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北京市第四中学顺义分校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷
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这是一份北京市第四中学顺义分校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了满分等内容，欢迎下载使用。
1.（单选题.4分）已知sinα= 35 .且α为第二象限角.则csα=（ ）
A.- 43
B.- 34
C.- 45
D.- 35
2.（单选题.4分）若sinα＜0且tanα＞0.则α是（ ）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
3.（单选题.4分）使sinx＞csx成立的x的一个变化区间是（ ）
A.（-π.- 3π4 ）
B.（- 3π4 .0）
C.（- π4 . π4 ）
D.（ π2 . 3π2 ）
4.（单选题.4分）如果 a . b 是两个单位向量.下列四个结论中正确的是（ ）
A. a = b
B. a•b =1
C. a2 ≠ b2
D.| a |2=| b |2
5.（单选题.4分）下列函数中.周期为π且在区间（ π2 .π）上单调递增的是（ ）
A.y=cs2x
B.y=sin2x
C. y=cs12x
D. y=sin12x
6.（单选题.4分）已知向量 a =（4.x）. b =（x.1）.那么“x=2”是“ a || b ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.（单选题.4分）函数 fx=sin2x+π4 的图象.向右平移 π4 个单位长度后得到函数g（x）的解析式为（ ）
A.g（x）=sin2x
B. gx=sin2x+π4
C. gx=sin2x−π4
D. gx=sin2x+3π4
8.（单选题.4分）函数f（x）=csx-cs2x.试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A.奇函数.最大值为2
B.偶函数.最大值为2
C.奇函数.最大值为 98
D.偶函数.最大值为 98
9.（单选题.4分）将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位.得到的图象恰好关于直线x= π6 对称.则φ的最小值是（ ）
A. π12
B. π6
C. π4
D. π3
10.（单选题.4分）意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达•芬奇的经典之作--《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧.在嘴角A.C处作圆弧的切线.两条切线交于B点.测得如下数据：AB=根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（ ）
A. π6，π4
B. π4，π3
C. π3，5π12
D. 5π12，π2
11.（填空题.5分）sinα+csα= 15 .则sin2α=___
12.（填空题.5分）已知向量 a . b 是单位向量. a 与 b 的夹角为120°.则（ a + b ）⋅ b =___ .| a +2 b |=___ ．
13.（填空题.5分）已知csα= 35 .sin（β-α）=- 513 .α.β均为锐角.则sinβ=___ ．
14.（填空题.5分）已知正方形ABCD的边长为1.若点E是AB边上的中点.则 DE•CB 的值为 ___ .若点E是AB边上的动点.则 DE•AC 的最大值为 ___ ．
15.（填空题.5分）对于函数f（x）=csx+sinx.给出下列四个命题：
① 函数f（x）为奇函数；
② 存在α∈（0. π2 ）.使f（α）= 43 ；
③ 存在α∈（0. π2 ）.使f（x+α）=f（x+3α）恒成立；
④ 存在θ∈R．使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称；
其中正确的命题序号是___ ．
16.（问答题.12分）已知角α的终边过点（4.-3）．
（1）求tanα的值；
（2）求 sinα−π4 的值．
17.（问答题.12分）已知向量 a 和 b .则 a=2 . b=2 . 〈a，b〉=60° 求：
（1） a•b 的值；
（2） 2a+b 的值；
（3）2 a + b 与 b 的夹角θ的余弦值．
18.（问答题.15分）已知函数f（x）=2 3sinx•csx+2cs2 x.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求该函数的对称轴方程；
（3）求函数f（x）在区间[ −π6 . 5π12 ]上的最小值和最大值．
19.（问答题.15分）已知函数 fx=sin2x−π6 ．
（1）求函数的对称中心；
（2）函数f（x）在x∈[0. π2 ]内是否存在单调减区间？若存在请说明原因并写出递减区间．若不存在.说明理由；
（3）若∀x1.x2∈[0. π2 ].都有|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立.求实数m的取值范围；
20.（问答题.15分）已知函数 fx=asin2x−π6−2cs2x+π6a＞0 .且满足_______．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=1在区间[0.m]上有两个不同解.求实数m的取值范围．
从 ① f（x）的最大值为1. ② f（x）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π. ③ f（x）的图象过点 π6，0 这三个条件中选择一个.补充在上面问题中并作答．
21.（问答题.16分）已知向量 a =（sinx.csx）. b =（csx.-csx）.设函数f（x）= a •（ a + b ）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k. x∈0，π2 .其中k∈R.试讨论函数g（x）的零点个数．
2021-2022学年北京四中顺义区分校高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：21.满分：150
1.（单选题.4分）已知sinα= 35 .且α为第二象限角.则csα=（ ）
A.- 43
B.- 34
C.- 45
D.- 35
【正确答案】：C
【解析】：由sinα的值及α为第二象限角.利用同角三角函数间的基本关系求出csα的值即可．
【解答】：解：∵sinα= 35 .且α为第二象限角.
∴csα=- 1−sin2α =- 45 .
故选：C．
【点评】：此题考查了同角三角函数基本关系的运用.熟练掌握基本关系是解本题的关键．
2.（单选题.4分）若sinα＜0且tanα＞0.则α是（ ）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【正确答案】：C
【解析】：由正弦和正切的符号确定角的象限.当正弦值小于零时.角在第三四象限.当正切值大于零.角在第一三象限.要同时满足这两个条件.角的位置是第三象限.实际上我们解的是不等式组．
【解答】：解：sinα＜0.α在三、四象限；tanα＞0.α在一、三象限．
故选：C．
【点评】：记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键.可用口诀帮助记忆：一全部.二正弦.三切值.四余弦.它们在上面所述的象限为正
3.（单选题.4分）使sinx＞csx成立的x的一个变化区间是（ ）
A.（-π.- 3π4 ）
B.（- 3π4 .0）
C.（- π4 . π4 ）
D.（ π2 . 3π2 ）
【正确答案】：A
【解析】：在单位圆中画出角的三角函数线.根据三角函数线的大小确定角的范围．
【解答】：解：如图角x的正弦线.余弦线分别是MP.OM.
