浙江省绍兴市浣江教育共同体2023-2024学年九年级上学期数学期中测试卷

这是一份浙江省绍兴市浣江教育共同体2023-2024学年九年级上学期数学期中测试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1． 若ab=35，则a+bb的值等于（ ）
A．15B．25C．83D．85
2．已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P（ ）
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定
3．二次函数y=x2+1的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（－1，0）B．（1，0）C．（0，1）D．（0，－1）
4．若两个三角形的相似比为1：3，则它们的面积比为（ ）
A．1：3B．1：9C．3：1D．9：1
5．一个不透明的盒子里有6个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个红球，2个黄球和1个白球.从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A．16B．13C．12D．23
6．关于二次函数y=2(x−4)2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4B．有最大值6C．有最小值4D．有最小值6
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
8．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上，若BF=92cm，CE=2cm，则矩形纸条DEFG的面积为（ ）cm2.
A．3B．392C．19D．132
9．二次函数y1=−x2+bx+c与一次函数y2=kx−9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1A．2＜x＜3B．x＜3C．x＜2或x＞3D．x＞2
10．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）
A．2−1B．2+1C．4−2D．22−2
二、填空题（本题有6小题.每小题4分，共24分）
11． 成语“守株待兔”反映的事件是 事件（填必然、不可能或随机）．
12．已知扇形的圆心角为120°，它的弧长为 6π ，则它的半径为 ．
13． 若二次函数y=ax2+2ax−3的图象与x轴的一个交点是（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是 ．
14．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为4cm，则AP的长为 cm．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．连结AD，将△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F．已知AC＝1，BC＝2，若△DEF为直角三角形，则△DEF的面积为 ．
16． 如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝4，BC＝3．若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，则弦CD的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为23．
（1）求袋子中白球的个数；
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
18．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝15米，求该古城墙的高度CD．
19．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，710），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由.
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC=23，在线段AC上取点D，使AD＝2CD，连接BD并延长交△ABC的外接圆于点E．
（1）不添其他辅助线写出图中一对相似三角形，并说明理由；
（2）求弦CE的长．
21．诸暨某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出140件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少10件，设这种商品的销售单价为x元（x≥7）．
（1）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为600元，求x的值．
（2）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？
22．如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m，宽AB为3m，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m．
（1）求圆弧AED所在圆的半径；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6m，宽3.3m，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由．
23．已知二次函数y=x2+bx+c．
（1）当b=−2，c=−3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当−1≤x≤4时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最小值为−8；当x＞0时，y的最小值为−9，求二次函数的表达式．
24．如图1所示，正方形BEFG绕正方形ABCD的顶点B逆时针旋转α度（0°＜α＜45°），GF与AB交于点H．
（1）当BE＝4，α＝30°时，求BH的长；
（2）如图2，连接DF，CE，BD；
①判断DF与CE的数量关系，并证明；
②当G，F，D三点共线时，延长BF交AD于点M，FM=22，FD=6时，求BC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵a+bb=ab+11=ab+1，
∴ 原式=35+1=85.
故答案为：D.
【分析】先化简代数式，再代入求值即可.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ PO=4cm∴ 点P在 ⊙O 内.
故答案为：A.
【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小比较确定来点的位置即可.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=1，即二次函数与y轴的交点为（0，1）.
故答案为：C.
【分析】将x=0代入求y值即可.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：面积比=相似比的平方=（1：3）2= 1：9.
答案为：B.
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求得.
5．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵盒子里有6个除颜色外其他完全相同的小球，其中白球1个，
∴ 摸到白球的概率是16 .
故答案为：A.
【分析】用白球的个数除以总球数即可求得.
6．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由二次函数y=2(x−4)2+6得：抛物线开口向上，有最小值6.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式得开口方向和顶点即可求得.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠A=115°，
∴ ∠BCD=180°-∠A=65°，
∴∠BOD=2∠BCD=130°.
故答案为：C.
