山东省烟台市牟平区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省烟台市牟平区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3．已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形
4．下列各式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式的因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列图形是正六边形，对角线的交点为O，则关于由图形①到图形②的变换说法：①可以经过中心对称和旋转得到，②可以经过旋转和轴对称得到，③可以经过平移得到，④可以经过旋转得到．其中说法正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1B．C．2D．
8．甲、乙两位队员的射击成绩如图：则下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均数大B．乙的中位数大
C．甲的方差大D．乙的方差大
9．如图所示，在中，，，，将绕上的点O顺时针旋转，得到，连接．若，则的长为（ ）
A．B．5C．D．
10．如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
11．王利在一家便利店买了若干瓶酸奶，结账时共计48元，收银员告诉他满50打八折，于是王利又拿了一瓶相同的酸奶，共花费了44.8元．则王利一共买了几瓶酸奶？若设该酸奶单价为x元/瓶，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
13．已知，，则多项式的值为 ．
14．从小到大排列的一组数，如果这组数据的平均数与中位数相等，则的值为 ．
15．如图，在中，，，分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为 ．
16．如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为 .
17．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则线段的长为 ．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，是一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
三、解答题
19．（1）因式分解：
（2）解关于x的分式方程：
20．先化简，再求值： ，再从，0，1和2中选一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，．将绕点O按逆时针方向旋转后得到．
(1)画出，并写出点、、的坐标；
(2)画出关于原点O对称的；
(3)以点O为圆心，为半径画圆，求扇形的面积．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
23．某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
Ⅰ．甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图；
Ⅱ．丙家民宿“综合满意度”评分：
，，，，，，，，，．
Ⅲ．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数，如表22：根据以上信息，回答下列问题：
(1)请求出表中x的值；
(2)设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，，观察图形数据通过分析写出、、之间的大小关系；
(3)据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．
24．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
25．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
26．【问题呈现】
四边形和都是正方形，直线，交于点P．
【问题解决】
（1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明；
【类比探究】
（2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________．
甲
乙
丙
平均数
中位数
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，是解题的关键．
【详解】解：A.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
3．C
【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
则（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．
4．A
【分析】根据最简分式的概念逐一判断即可．
【详解】解：A．，分子分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
B．，不是分式，不符合题意；
C． ，不是最简分式，不符合题意；
D．，不是最简分式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查最简分式的定义，分式的化简，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式．
5．D
【分析】因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，再结合提公因式与公式法分解因式对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
【详解】解：A，，故此选项不符合题意．
B，，故此选项不符合题意．
C，不是因式分解，故此选项不符合题意．
D，，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了判断因式分解是否正确，同时考查了利用平方差公式，完全平方公式分解因式，综合提公因式与公式法分解因式，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
6．D
【分析】本题考查了旋转、平移、轴对称，掌握旋转、平移、轴对称的定义是正确解答的关键．根据旋转、平移、轴对称逐项进行判断即可．
【详解】解：如图，
（1）①关于点O的中心对称图形为③，而图③绕着点O逆时针旋转可得②，故（1）是正确的；
（2）①绕着点O逆时针旋转得到④，④关于虚线的对称图形为②，因此（2）是正确的；
（3）将①向沿方向且平移的长度为长则可得到②，因此（3）是正确的；
（4）①绕着点O顺时针旋转得到②，因此（4）是正确的；
故选：D．
7．C
【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．
【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．C
【分析】本题考查了方差、中位数以及平均数的定义等知识，熟练掌握相关定义以及求解方法是解题的关键．利用平均数、中位数和方差的定义计算即可得出答案．