当角x的终边与弧ABCD相交时.MP＞OM.
∴此时sinx＞csx.
∴不等式sinx＞csx的解集为（2kπ+ π4 .2kπ+ 5π4 ）.k∈Z．
故选：A．
【点评】：本题考查了三角函数线.利用数形结合根据三角函数线的大小确定角的范围．
4.（单选题.4分）如果 a . b 是两个单位向量.下列四个结论中正确的是（ ）
A. a = b
B. a•b =1
C. a2 ≠ b2
D.| a |2=| b |2
【正确答案】：D
【解析】：由相等向量的概念：大小相等.方向相同的两向量为相等向量.即可判断A；
由向量的数量积的定义.即可判断B；
由向量的平方即为模的平方.以及单位向量的概念.即可判断C.D．
【解答】：解：A．单位向量是模为1的向量.但方向可不同.故A错；
B. a•b =| a |•| b |•cs＜ a，b ＞=cs＜ a，b ＞.故B错；
C. a2 =| a |2=1. b2 =| b |2=1.故 a2=b2 .故C错；
D．| a |2=1.| b |2=1.故D对．
故选：D．
【点评】：本题考查平面向量的基本概念：单位向量、相等向量、向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方.属于基础题．
5.（单选题.4分）下列函数中.周期为π且在区间（ π2 .π）上单调递增的是（ ）
A.y=cs2x
B.y=sin2x
C. y=cs12x
D. y=sin12x
【正确答案】：A
【解析】：利用三角函数的周期性和单调性即可求解．
【解答】：解：对于A.y=cs2x的周期为π.在区间（ π2 .π）单调递增函数.所以正确；
对于B.y=sin2x的周期为π.在区间（ π2 .π）不是单调函数.所以不正确；
对于C.y=cs 12 x的周期为 2π12 =4π.所以不正确；
对于D.y=sin 12 x的周期为 2π12 =4π.所以不正确；
故选：A．
【点评】：本题考查三角函数的周期性以及单调性的判断.是基础题．
6.（单选题.4分）已知向量 a =（4.x）. b =（x.1）.那么“x=2”是“ a || b ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】：A
【解析】：先化简命题.再讨论充要性．
【解答】：解：向量 a =（4.x）. b =（x.1）. a || b .则4=x2.解之得x=±2.
则“x=2”是“x=±2”的充分而不必要条件.
即向量 a =（4.x）. b =（x.1）.那么“x=2”是“ a || b ”的充分而不必要条件.
故选：A．
【点评】：本题考查命题充要性.以及向量平行.属于基础题．
7.（单选题.4分）函数 fx=sin2x+π4 的图象.向右平移 π4 个单位长度后得到函数g（x）的解析式为（ ）
A.g（x）=sin2x
B. gx=sin2x+π4
C. gx=sin2x−π4
D. gx=sin2x+3π4
【正确答案】：C
【解析】：直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用求出结果．
【解答】：解：函数 fx=sin2x+π4 的图象.向右平移 π4 个单位长度后得到函数g（x）=sin（2x- π2+π4 ）=sin（2x- π4 ）的图象．
故选：C．
【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换的应用.主要考查学生的运算能力和数学思维能力.属于基础题．
8.（单选题.4分）函数f（x）=csx-cs2x.试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A.奇函数.最大值为2
B.偶函数.最大值为2
C.奇函数.最大值为 98
D.偶函数.最大值为 98
【正确答案】：D
【解析】：由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值．
【解答】：解：由题意.f（-x）=cs（-x）-cs（-2x）=csx-cs2x=f（x）.所以该函数为偶函数.
又f（x）=csx-cs2x=-2cs2x+csx+1=-2（csx- 14 ）2+ 98 .
所以当csx= 14 时.f（x）取最大值 98 ．
故选：D．
【点评】：本题主要考查了函数奇偶性的定义.三角函数的性质以及二次函数的性质.属于基础题．
9.（单选题.4分）将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位.得到的图象恰好关于直线x= π6 对称.则φ的最小值是（ ）
A. π12
B. π6
C. π4
D. π3
【正确答案】：A
【解析】：根据左加右减.写出三角函数平移后的解析式.根据平移后图象的对称轴.把对称轴代入使得函数式的值等于±1.写出自变量的值.根据求最小值得到结果．
【解答】：解：∵把函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位.
∴平移后函数的解析式是y=sin（2x+2φ）.
∵所得图象关于直线 x= π6 对称.
∴由正弦函数的图象和性质可得：2× π6 +2φ=kπ+ π2 （k∈Z）.解得：φ= 12 kπ+ π12 （k∈Z）.
∵φ＞0
∴当k=0时.φ的最小值是 π12 ．
故选：A．
【点评】：本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式.本题解题的关键是先表示出函数的解析式.再根据题意来写出结果.属于基础题．
10.（单选题.4分）意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达•芬奇的经典之作--《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧.在嘴角A.C处作圆弧的切线.两条切线交于B点.测得如下数据：AB=根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（ ）
A. π6，π4
B. π4，π3
C. π3，5π12
D. 5π12，π2
【正确答案】：B
【解析】：取AB=BC≈7.设∠ABC=2θ．可得sinθ≈ 6.37 =0.9.根据α+2θ=π.利用倍角公式即可得出结论．
【解答】：解：取AB=BC≈7.设∠ABC=2θ．
则sinθ≈ 6.37 =0.9．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．
则α+2θ=π.
∴csα=cs（π-2θ）=-cs2θ=2sin2θ-1=0.62．
∵cs π4 = 22 = π3 = 12 =0.5．
∴α∈ π4，π3 ．
故选：B．
【点评】：本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．
11.（填空题.5分）sinα+csα= 15 .则sin2α=___
【正确答案】：[1] −2425
【解析】：根据（sinα+csα）2=1+sin2α求解即可得答案．
【解答】：解：由sinα+csα= 15 .
得（sinα+csα）2=sin2α+cs2α +2sinαcsα=1+sin2α=125 .