【分析】首先根据圆内接四边形的对角互补求出∠BCD的度数，然后根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴ ∠C+∠B=90°，
∵ 四边形DEFG为矩形，
∴ ∠ DEC= ∠GFE=90° ，
∴ ∠GFB=∠CED=90°，
∴ ∠C+∠ CDE=90°，
∴ ∠B=∠CDE，
∴ △BFG∽△DEC，
同理得：△GAD∽△DEC，
∴BFGF=DECE，
∵BF=92cm，CE=2cm， GF=DE，
∴ GF=DE=3，
∴ CD=DE2+EC2=13，
∵D 是AC的中点 ，
∴ AD=CD=13，
∴GDAD=CDCE，
∴ GD=132，
∴ S矩形纸条DEFG=GD·DE=392 .
故答案为：B.
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似判定△BFG∽△DEC∽△GAD，根据相似三角形的性质求得GF=DE，再根据勾股定理求得CD，根据线段中点得AD，再利用相似三角形的性质求得GD，即可求得矩形面积.
9．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 y1=−x2+bx+c ，
∴ 二次函数的图象开口向下，
∵ 二次函数和一次函数的图象交点为 交于点A（2，5）和点B（3，m），
∴ 当 x＜2或x＞3时，y1故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象特征，取一次函数在二次函数上方时自变量的取值范围即可.
10．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CO，如图，
由三角形两边之差小于第三边，
当C、O、E共线时，OE最小，
设AC⏜的弧度为x，则BC⏜的弧度为180°-x，
∵ ∠CAB=∠CAD，
∴CD⏜的弧度为180°-x，
由折叠知：AEC⏜=AC⏜=x，
AD⏜=x-(180°-x）=2x-180°，
∵ 点E为弧AD的中点，
∴AE⏜=12AD⏜=x-90°，
∴CE⏜=AC⏜-AE⏜=90°，
∴CE⏜所对圆心角为90°，
∵ 直径AB=2，
∴ CE=2，
∴OE= CE-OC=2−1.
故答案为：A.
【分析】由三角形的两边之差小于第三边得点O、C、E共线时OE最小，设AC⏜的弧度为x，得CD⏜、AD⏜、AE⏜，进而得到CE⏜所对圆心角为90°，OE= CE-OC即可求得.
11．【答案】随机
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：守株待兔反应的事件是可能发生也可能不发生的事件，即随机事件.
故答案为：随机.
【分析】根据随机事件的定义即可求得.
12．【答案】9
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】l=120πr180=2πr3，所以r=3l2π=3×6π2π=9，故答案填9
【分析】根据弧长公式进行求解：弧长=nπr180.
13．【答案】（-5，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由 y=ax2+2ax−3得，二次函数的对称轴为x=−2a2a=-1，
又与x轴的两交点关于对抽轴也对称，则另一个交点的坐标为（-2-3，0），即（-5，0）.
故答案为：（-5，0）.
【分析】根据二次函数的解析式得对称轴即可求得.
14．【答案】25−2
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解： ∵P 是AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴BPAP=5−12，
∵ AP+BP=4，
∴4−APAP=5−12，
解得：AP=25−2.
故答案为：25−2.
【分析】根据黄金分割点列出关于AP的式子，求解即可.
15．【答案】14或3−52.​​​​​​
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：第一种情况：延长ED交AB于点G，如图，
当∠EDF=90°，则∠GDF=90°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，AE交BC边于点F ，
∴ ∠ADB=∠ADE，即∠ADG=∠ADF，
∵ ∠ADG+∠ADF=90°，
∴ ∠ADF=45°，
∴ △ACD为等腰直角三角形，
∴ AC=CD=1，
∵ BC=2，
∴ BD=DE=1，
∵ △ ACB∽△GDB，
∴ACCB=GDBD，
∴ GD=12，
∴ FD=12，
∴ S△DEF=12×DE×DF=14；
第二种情况：延长ED交AB于点G，如图，
由翻折的性质得：△ADE≌△ADB，△DEF≌△DGB，
∴ AG=AC=1，
∵ ∠ACB=90°，AC=1， BC=2，
∴ AB=5，
∵ AC=1，
∴ FE=5−1，
∴ 在Rt△DEF中，∠EFD=90°，
则FE2+FD2=DE2，即5−12+FD2=2−FD2，
解得：FD=5−12，
则 S△DEF=12×FE×FD=3−52；
故答案为：14或3−52.
