河南省商丘市梁园区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河南省商丘市梁园区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共20页。
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．试卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是分式方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意；
C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
2. 目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平已达到7纳米，但还无法量产，目前能够满足中低端芯片且能量产的芯片实际为0.000000014米，用科学记数法将0.000000014米表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：米，
故选C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（ ）
A. 17或22B. 22C. 17D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当腰为4时，，所以不能构成三角形；当腰为9时，，可以构成三角形，再计算三角形的周长即可.
【详解】解：分两种情况：
当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：B．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法，及积的乘方计算法则分别计算并判断即可．
【详解】解：A、，故原计算错误，故不符合题意；
B、，故原计算正确，故符合题意；
C、，故原计算错误，故不符合题意；
D、，故原计算错误，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的乘法计算，正确掌握幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法，及积的乘方计算法则是解题的关键．
5. 关于x的多项式是完全平方式，则实数a的值是（ ）
A. 3B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行分析计算．
【详解】解：∵多项式完全平方式，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键．
6. 如图所示：和中，其中，能使的条件共有（ ）
①，，；②，，；
③，，；④，，．

A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知条件的位置来选择判定方法都解题的突破口．要判断能不能使一定要熟练运用判定方法判断，做题时注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，要根据已知条件的位置来选择判定方法．
【详解】解：根据全等三角形的判定方法可知：
①，，，用的判定方法是“边边边”；
②，，，用的判定方法是“边角边”；
③，，，用的判定方法是“角边角”；
④，，，不一定全等；
因此能使的条件共有3组
故选C．
7. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点N，若，，则的周长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得出，进而得出结论．
【详解】解：线段的垂直平分线交于点，，，
，
的周长．
故选：C．
8. 已知，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂相除的逆运算和幂的乘方的逆运算，即可求解．
【详解】解：，，

，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相除的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
9. 关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值．
【详解】解：分式方程变形，得，
把代入，得；
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键．
10. 如图，四边形中，， 在上分别找一点M、N，使周长最小，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作点关于的对称点，关于的对称点，根据轴对称确定最短路线问题，连接与、的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理列式求出，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后计算即可得解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，
连接与、的交点即为所求的点、，
，，
，
由轴对称的性质得：，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点、的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 式子的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据零指数幂的意义求解即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查零指数幂，掌握任何不等于0的数的0次幂都等于1是解题的关键．
12. 如图，在和中，已知，，请添加一个条件 ______ ，使得．
【答案】或或．
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定，即可求解．
【详解】解：添加的条件是或或，
理由是：在和中，
添加：，
，
．
添加：
，，，
，
添加：
，，，
．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13. 若的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的项，合并系数，令含有x项的系数等于0，即可求出结果．
【详解】解:
∵不含有x的一次项，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键．
14. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ．
【答案】且
【解析】
【分析】首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为负数，求出的取值范围即可．
【详解】
去分母得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
解得：，
，
，
，即，
，
，
的取值范围：且．
故答案为：且
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．
15. 如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边，点为射线上一点，若，则的度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，旋转的性质，分两种情况讨论点的位置．点位于左侧．点位于右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等腰三角形的性质可求出的度数，
【详解】解：①当位于左侧时，如图，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
②当位于右侧时，如图，将绕着点顺时针旋转得到，则是等边三角形，
，
，
故答案为：或．
三、解答题（共8题，共75分）
16. (1)计算：；
(2)计算：．
(3)因式分解：；
(4)因式分解：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解；
（1）根据多项式除以单项式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以单项式，单项式除以单项式，然后合并同类项，即可求解；
（3）根据平方差公式因式分解，即可求解；
（4）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式
．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）原方程无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，找准最简公分母并注意检验结果是解题关键．
（1）方程左右同乘去分母，求解并检验即可；
（2）方程左右同乘去分母，求解并检验即可．
【小问1详解】
去分母得，
去括号得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
【小问2详解】
去分母得，
去括号得，
合并同类项得，
解得
检验：将代入
∴原方程无解．
18. 先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中：．
【答案】（1）；21
（2）；3
【解析】
【分析】此题考查了整式及分式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）首先利用平方差公式以及完全平方公式计算，然后去括号、合并同类项即可化简，然后代入数值计算；
（2）先将括号内的进行通分并相减，再化除法为乘法，再约分，最后再代入数据求值即可．．
小问1详解】
原式
，
当时，原式
【小问2详解】
原式
当时，原式
19. 如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且．