∴sin2α= −2425 ．
故答案为： −2425 ．
【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用.二倍角公式的应用.属于基础题．
12.（填空题.5分）已知向量 a . b 是单位向量. a 与 b 的夹角为120°.则（ a + b ）⋅ b =___ .| a +2 b |=___ ．
【正确答案】：[1] 12 ; [2] 3
【解析】：利用向量的数量积以及向量的模的运算法则转化求解即可．
【解答】：解：向量 a . b 是单位向量. a 与 b 的夹角为120°.
则（ a + b ）⋅ b = a•b + b2 = 1×1×−12+1 = 12 ．
| a +2 b |= a2+4a•b+4b2 = 1+4×1×1×−12+4 = 3 ．
故答案为： 12 ； 3 ．
【点评】：本题考查向量的数量积的求法.向量的模的运算法则的应用.是基础题．
13.（填空题.5分）已知csα= 35 .sin（β-α）=- 513 .α.β均为锐角.则sinβ=___ ．
【正确答案】：[1] 3365
【解析】：由两角和的正弦公式.结合同角三角函数的关系求解即可．
【解答】：解：csα= 35 .sin（β-α）=- 513 .α.β均为锐角.
则sin α=45 .cs（β-α）= 1213 .
则sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）csα+cs（β-α）sinα= −513×35+1213×45 = 3365 .
故答案为： 3365 ．
【点评】：本题考查了两角和的正弦公式.属基础题．
14.（填空题.5分）已知正方形ABCD的边长为1.若点E是AB边上的中点.则 DE•CB 的值为 ___ .若点E是AB边上的动点.则 DE•AC 的最大值为 ___ ．
【正确答案】：[1]1; [2]1
【解析】：根据向量的数量积的定义及向量的投影的定义即可求解．
【解答】：解：∵ DE•CB =| CB |•（| DE |cs ＜CB，DE＞ ）.
由向量投影的定义可知：| DE |cs ＜CB，DE＞ =|BC|.
∴ DE•CB =|BC|2=1.
∵ DE•AC =| AC ||| DE |cs ＜AC，DE＞ |.
设AC与BD交于H.
由向量投影的定义可知：当E与A重合时.
|| DE |cs ＜AC，DE＞ |取得最大值|AH|= 22 .
又易知|AC|= 2 .
∴ DE•AC 的最大值为|AC|•|AH|= 2×22 =1．
故答案为：1；1．
【点评】：本题考查向量的数量积的定义.向量的投影的定义.属基础题．
15.（填空题.5分）对于函数f（x）=csx+sinx.给出下列四个命题：
① 函数f（x）为奇函数；
② 存在α∈（0. π2 ）.使f（α）= 43 ；
③ 存在α∈（0. π2 ）.使f（x+α）=f（x+3α）恒成立；
④ 存在θ∈R．使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称；
其中正确的命题序号是___ ．
【正确答案】：[1] ② ④
【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数.进一步利用正弦型函数的性质的应用判断A ① ② ③ ④ 的结论．
【解答】：解：函数f（x）=csx+sinx= 2sinx+π4 .
对于 ① .函数f（-x）≠-f（x）.故函数f（x）不为奇函数.故 ① 错误；
对于 ② .由于f（x）= 2sinx+π4 .由于x∈（0. π2 ）.所以 x+π4∈π4，3π4 .故f（x） ∈(1，2] .由于f（α）= 43 ∈(1，2] .故 ② 正确；
对于 ③ .f（x+α）=f（x+3α）.所以f（x）=f（x+2α）.故函数的最小正周期为2α.由于α∈（0. π2 ）.所以2α∈（0.π）.所以函数f（x）的周期为2π.故 ③ 错误．
对于 ④ .存在θ= π4 .f（x+θ）= 2sinx+θ+π4 .函数f（x）的图象关于y轴对称.故 ④ 正确；
故答案为： ② ④ ．
【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.主要考查学生的运算能力和数学思维能力.属于基础题．
16.（问答题.12分）已知角α的终边过点（4.-3）．
（1）求tanα的值；
（2）求 sinα−π4 的值．
【正确答案】：
【解析】：（1）由正切函数定义求解即可；
（2）由同角三角函数的关系.结合两角差的正弦公式求解即可．
【解答】：解：（1）由角α的终边过点（4.-3）.
则 tanα=−34=−34 ；
（2）因为角α的终边过点（4.-3）.
则角α为第四象限角.则csα＞0.sinα＜0.
又 sinαcsα = tanα=−34 .
由sin2α+cs2α=1.
即 sinα=−35 . csα=45 .
则 sinα−π4 = 22sinα−csα = −7210 ．
【点评】：本题考查了同角三角函数的关系.重点考查了两角差的正弦公式.属基础题．
17.（问答题.12分）已知向量 a 和 b .则 a=2 . b=2 . 〈a，b〉=60° 求：
（1） a•b 的值；
（2） 2a+b 的值；
（3）2 a + b 与 b 的夹角θ的余弦值．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（2）根据平面向量的数量积的性质与定义即可求解；
（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．
【解答】：解：（1）∵ a=2 . b=2 . 〈a，b〉=60° .
∴ a•b = 2×2×12 =2；
（2）∵ 2a+b2=4a2+4a•b+b2 =4×4+4×2+4=28.
∴ 2a+b = 27 ；
（3）∵（ 2a + b ）• b = 2a•b+b2 =2×2+4=8.
∴cs ＜2a，b＞ = 2a+b•b2a+bb = 827×2 = 277 ．
【点评】：本题考查平面向量的数量积的定义及性质.属基础题．
18.（问答题.15分）已知函数f（x）=2 3sinx•csx+2cs2 x.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求该函数的对称轴方程；
（3）求函数f（x）在区间[ −π6 . 5π12 ]上的最小值和最大值．
【正确答案】：
【解析】：（1）由题意.利用简单的三角恒等变换.化简函数的解析式.再根据正弦函数的周期性.得出结论．
（2）由题意.根据正弦函数的图象的对称性.得出结论．
（3）由题意.根据正弦函数的定义域和值域.求得函数f（x）在区间[ −π6 . 5π12 ]上的最小值和最大值．
【解答】：解：（1）∵函数f（x）=2 3sinx•csx+2cs2 x= 3 sin2x+cs2x+1=2sin（2x+ π6 ）+1.
