinAcsB+csAsinB=0.
    所以csA+csB+sin(A+B)=0.
    因为csA+csB=sinC.所以2sinC=0.这与sinC≠0矛盾.
    所以假设不成立.故△ABC为直角三角形.
    【点评】:本题考查三角形的形状的判断.三角形中点几何计算.反证法的应用.是中档题.
    21.(问答题.12分)已知函数 fx=lnx+1x+1 .
    (1)证明:f(x)的图象与直线y=x只有一个公共点;
    (2)证明:对任意的n∈N*. 2+34+49+…+n+1n2>lnn+1 恒成立.
    【正确答案】:
    【解析】:(1)欲证f(x)的图象与直线y=x只有一个公共点.只需证明ln(x+1)-x2-x=0只有一个根.构造函数.利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最大值.然后推出结果.
    (2)g(x)=ln(x+1)-x2-x≤0恒成立.即ln(x+1)≤x2+x恒成立.然后通过n∈N*.推出 lnn+1n<n+1n2 .利用累加法.结合对数运算法则.转化求解即可.
    【解答】:证明:(1)欲证f(x)的图象与直线y=x只有一个公共点.
    只要证方程f(x)=x只有一个根.
    即证 lnx+1x+1=x 只有一个根.
    即ln(x+1)-x2-x=0只有一个根.
    令g(x)=ln(x+1)-x2-x.x∈(-1.+∞).
    则 g′x=1x+1−2x−1=−x2x+3x+1 .
    令g'(x)>0.得-1<x<0;令g'(x)<0.得x>0.
    所以g(x)在(-1.0)上单调递增.在(0.+∞)上单调递减.
    所以g(x)max=g(0)=0.
    因为g(x)≤0恒成立.当且仅当x=0时.g(x)=0.
    所以方程g(x)=0只有一个根.
    故f(x)的图象与直线y=x只有一个公共点.
    (2)由(1)知g(x)=ln(x+1)-x2-x≤0恒成立.
    即ln(x+1)≤x2+x恒成立.在x=0时等号成立.
    因为n∈N*.所以 ln1n+1<1n2+1n .所以 lnn+1n<n+1n2 .
    因为 ln21<212 . ln32<322 . ln43<432 .….
    所以 ln21+ln32+ln43+…+lnn+1n<212+322+432+…+n+1n2 .
    所以 ln21×32×43×…×n+1n<2+34+49+…+n+1n2 .
    所以 lnn+1<2+34+49+…+n+1n2 .
    即 2+34+49+…+n+1n2>lnn+1 .
    【点评】:本题考查函数导数的应用.函数的最值的求法.数列求和的方法.考查转化思想以及计算能力.是难题.
    22.(问答题.12分)已知函数 fx=2x−12x2 .
    (1)求函数F(x)=f(x)+3lnx的单调区间;
    (2)当x≤2时.ex•f(x)≥a(x-1)恒成立.求实数a的取值范围.
    【正确答案】:
    【解析】:(1)求出导函数.通过导函数的符号.判断函数的单调性即可.
    (2)推出 2x−12x2−ax−1ex≥0 .构造函数 gx=2x−12x2−ax−1ex .求出导数.通过 ① 当a≤0时. ② 当0<a<e2时. ③ 当a≥e2时.判断函数的单调性求解函数的最小值.推出a的取值范围.
    【解答】:解:(1)因为 Fx=2x−12x2+3lnx .
    所以 F′x=2−x+3x=2x−x2+3x=−x−3x+1x .
    令F'(x)>0.得0<x<3;令F'(x)<0.得x>3.
    故函数F(x)的单调递增区间为(0.3).单调递减区间为(3.+∞).
    (2)当x≤2时.由ex⋅f(x)≥a(x-1).得 2x−12x2−ax−1ex≥0 .
    记 gx=2x−12x2−ax−1ex .则 g′x=2−xex−aex .
    ① 当a≤0时.则g'(x)≥0.所以g(x)在(-∞.2]上单调递增. g−1=−52+2ae<0 .不满足题意.舍去.
    ② 当0<a<e2时.令g'(x)=0.得x1=2.x2=lna.
    因为lna<2.所以当x<lna时.g'(x)<0;当lna<x<2时.g'(x)>0.
    故g(x)在(-∞.lna)上单调递减.在(lna.2)上单调递增.
    则 gxmin=glna=−12lna2+lna+1≥0 .解得 e1−3≤a≤e1+3 .
    因为0<a<e2.所以 e1−3≤a<e2 .
    ③ 当a≥e2时.g'(x)≤0.所以g(x)在(-∞.2]上单调递减.
    所以 gxmin=g2=2−ae2≥0 .解得a≤2e2.所以e2≤a≤2e2.
    综上所述.a的取值范围是 e1−3,2e2 .
    【点评】:本题考查函数导数的应用.函数的单调性以及函数的最值的求法.考查转化思想以及计算能力.是中档题.
    相关试卷

    2023-2024学年陕西省西安市阎良区关山中学高二上学期期中数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年陕西省西安市阎良区关山中学高二上学期期中数学试题含答案,共11页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高二下学期第三次质量检测数学(文)试题含答案: 这是一份2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高二下学期第三次质量检测数学(文)试题含答案,共13页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高二下学期第三次质量检测数学(理)试题含答案: 这是一份2022-2023学年陕西省西安市阎良区关山中学高二下学期第三次质量检测数学(理)试题含答案,共12页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        返回
        顶部
        Baidu
        map