【分析】分两种情况：第一种∠EDF=90°，根据翻折的性质得∠ADG=∠ADF，BD=DE，推出△ACD为等腰直角三角形，再根据相似三角形的性质求得FD即可求得；
第二种∠ADG=∠ADF，根据翻折的性质得EF，根据勾股定理得AB，在Rt△DEF中再根据勾股定理求得FD即可.
16．【答案】22或722
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥CD，如图，
当 △ABD 为等腰三角形 ，则∠BAD=∠ ABD=45°，
∴∠DCB=45°，
∴ △CEB为等腰直角三角形，
∴ CE=BE=322，
∵ △ABD为等腰直角三角形，
∴ AD=BD=522，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=5，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=22，
∴ CD=CE+DE=722，
∵ DD'=AB=5，
在在Rt△DD'C中，由勾股定理得：CD'=22.
故答案为：22或722.
【分析】根据题意找到D和D'两点，根据垂径定理得∠DCB=45°推出△CEB为等腰直角三角形求得CE，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理得BD，再根据勾股定理即可求得DE，CD即可求出；再利用勾股定理即可求得CD'.
17．【答案】（1）解：23=白球个数所有的球数，即23=白球个数3，
则白球个数为2；
（2）解：根据题意得，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共9种，而两次都摸到相同颜色的小球的结果有5种，所以
P=59.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求得；
（2）根据题意画出树状图，找出所有可能出现的结果和两次都摸到相同颜色的小球的结果，再利用概率公式即可.
18．【答案】解：∵ AB⊥BD，CD⊥BD ，
∴ ∠ABP=∠PCD=90°，
∵ 点P 处放一水平的平面镜，
∴ ∠APB=∠CPD，
∴ △ABP∽△CDP，
∴ABBP=CDPD，即23=CD15，
∴ CD=10
即 该古城墙的高度CD 为10m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先根据两个角分别相等的两个三角形相似，即△ABP∽△CDP，推出ABBP=CDPD，即可求得.
19．【答案】（1）解：设二次函数为y=a(x-1)2+710，
∵ 点A（2，1）在图形上，
∴ 1=a(2-1)2+710，则a=310，
∴ y=310(x-1)2+710.
（2）解：不在，过点A作AC⊥x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴交于点D，如图，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴ ∠AOC+∠BOD=90°，
∵ BD⊥x轴，
∴ ∠BDO=90°，即∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠AOC=∠OBD，
∵ AC⊥x轴，
∴ ∠OCA=90°，
∴ ∠BDO=∠OCA，
∴ △BDO ≌ △OCA（AAS），
∴ BD=OC=2，OD=AC=1，
∴B（-1，2），
x=-1代入 y=310(x-1)2+710得，y=1910≠2，
即 点B不在此二次函数的图象上.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由顶点坐标写出函数的顶点式y=a(x-1)2+710，再将点A坐标代入即可求得；
（2）分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，根据AAS证明 △BDO ≌ △OCA，根据全等三角形的性质得 BD=OC=2，OD=AC=1，得到 B（-1，2），再将x=-1代入解析式，y值不为2，即可判断点B不在此二次函数的图象上.
20．【答案】（1）解：∵∠A=∠E，∠EDC=∠ADB，
∴ △EDC ∽ △ADB；​​
（2）解： ∵ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC=23 ，
∴ AB=43，
∵ AD ＝2CD ，
∴ADCD=ABEC，
∴ EC=23.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得∠A=∠E，对顶角相等∠EDC=∠ADB，即可求得 △EDC ∽ △ADB；
（2）根据勾股定理得AB=43，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得CE.