∴它的最小正周期为 2π2 =π．
（2）令2x+ π6 =kπ+ π2 .k∈Z.求得x= kπ2 + π6 .k∈Z.
可得函数的图象的对称轴方程为x= kπ2 + π6 .k∈Z．
（3）在区间[ −π6 . 5π12 ]上.2x+ π6 ∈[- π6 .π].故当2x+ π6 =- π6 时.
即x=- π6 时.函数f（x）取得最小值为0；
当2x+ π6 = π2 时.即x= π6 时.函数f（x）取得最大值为3．
【点评】：本题主要考查简单的三角恒等变换.正弦函数的周期性、图象的对称性、定义域和值域.属于中档题．
19.（问答题.15分）已知函数 fx=sin2x−π6 ．
（1）求函数的对称中心；
（2）函数f（x）在x∈[0. π2 ]内是否存在单调减区间？若存在请说明原因并写出递减区间．若不存在.说明理由；
（3）若∀x1.x2∈[0. π2 ].都有|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立.求实数m的取值范围；
【正确答案】：
【解析】：（1）由题意.利用正弦函数的图象的对称性.求得函数的对称中心．
（2）由题意.根据正弦函数的单调性.得出结论．
（3）由题意.求得函数f（x）的最大值和最小值为.可得实数m的取值范围．
【解答】：解：（1）对于函数 fx=sin2x−π6 .令2x- π6 =kπ.k∈Z.
求得x= kπ2 + π12 .k∈Z.可得函数的对称中心为（ kπ2 + π12 .0）.k∈Z．
（2）当x∈[0. π2 ].有2x- π6 ∈[- π6 . 5π6 ].
当2x- π6 ∈[ π2 . 5π6 ]时.函数单调递减.故函数f（x）在x∈[0. π2 ]内.存在单调减区间．
由 π2 ≤2x- π6 ≤ 5π6 .求得 π3 ≤x≤ π2 .可得函数的减区间为[ π3 . π2 ]．
（3）若∀x1.x2∈[0. π2 ].都有|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立.
函数f（x）的最大值为1.最小值为- 12 .∴1+ 12 ≤m.故实数m的取值范围为[ 32 .+∞）．
【点评】：本题主要考查正弦函数的图象的对称性、单调性.定义域和值域.属于中档题．
20.（问答题.15分）已知函数 fx=asin2x−π6−2cs2x+π6a＞0 .且满足_______．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=1在区间[0.m]上有两个不同解.求实数m的取值范围．
从 ① f（x）的最大值为1. ② f（x）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π. ③ f（x）的图象过点 π6，0 这三个条件中选择一个.补充在上面问题中并作答．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f（x）.
若满足 ① .利用最大值求出a的值.写出f（x）的解析式.求出最小正周期；
（Ⅱ）令f（x）=1求得方程的解.根据方程f（x）=1在区间[0.m]上有两个不同解找出这两个解.从而写出实数m的取值范围．
若满足 ② .利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值.以下解法均相同．
若满足 ③ .利用f（x）的图象过点 π6，0 .代入求出a的值.以下解法均相同．
【解答】：解：（Ⅰ）函数f（x）=asin（2x- π6 ）-2cs2（x+ π6 ）
=asin（2x- π6 ）-cs（2x+ π3 ）-1
=asin（2x- π6 ）-sin（-2x+ π6 ）-1
=（a+1）sin（2x- π6 ）-1.
若满足 ① f（x）的最大值为1.则a+1=2.解得a=1.
所以f（x）=2sin（2x- π6 ）-1；
f（x）的最小正周期为T= 2π2 =π；
（Ⅱ）令f（x）=1.得sin（2x- π6 ）=1.
解得2x- π6 = π2 +2kπ.k∈Z；
即x= π3 +kπ.k∈Z；
若关于x的方程f（x）=1在区间[0.m]上有两个不同解.则x= π3 或 4π3 ；
所以实数m的取值范围是[ 4π3 . 7π3 ）．
若满足 ② f（x）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π.
且f（x）的最小正周期为T= 2π2 =π.所以-（a+1）-1=-3.解得a=1；
以下解法均相同．
若满足 ③ f（x）的图象过点 π6，0 .
则f（ π6 ）=（a+1）sin π6 -1=0.解得a=1；
以下解法均相同．
【点评】：本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题.也考查了三角函数图象与性质的应用问题.是中档题．
21.（问答题.16分）已知向量 a =（sinx.csx）. b =（csx.-csx）.设函数f（x）= a •（ a + b ）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k. x∈0，π2 .其中k∈R.试讨论函数g（x）的零点个数．
【正确答案】：
【解析】：（1）通过向量的数量积求出函数的表达式.利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式.即可求出函数的最小正周期．
（2）利用正弦函数的单调增区间.直接求出函数的单调增区间即可．
（3）求出函数在 x∈0，π2 时函数的取值范围.即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数．
【解答】：解：（1）函数f（x）= a •（ a + b ）=（sinx.csx）•（sinx+csx.0）
=sin2x+sinxcsx= 1−cs2x2 + 12sin2x = 22sin2x−π4+12 ．
所以函数的最小正周期为：π．
（2）因为函数 y=22sin2x−π4+12 .由 2kπ−π2≤2x−π4≤π2+2kπk∈Z .即 kπ−π8≤x≤3π8+kπk∈Z .
所以函数的单调增区间为： −π8+kπ，3π8+kπk∈Z ．
（3） y=22sin2x−π4+12 . x∈0，π2 .所以 2x−π4∈−π4，3π4 .
y=22sin2x−π4+12∈0，2+12 .
函数g（x）=f（x）-k= 22sin2x−π4+12 -k. x∈0，π2 .其中k∈R.
当k＜0或 k＞2+12 时.零点为0个；
当 k∈[1，2+12) 时函数有两个零点.