（1）求证：；
（2）如果，求度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行线性质可得，再由可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求出，再由两直线平行内错角相等即可求解．
【小问1详解】
证明，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．
20. 某校为了落实“双减”政策，课后延时服务开设了多个社团，“华罗庚基地”数学社团需要添置一些趣味学具：第一次购买该学具花费2000元，因学具不够第二次又花费2000元购买，但单价比原来上涨了，结果第二次购买的学具比第一次少40件．
（1）求购进的两批学具单价；
（2）求该社团前后两次一共购买学具的数量．
【答案】（1）第一批购进学具的单价为10元/件，第一批购进学具的单价为元/件
（2）360件
【解析】
【分析】（1）设第一批购进学具的单价为x元/件，则第二批购进学具的单价为元/件，根据数量=总价÷单价结合第二次所购进学具的数量比第一次少40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量=总价÷单价即可求出结论．
【小问1详解】
解：设第一批购进学具的单价为x元/件，则第二批购进学具的单价为元/件，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：第一批购进学具的单价为10元/件，第二批购进学具的单价为元/件；
【小问2详解】
解：第一次购买的数量为（件），
第二次购买的数量为（件），
所以两次购买的数量为（件）．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21. 如图．在数学活动课中，小明剪了一张△ABC的纸片，其中∠A=60°，他将△ABC折叠压平使点A落在点B处，折痕DE，D在AB上，E在AC上．
（1）请作出折痕DE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断△ABE的形状并说明；
（3）若AE=5，△BCE的周长为12，求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）△ABE是等边三角形；（3）17；
【解析】
【分析】（1）作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E，DE即为所求；
（2）由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，由∠A=60°，即可得出△ABE是等边三角形；
（3）由三角形的周长和AE=BE得出BC+AC=13，由等边三角形的性质得出AB=AE=6，即可得出△ABC的周长．
【详解】解：（1）根据题意得：
作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E，DE即为所求，如图1所示：
（2）△ABE是等边三角形，理由如下：
如图2所示：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵∠A=60°，
∴△ABE是等边三角形；
（3）∵△BCE的周长为12，
∴BC+BE+CE=12，
∵AE=BE，
∴BC+AC=12，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=5，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC
=5+12=17．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
22. 图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
（1）请求图b中的大正方形的边长为_______，阴影部分正方形的边长为______；
（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积；
（3）观察图b，请写出、、这三个代数式之间的等量关系；
（4）若，，求的值．
【答案】（1）；；（2）或；（3）；（4）．
【解析】
【分析】（1）直接观察图形可得长为m，宽为n的长方形的长宽之和即为大正方形的边长；长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；
（3）利用（2）中图b中的阴影部分的正方形面积得到（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（4）根据（3）的结论（m-n）2=（m+n）2-4mn；将，直接代入即可求解
【详解】（1）图b中的大正方形的边长为，
阴影部分正方形的边长为．
故答案为：；
（2）方法一：，
∴．
方法二：．
（3）．
（4）当，时，．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式及变形式．
23. 在边长为8的等边三角形中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若，当t取何值时？
（2）若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形（在图2中画出示意图）．
（3）如图3，将边长为的等边三角形变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且，，点P运动到AB中点处静止后，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，直接写出a的值．
【答案】（1）t=2 （2）t=
（3）1或
【解析】
【分析】（1）根据是等边三角形，PQ//AC，得出 ，，证明出是等边三角形，即可得出；
（2）需要进行分类讨论，当点Q在边BC上时，此时不可能为等边三角形；当点Q在边AC上时，若为等边三角形，则，然后求解；
（3）当，全等时，分两种情况讨论，当时，当时，设经过秒后全等，，然后再分类讨论，进行计算．
【小问1详解】
解：如图1
是等边三角形，PQ//AC，
，，
又，
，
是等边三角形，
，
由题意可知：，则，
，
解得：，
故t的值为2时，PQ//AC．
【小问2详解】
解：如图2
①当点Q在边BC上时，
此时不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若为等边三角形，则，
由题意可知，，，
，
即：，
解得：，
故当秒时，为等边三角形；
【小问3详解】
解：如图3:
，
当，全等时，分两种情况讨论，
当时，
设经过秒后全等，
，
根据，
，
解得：，
即时，，全等；
当时，
设经过秒后全等，
，
根据，
即，
解得：，
，
，
解得：，
综上：当，全等时，a的值为1或．
【点睛】本题考查了等边三角形、平行线的性质、三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握相应的定理，还需要利用分类讨论的思想进行求解．