陕西省西安市雁塔区第二中学、渭北中学2021-2022学年高二下学期期中联考数学（理）试题（含答案）

雁塔二中、渭北中学2021-2022学年第二学期期中联考

高二年级理科数学试题

考试时间：120分钟    总分：120分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；

2．请将答案正确填写在答题卡上。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．某校为了了解高二年级200名女学生的体能情况，随机抽查了其中的30名女生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示估计，该校高二年级女生仰卧起座次数的中位数位于（       ）．

A． B． C． D．

2．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（       ）

A． B． C． D．

3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（       ）

A．        B．

C．         D．

4．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（       ）

A．        B．      C． D．

5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（       ）

A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的

C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的

6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（       ）

A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生

7．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：

由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（       ）件.

A．58 B．40 C．38 D．46

8.已知随机变量，且数学期望，方差，则（       ）

A． B． C． D．

9．设，随机变量X的分布列是：

则当最大时的a的值是

A． B． C． D．

10．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（       ）

①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为

④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．设集合，那么集合中满足条件

“”的元素个数为（       ）

A． B． C． D．

12．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（       ）

A．192 B．336 

C．600 D．以上答案均不对

第II卷（非选择题）

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13．记函数的定义域为,在区间上随机取一个数，则的概率是________．

14．现有5名党员同志需要到3个社区协助疫情防控的宣传，每名同志只去1个社区，每个社区至少安排1名同志，则不同的安排方法共有______种．

15．的展开式中的系数为________．

16．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是_____．

三、解答题（共56分，其中第17、18题各10分，19、20、21题各12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．已知二项式的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比是.

(1)求的值；

(2)求展开式中的常数项.

18．某高级中学为了解学生体质情况，随机抽取高二、高三男生各50人进行引体向上体能检测，下图是根据100名学生检测结果绘制的学生一次能做引体向上个数的频率分布直方图．所做引体向上个数的分组区间为，，，，．

(1)求这100名学生中一次能做引体向上5个以下的人数．并完善频率分布直方图（即作出“引体向上个数为0~5”所对应的矩形）；

(2)若男生一次能做引体向上10个或以上为及格，完成下面2×2列联表．并判断能否有99%的把握认为该学校男生“引体向上是否及格”与“所在年级”有关？

附：，其中．

19．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情．某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数y（单位：百人）的数据．

(1)根据第1至7天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（保留两位有效数字）；

(2)经过测算，若一天中滑雪人数超过3000人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y关于x的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利．

附注：参考公式：，．

参考公式：①对于一组数据，，…，，

其相关系数；

②对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

20．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．

(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；

(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．

21．十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．

（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；

（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？

雁塔二中、渭北中学2021-2022学年第二学期期中联考

高二年级理科数学试题参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）

二、填空题（本大题共4小题， 每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）。

三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题10分）

解：(1)由题知：.

所以有，化简得：.

解得：或 (舍)．

(2)，

由，得.

所以.

18．（本小题10分）

解：(1)由题意可知，，

所以（人）.即这100名学生中一次能做引体向上5个以下的人数为25.

补全频率分布直方图如图所示：

(2)由题意可知，100名学生中一次能做“引体向上个数”在内有25人，在内有30人，在内有25人，在内有15人，在内有5人；其中及格45人，不及格55人，补全2×2列联表如下：

由表中数据可知

.

所以有99%的把握认为该学校男生“引体向上是否及格”与“所在年级”有关.

19．(本小题12分)

解：(1)因为，，

所以，

所以，

因为样本相关系数接近于1，

所以可以推断x和y这两个变量线性相关，且相关程度很强．

(2)因为，

所以，

因为，

所以回归方程为，

因为一天中滑雪人数超过3000人时，当天滑雪场可实现盈利，

即时，可实现盈利，解得，

所以根据回归方程预测，该滑雪场开业的第11天开始盈利．

20．(本小题12分)

解：(1)由题意知甲得0分的概率为，

乙得0分的概率为，

所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．

(2)X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，

则，

，

，

，

，

，

，

所以，随机变量X的分布列为：

所以．

21．(本小题12分)

解：（1）由题可知，所以可能的情况有：

①甲答对1次，乙答对2次的概率

②甲答对2次，乙答对1次的概率；

③甲答对2次，乙答对2次的概率

故所求的概率

（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为：

因为，，，所以，，

所以

利用基本不等式知，当且仅当时，等号成立，

，

令，则，

所以当时，，

他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足

由，则，所以理论上至少要进行19轮比赛.