当 k=1+22 或0≤k＜1时.函数有一个零点；
【点评】：本题是中档题.考查向量的数量积的应用.三角函数的化简求值.函数的单调增区间的求法.函数零点的判断方法.考查计算能力．
1.（单选题.4分）已知sinα= 35 .且α为第二象限角.则csα=（ ）
A.- 43
B.- 34
C.- 45
D.- 35
2.（单选题.4分）若sinα＜0且tanα＞0.则α是（ ）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
3.（单选题.4分）使sinx＞csx成立的x的一个变化区间是（ ）
A.（-π.- 3π4 ）
B.（- 3π4 .0）
C.（- π4 . π4 ）
D.（ π2 . 3π2 ）
4.（单选题.4分）如果 a . b 是两个单位向量.下列四个结论中正确的是（ ）
A. a = b
B. a•b =1
C. a2 ≠ b2
D.| a |2=| b |2
5.（单选题.4分）下列函数中.周期为π且在区间（ π2 .π）上单调递增的是（ ）
A.y=cs2x
B.y=sin2x
C. y=cs12x
D. y=sin12x
6.（单选题.4分）已知向量 a =（4.x）. b =（x.1）.那么“x=2”是“ a || b ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.（单选题.4分）函数 fx=sin2x+π4 的图象.向右平移 π4 个单位长度后得到函数g（x）的解析式为（ ）
A.g（x）=sin2x
B. gx=sin2x+π4
C. gx=sin2x−π4
D. gx=sin2x+3π4
8.（单选题.4分）函数f（x）=csx-cs2x.试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A.奇函数.最大值为2
B.偶函数.最大值为2
C.奇函数.最大值为 98
D.偶函数.最大值为 98
9.（单选题.4分）将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位.得到的图象恰好关于直线x= π6 对称.则φ的最小值是（ ）
A. π12
B. π6
C. π4
D. π3
10.（单选题.4分）意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达•芬奇的经典之作--《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧.在嘴角A.C处作圆弧的切线.两条切线交于B点.测得如下数据：AB=根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（ ）
A. π6，π4
B. π4，π3
C. π3，5π12
D. 5π12，π2
11.（填空题.5分）sinα+csα= 15 .则sin2α=___
12.（填空题.5分）已知向量 a . b 是单位向量. a 与 b 的夹角为120°.则（ a + b ）⋅ b =___ .| a +2 b |=___ ．
13.（填空题.5分）已知csα= 35 .sin（β-α）=- 513 .α.β均为锐角.则sinβ=___ ．
14.（填空题.5分）已知正方形ABCD的边长为1.若点E是AB边上的中点.则 DE•CB 的值为 ___ .若点E是AB边上的动点.则 DE•AC 的最大值为 ___ ．
15.（填空题.5分）对于函数f（x）=csx+sinx.给出下列四个命题：
① 函数f（x）为奇函数；
② 存在α∈（0. π2 ）.使f（α）= 43 ；
③ 存在α∈（0. π2 ）.使f（x+α）=f（x+3α）恒成立；
④ 存在θ∈R．使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称；
其中正确的命题序号是___ ．
16.（问答题.12分）已知角α的终边过点（4.-3）．
（1）求tanα的值；
（2）求 sinα−π4 的值．
17.（问答题.12分）已知向量 a 和 b .则 a=2 . b=2 . 〈a，b〉=60° 求：
（1） a•b 的值；
（2） 2a+b 的值；
（3）2 a + b 与 b 的夹角θ的余弦值．
18.（问答题.15分）已知函数f（x）=2 3sinx•csx+2cs2 x.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求该函数的对称轴方程；
（3）求函数f（x）在区间[ −π6 . 5π12 ]上的最小值和最大值．
19.（问答题.15分）已知函数 fx=sin2x−π6 ．
（1）求函数的对称中心；
（2）函数f（x）在x∈[0. π2 ]内是否存在单调减区间？若存在请说明原因并写出递减区间．若不存在.说明理由；
（3）若∀x1.x2∈[0. π2 ].都有|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立.求实数m的取值范围；
20.（问答题.15分）已知函数 fx=asin2x−π6−2cs2x+π6a＞0 .且满足_______．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=1在区间[0.m]上有两个不同解.求实数m的取值范围．
从 ① f（x）的最大值为1. ② f（x）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π. ③ f（x）的图象过点 π6，0 这三个条件中选择一个.补充在上面问题中并作答．
21.（问答题.16分）已知向量 a =（sinx.csx）. b =（csx.-csx）.设函数f（x）= a •（ a + b ）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k. x∈0，π2 .其中k∈R.试讨论函数g（x）的零点个数．
2021-2022学年北京四中顺义区分校高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：21.满分：150
1.（单选题.4分）已知sinα= 35 .且α为第二象限角.则csα=（ ）
A.- 43
B.- 34
C.- 45
D.- 35
【正确答案】：C
【解析】：由sinα的值及α为第二象限角.利用同角三角函数间的基本关系求出csα的值即可．
【解答】：解：∵sinα= 35 .且α为第二象限角.
∴csα=- 1−sin2α =- 45 .
故选：C．
【点评】：此题考查了同角三角函数基本关系的运用.熟练掌握基本关系是解本题的关键．
2.（单选题.4分）若sinα＜0且tanα＞0.则α是（ ）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【正确答案】：C
【解析】：由正弦和正切的符号确定角的象限.当正弦值小于零时.角在第三四象限.当正切值大于零.角在第一三象限.要同时满足这两个条件.角的位置是第三象限.实际上我们解的是不等式组．
【解答】：解：sinα＜0.α在三、四象限；tanα＞0.α在一、三象限．
故选：C．
【点评】：记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键.可用口诀帮助记忆：一全部.二正弦.三切值.四余弦.它们在上面所述的象限为正
3.（单选题.4分）使sinx＞csx成立的x的一个变化区间是（ ）
A.（-π.- 3π4 ）
B.（- 3π4 .0）
C.（- π4 . π4 ）
D.（ π2 . 3π2 ）
【正确答案】：A
【解析】：在单位圆中画出角的三角函数线.根据三角函数线的大小确定角的范围．
【解答】：解：如图角x的正弦线.余弦线分别是MP.OM.
当角x的终边与弧ABCD相交时.MP＞OM.