21．【答案】（1）解：根据题意得：(x-5)[140-10(x-7)]=600，
解得：x=11或x=15，
答： x的值为11或15.
（2）解：设利润为y元，根据题意得：
y=(x-5)[140-10(x-7)]=-10(x-13)2+640，
当x=13时，利润取最大值640，
答：销售单价定位13元，最大利润为640.
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可；
（2）列出利润关于销售单价的二次函数，变形为顶点式，即可得到最大利润.
22．【答案】（1）解：设圆心为点O，半径为R，连接OE交AD于点F，连接OD，OA，如图，
∵OE⊥AD，OE平分AD，
∴△AFO是直角三角形，
∵ AF=12AD=12BC=6，OF=OE-EF=R-4，
∴ AF2+OF2=AO2， 即62+(R-4)2=R2，
解得：R=6.5，即 圆弧AED所在圆的半径为6.5m.
（2）解：能，取GF=3m，过点G作GH⊥EO，如图，
在Rt△GHO中，OG=GF+OF=5.5m，OH=6.5m，
GH=OH2−OG2=23≈3.46>3.3，
所以这辆货运卡车能否通过该隧道 .
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得OE垂直平分AD，再根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理算出隧道达到车高时隧道的宽度，与车宽比较即可.
23．【答案】（1）解：当b=−2，c=−3时， y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
①顶点坐标（1，-4）；
② 当−1≤x≤4时 ，
x=1时，y取最小值-4；
x=4时，y取最大值5；
∴y的取值范围−4≤y≤5·
（2）解：由题意得：x＞0时，函数有最小值，即对称轴在y轴的右侧，
且 x≤0时，函数随x的增大而减小，
∴x=0时，y=-8，即c=-8，
-9=4×1×(−8)−b24×1，解得b=2或-2，
∵对称轴在y轴的右侧，即−b2>0，
∴ b<0，
∴ b=-2，
∴ y=x2-2x-8.
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将解析式变形为顶点式即可求得顶点坐标，根据二次函数的图形性质即可求得y的取值范围；
（2）根据二次函数图象性质得最小值和对称轴即可求得.
24．【答案】（1）解：∵ 四边形BEFG是正方形，BE=4，
∴ BG=4，∠G=90°，
∵ α＝30° ，即∠GBH=30°，
∴ GH=12BH，
∴ 在Rt△GBH中，勾股定理得，
12BH2+BG2=BH2
解得：BH=833.
（2）解：①连接BF，如图，
∵ 四边形BEFG，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DBC=∠FBE=45°，BD=2BC，BF=2BE
∴BDBC=BFBE=2，
∵ ∠DBC-∠DBE=∠FBE-∠DBE，
∴ ∠FBD=∠EBC，
∴ △FBD∽△EBC，
∴DFCE=BDBC=2，
∴ DF=2CE.
②画出图形，如图，
∵ 四边形BEFG，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠MDB=∠GFB=45°，
∴ ∠MDB=∠MFD=45°，
∴ △MDB∽△MFD，
∴MDMF=MBMD=BDDF，
设正方形ABCD边长为a，
则MD22=MBMD=2a6，
∴ MD=23a，MB=29a2，
∴ AM=AD-MD=13a，
在Rt△ABM中，AM2+AB2=MB2，
13a2+a2=29a22，
解得：a=35，
即BC=35.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理即可求得；
（2） ①根据正方形的性质得BDBC=BFBE=2，从而判定△FBD∽△EBC，再根据相似三角的对应边成比例即可求得；
②根据两个角分别相等的两个三角形为相似三角形得△MDB∽△MFD，推出 MDMF=MBMD=BDDF，求出MD，MB，AM，再根据勾股定理求得BC.