∴此时sinx＞csx.
∴不等式sinx＞csx的解集为（2kπ+ π4 .2kπ+ 5π4 ）.k∈Z．
故选：A．
【点评】：本题考查了三角函数线.利用数形结合根据三角函数线的大小确定角的范围．
4.（单选题.4分）如果 a . b 是两个单位向量.下列四个结论中正确的是（ ）
A. a = b
B. a•b =1
C. a2 ≠ b2
D.| a |2=| b |2
【正确答案】：D
【解析】：由相等向量的概念：大小相等.方向相同的两向量为相等向量.即可判断A；
由向量的数量积的定义.即可判断B；
由向量的平方即为模的平方.以及单位向量的概念.即可判断C.D．
【解答】：解：A．单位向量是模为1的向量.但方向可不同.故A错；
B. a•b =| a |•| b |•cs＜ a，b ＞=cs＜ a，b ＞.故B错；
C. a2 =| a |2=1. b2 =| b |2=1.故 a2=b2 .故C错；
D．| a |2=1.| b |2=1.故D对．
故选：D．
【点评】：本题考查平面向量的基本概念：单位向量、相等向量、向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方.属于基础题．
5.（单选题.4分）下列函数中.周期为π且在区间（ π2 .π）上单调递增的是（ ）
A.y=cs2x
B.y=sin2x
C. y=cs12x
D. y=sin12x
【正确答案】：A
【解析】：利用三角函数的周期性和单调性即可求解．
【解答】：解：对于A.y=cs2x的周期为π.在区间（ π2 .π）单调递增函数.所以正确；
对于B.y=sin2x的周期为π.在区间（ π2 .π）不是单调函数.所以不正确；
对于C.y=cs 12 x的周期为 2π12 =4π.所以不正确；
对于D.y=sin 12 x的周期为 2π12 =4π.所以不正确；
故选：A．
【点评】：本题考查三角函数的周期性以及单调性的判断.是基础题．
6.（单选题.4分）已知向量 a =（4.x）. b =（x.1）.那么“x=2”是“ a || b ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】：A
【解析】：先化简命题.再讨论充要性．
【解答】：解：向量 a =（4.x）. b =（x.1）. a || b .则4=x2.解之得x=±2.
则“x=2”是“x=±2”的充分而不必要条件.
即向量 a =（4.x）. b =（x.1）.那么“x=2”是“ a || b ”的充分而不必要条件.
故选：A．
【点评】：本题考查命题充要性.以及向量平行.属于基础题．
7.（单选题.4分）函数 fx=sin2x+π4 的图象.向右平移 π4 个单位长度后得到函数g（x）的解析式为（ ）
A.g（x）=sin2x
B. gx=sin2x+π4
C. gx=sin2x−π4
D. gx=sin2x+3π4
【正确答案】：C
【解析】：直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用求出结果．
【解答】：解：函数 fx=sin2x+π4 的图象.向右平移 π4 个单位长度后得到函数g（x）=sin（2x- π2+π4 ）=sin（2x- π4 ）的图象．
故选：C．
【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换的应用.主要考查学生的运算能力和数学思维能力.属于基础题．
8.（单选题.4分）函数f（x）=csx-cs2x.试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A.奇函数.最大值为2
B.偶函数.最大值为2
C.奇函数.最大值为 98
D.偶函数.最大值为 98
【正确答案】：D
【解析】：由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值．
【解答】：解：由题意.f（-x）=cs（-x）-cs（-2x）=csx-cs2x=f（x）.所以该函数为偶函数.
又f（x）=csx-cs2x=-2cs2x+csx+1=-2（csx- 14 ）2+ 98 .
所以当csx= 14 时.f（x）取最大值 98 ．
故选：D．
【点评】：本题主要考查了函数奇偶性的定义.三角函数的性质以及二次函数的性质.属于基础题．
9.（单选题.4分）将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位.得到的图象恰好关于直线x= π6 对称.则φ的最小值是（ ）
A. π12
B. π6
C. π4
D. π3
【正确答案】：A
【解析】：根据左加右减.写出三角函数平移后的解析式.根据平移后图象的对称轴.把对称轴代入使得函数式的值等于±1.写出自变量的值.根据求最小值得到结果．
【解答】：解：∵把函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位.
∴平移后函数的解析式是y=sin（2x+2φ）.
∵所得图象关于直线 x= π6 对称.
∴由正弦函数的图象和性质可得：2× π6 +2φ=kπ+ π2 （k∈Z）.解得：φ= 12 kπ+ π12 （k∈Z）.
∵φ＞0
∴当k=0时.φ的最小值是 π12 ．
故选：A．
【点评】：本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式.本题解题的关键是先表示出函数的解析式.再根据题意来写出结果.属于基础题．
10.（单选题.4分）意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达•芬奇的经典之作--《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧.在嘴角A.C处作圆弧的切线.两条切线交于B点.测得如下数据：AB=根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（ ）
A. π6，π4
B. π4，π3
C. π3，5π12
D. 5π12，π2
【正确答案】：B
【解析】：取AB=BC≈7.设∠ABC=2θ．可得sinθ≈ 6.37 =0.9.根据α+2θ=π.利用倍角公式即可得出结论．
【解答】：解：取AB=BC≈7.设∠ABC=2θ．
则sinθ≈ 6.37 =0.9．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．
则α+2θ=π.
∴csα=cs（π-2θ）=-cs2θ=2sin2θ-1=0.62．
∵cs π4 = 22 = π3 = 12 =0.5．
∴α∈ π4，π3 ．
故选：B．
【点评】：本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．
11.（填空题.5分）sinα+csα= 15 .则sin2α=___
【正确答案】：[1] −2425
【解析】：根据（sinα+csα）2=1+sin2α求解即可得答案．
【解答】：解：由sinα+csα= 15 .
得（sinα+csα）2=sin2α+cs2α +2sinαcsα=1+sin2α=125 .
∴sin2α= −2425 ．
故答案为： −2425 ．
【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用.二倍角公式的应用.属于基础题．
12.（填空题.5分）已知向量 a . b 是单位向量. a 与 b 的夹角为120°.则（ a + b ）⋅ b =___ .| a +2 b |=___ ．
【正确答案】：[1] 12 ; [2] 3
【解析】：利用向量的数量积以及向量的模的运算法则转化求解即可．
【解答】：解：向量 a . b 是单位向量. a 与 b 的夹角为120°.
则（ a + b ）⋅ b = a•b + b2 = 1×1×−12+1 = 12 ．
| a +2 b |= a2+4a•b+4b2 = 1+4×1×1×−12+4 = 3 ．
故答案为： 12 ； 3 ．
【点评】：本题考查向量的数量积的求法.向量的模的运算法则的应用.是基础题．
13.（填空题.5分）已知csα= 35 .sin（β-α）=- 513 .α.β均为锐角.则sinβ=___ ．
【正确答案】：[1] 3365
【解析】：由两角和的正弦公式.结合同角三角函数的关系求解即可．
【解答】：解：csα= 35 .sin（β-α）=- 513 .α.β均为锐角.
则sin α=45 .cs（β-α）= 1213 .
则sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）csα+cs（β-α）sinα= −513×35+1213×45 = 3365 .
故答案为： 3365 ．
【点评】：本题考查了两角和的正弦公式.属基础题．
14.（填空题.5分）已知正方形ABCD的边长为1.若点E是AB边上的中点.则 DE•CB 的值为 ___ .若点E是AB边上的动点.则 DE•AC 的最大值为 ___ ．
【正确答案】：[1]1; [2]1
【解析】：根据向量的数量积的定义及向量的投影的定义即可求解．
【解答】：解：∵ DE•CB =| CB |•（| DE |cs ＜CB，DE＞ ）.
由向量投影的定义可知：| DE |cs ＜CB，DE＞ =|BC|.
∴ DE•CB =|BC|2=1.
∵ DE•AC =| AC ||| DE |cs ＜AC，DE＞ |.
设AC与BD交于H.
由向量投影的定义可知：当E与A重合时.
|| DE |cs ＜AC，DE＞ |取得最大值|AH|= 22 .
又易知|AC|= 2 .
∴ DE•AC 的最大值为|AC|•|AH|= 2×22 =1．
故答案为：1；1．
【点评】：本题考查向量的数量积的定义.向量的投影的定义.属基础题．
15.（填空题.5分）对于函数f（x）=csx+sinx.给出下列四个命题：
① 函数f（x）为奇函数；
② 存在α∈（0. π2 ）.使f（α）= 43 ；
③ 存在α∈（0. π2 ）.使f（x+α）=f（x+3α）恒成立；
④ 存在θ∈R．使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称；
其中正确的命题序号是___ ．
【正确答案】：[1] ② ④
【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数.进一步利用正弦型函数的性质的应用判断A ① ② ③ ④ 的结论．
【解答】：解：函数f（x）=csx+sinx= 2sinx+π4 .
对于 ① .函数f（-x）≠-f（x）.故函数f（x）不为奇函数.故 ① 错误；
对于 ② .由于f（x）= 2sinx+π4 .由于x∈（0. π2 ）.所以 x+π4∈π4，3π4 .故f（x） ∈(1，2] .由于f（α）= 43 ∈(1，2] .故 ② 正确；
对于 ③ .f（x+α）=f（x+3α）.所以f（x）=f（x+2α）.故函数的最小正周期为2α.由于α∈（0. π2 ）.所以2α∈（0.π）.所以函数f（x）的周期为2π.故 ③ 错误．
对于 ④ .存在θ= π4 .f（x+θ）= 2sinx+θ+π4 .函数f（x）的图象关于y轴对称.故 ④ 正确；
故答案为： ② ④ ．
【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.主要考查学生的运算能力和数学思维能力.属于基础题．
16.（问答题.12分）已知角α的终边过点（4.-3）．
（1）求tanα的值；
（2）求 sinα−π4 的值．
【正确答案】：
【解析】：（1）由正切函数定义求解即可；
（2）由同角三角函数的关系.结合两角差的正弦公式求解即可．
【解答】：解：（1）由角α的终边过点（4.-3）.
则 tanα=−34=−34 ；
（2）因为角α的终边过点（4.-3）.
则角α为第四象限角.则csα＞0.sinα＜0.
又 sinαcsα = tanα=−34 .
由sin2α+cs2α=1.
即 sinα=−35 . csα=45 .
则 sinα−π4 = 22sinα−csα = −7210 ．
【点评】：本题考查了同角三角函数的关系.重点考查了两角差的正弦公式.属基础题．
17.（问答题.12分）已知向量 a 和 b .则 a=2 . b=2 . 〈a，b〉=60° 求：
（1） a•b 的值；
（2） 2a+b 的值；
（3）2 a + b 与 b 的夹角θ的余弦值．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（2）根据平面向量的数量积的性质与定义即可求解；
（3）根据平面向量的夹角公式即可求解．
【解答】：解：（1）∵ a=2 . b=2 . 〈a，b〉=60° .
∴ a•b = 2×2×12 =2；
（2）∵ 2a+b2=4a2+4a•b+b2 =4×4+4×2+4=28.
∴ 2a+b = 27 ；
（3）∵（ 2a + b ）• b = 2a•b+b2 =2×2+4=8.
∴cs ＜2a，b＞ = 2a+b•b2a+bb = 827×2 = 277 ．
【点评】：本题考查平面向量的数量积的定义及性质.属基础题．
18.（问答题.15分）已知函数f（x）=2 3sinx•csx+2cs2 x.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求该函数的对称轴方程；
（3）求函数f（x）在区间[ −π6 . 5π12 ]上的最小值和最大值．
【正确答案】：
【解析】：（1）由题意.利用简单的三角恒等变换.化简函数的解析式.再根据正弦函数的周期性.得出结论．
（2）由题意.根据正弦函数的图象的对称性.得出结论．
（3）由题意.根据正弦函数的定义域和值域.求得函数f（x）在区间[ −π6 . 5π12 ]上的最小值和最大值．
【解答】：解：（1）∵函数f（x）=2 3sinx•csx+2cs2 x= 3 sin2x+cs2x+1=2sin（2x+ π6 ）+1.
∴它的最小正周期为 2π2 =π．
（2）令2x+ π6 =kπ+ π2 .k∈Z.求得x= kπ2 + π6 .k∈Z.
可得函数的图象的对称轴方程为x= kπ2 + π6 .k∈Z．
（3）在区间[ −π6 . 5π12 ]上.2x+ π6 ∈[- π6 .π].故当2x+ π6 =- π6 时.
即x=- π6 时.函数f（x）取得最小值为0；
当2x+ π6 = π2 时.即x= π6 时.函数f（x）取得最大值为3．
【点评】：本题主要考查简单的三角恒等变换.正弦函数的周期性、图象的对称性、定义域和值域.属于中档题．
19.（问答题.15分）已知函数 fx=sin2x−π6 ．
（1）求函数的对称中心；
（2）函数f（x）在x∈[0. π2 ]内是否存在单调减区间？若存在请说明原因并写出递减区间．若不存在.说明理由；
（3）若∀x1.x2∈[0. π2 ].都有|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立.求实数m的取值范围；
【正确答案】：
【解析】：（1）由题意.利用正弦函数的图象的对称性.求得函数的对称中心．
（2）由题意.根据正弦函数的单调性.得出结论．
（3）由题意.求得函数f（x）的最大值和最小值为.可得实数m的取值范围．
【解答】：解：（1）对于函数 fx=sin2x−π6 .令2x- π6 =kπ.k∈Z.
求得x= kπ2 + π12 .k∈Z.可得函数的对称中心为（ kπ2 + π12 .0）.k∈Z．
（2）当x∈[0. π2 ].有2x- π6 ∈[- π6 . 5π6 ].
当2x- π6 ∈[ π2 . 5π6 ]时.函数单调递减.故函数f（x）在x∈[0. π2 ]内.存在单调减区间．
由 π2 ≤2x- π6 ≤ 5π6 .求得 π3 ≤x≤ π2 .可得函数的减区间为[ π3 . π2 ]．
（3）若∀x1.x2∈[0. π2 ].都有|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立.
函数f（x）的最大值为1.最小值为- 12 .∴1+ 12 ≤m.故实数m的取值范围为[ 32 .+∞）．
【点评】：本题主要考查正弦函数的图象的对称性、单调性.定义域和值域.属于中档题．
20.（问答题.15分）已知函数 fx=asin2x−π6−2cs2x+π6a＞0 .且满足_______．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=1在区间[0.m]上有两个不同解.求实数m的取值范围．
从 ① f（x）的最大值为1. ② f（x）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π. ③ f（x）的图象过点 π6，0 这三个条件中选择一个.补充在上面问题中并作答．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f（x）.
若满足 ① .利用最大值求出a的值.写出f（x）的解析式.求出最小正周期；
（Ⅱ）令f（x）=1求得方程的解.根据方程f（x）=1在区间[0.m]上有两个不同解找出这两个解.从而写出实数m的取值范围．
若满足 ② .利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值.以下解法均相同．
若满足 ③ .利用f（x）的图象过点 π6，0 .代入求出a的值.以下解法均相同．
【解答】：解：（Ⅰ）函数f（x）=asin（2x- π6 ）-2cs2（x+ π6 ）
=asin（2x- π6 ）-cs（2x+ π3 ）-1
=asin（2x- π6 ）-sin（-2x+ π6 ）-1
=（a+1）sin（2x- π6 ）-1.
若满足 ① f（x）的最大值为1.则a+1=2.解得a=1.
所以f（x）=2sin（2x- π6 ）-1；
f（x）的最小正周期为T= 2π2 =π；
（Ⅱ）令f（x）=1.得sin（2x- π6 ）=1.
解得2x- π6 = π2 +2kπ.k∈Z；
即x= π3 +kπ.k∈Z；
若关于x的方程f（x）=1在区间[0.m]上有两个不同解.则x= π3 或 4π3 ；
所以实数m的取值范围是[ 4π3 . 7π3 ）．
若满足 ② f（x）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π.
且f（x）的最小正周期为T= 2π2 =π.所以-（a+1）-1=-3.解得a=1；
以下解法均相同．
若满足 ③ f（x）的图象过点 π6，0 .
则f（ π6 ）=（a+1）sin π6 -1=0.解得a=1；
以下解法均相同．
【点评】：本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题.也考查了三角函数图象与性质的应用问题.是中档题．
21.（问答题.16分）已知向量 a =（sinx.csx）. b =（csx.-csx）.设函数f（x）= a •（ a + b ）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k. x∈0，π2 .其中k∈R.试讨论函数g（x）的零点个数．
【正确答案】：
【解析】：（1）通过向量的数量积求出函数的表达式.利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式.即可求出函数的最小正周期．
（2）利用正弦函数的单调增区间.直接求出函数的单调增区间即可．
（3）求出函数在 x∈0，π2 时函数的取值范围.即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数．
【解答】：解：（1）函数f（x）= a •（ a + b ）=（sinx.csx）•（sinx+csx.0）
=sin2x+sinxcsx= 1−cs2x2 + 12sin2x = 22sin2x−π4+12 ．
所以函数的最小正周期为：π．
（2）因为函数 y=22sin2x−π4+12 .由 2kπ−π2≤2x−π4≤π2+2kπk∈Z .即 kπ−π8≤x≤3π8+kπk∈Z .
所以函数的单调增区间为： −π8+kπ，3π8+kπk∈Z ．
（3） y=22sin2x−π4+12 . x∈0，π2 .所以 2x−π4∈−π4，3π4 .
y=22sin2x−π4+12∈0，2+12 .
函数g（x）=f（x）-k= 22sin2x−π4+12 -k. x∈0，π2 .其中k∈R.
当k＜0或 k＞2+12 时.零点为0个；
当 k∈[1，2+12) 时函数有两个零点.
当 k=1+22 或0≤k＜1时.函数有一个零点；
【点评】：本题是中档题.考查向量的数量积的应用.三角函数的化简求值.函数的单调增区间的求法.函数零点的判断方法.考查计算能力．
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