【详解】∵甲10次射击的成绩从小到大排列为6、7、7、7、8、8、9、9、9、10，
∴甲成绩的平均数为，甲的中位数为，
方差为．
∵乙10次射击的成绩从小到大排列为6、7、7、8、8、8、8、9、9、10，
∴乙成绩的平均数为，乙的中位数为，
方差为．
∴甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数，甲的中位数等于乙的中位数，，
∴甲的方差数大于乙的方差数．
故选：C
9．A
【分析】作于H．连接，．根据证明得，根据勾股定理求出，然后利用面积法求出的长即可求解．
【详解】解：如图，作于H．连接，．
由旋转的性质得，．，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转变换，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
11．D
【分析】根据题意可知等量关系：第二次购买酸奶数－第一次购买酸奶数=1，由此列出方程即可．
【详解】解：根据题意可知第二次购买酸奶数－第一次购买酸奶数=1，
由可列出方程为：，
故选：D．
【点睛】本题考查列分式方程解决实际问题，能够根据题意找出等量关系式解决本题的关键．
12．A
【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
点为的中点，
，
又∵，
∴，
，
，
是等边三角形，
，，
∴，
∴,
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，故①正确；
在平行四边形中，，，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∵，
平行四边形是菱形，故③正确；
，，
在中，，
，
∴，故②正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，
，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
13．88
【分析】本题考查因式分解和代数式求值，将多项式分解为含有，的式子，再将，代入整理后的式子求解，即可解题．
【详解】解：
，
，，
上式，
故答案为：88．
14．8
【分析】根据这组数据的中位数和平均数相等，得出（4+x）÷2=（2+4+10+x）÷4，求出x的值即可．
【详解】解：∵这组数据的中位数和平均数相等，
∴（4+x）÷2=（2+4+10+x）÷4，
解得：x=8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了中位数和平均数、解一元一次方程，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是根据中位数和平均数相等列出方程．
15．
【分析】先根据，分别为、的中点求得AB＝4，再根据求得AC＝8，BC＝，进而可求得BE＝，最后证明四边形ABFD为平行四边形即可求得四边形ABFD的面积．
【详解】解：∵，分别为、的中点，，
∴AB＝2DE＝4，，
∵在中，，
∴AC＝2AB＝8，
∴BC＝＝＝，
又∵点E为BC中点，
∴BE＝BC＝，
∵，，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴四边形的面积＝AB×BE＝4×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线、含30°的直角三角形、勾股定理以及平行四边形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
16．20
【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长．
【详解】解：，
，
，，
，
点和点分别是和的中点，
，，是的中位线，
，
．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质．
17．
【分析】设，根据菱形性质可得到，进而得到，解得x值，根据勾股定理即可求得值．本题考查菱形的性质结合勾股定理的应用，熟练掌握菱形性质是解题的关键．
【详解】解：设，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴,
故答案为：．
18．
【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
，
将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，…，
∴每4次循环一周，，
∵，
∴点与B同在一个象限内，
∴点的坐标为．
故答案为：．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查了因式分解，解分式方程，熟练掌握运算法则与运算步骤是解此题的关键．
（1）将看作一个整体，再利用因式分解相关法则运算即可．
（2）掌握解分式方程方法步骤，“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验”，即可解题．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
经检验使，
所以为方程的解．
20．，(答案不唯一)
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从，0，1和2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子，即可解答本题．
【详解】解： 原式
，
∵，
∴当时，原式(答案不唯一)．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式混合运算法则．
21．(1)见解析，，，
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了旋转变换作图以及扇形的面积，正确得出三角形对应点的位置长是解题的关键．
（1）依据绕点逆时针方向旋转后得到，进行画图即可；
（2）依据中心对称的性质，即可得到关于原点对称的；
（3）依据扇形的面积计算公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
点，，的坐标分别为，，；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：勾股定理，得，
又旋转角，
扇形的面积为．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用AE平分∠BAD，推出∠BAE＝∠AEB，得到BE=AB，即可得到结论；
（2）根据BE＝AB，BF平分∠ABE，得到AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出DF＝CF，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB＝CD
∴∠DAE＝∠AEB
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∴∠BAE＝∠AEB
∴BE＝AB
∴BE=CD
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE
∴AF＝EF
在△ADF和△ECF中
∴△ADF≌△ECF
∴DF＝CF
又∵AF＝EF
∴四边形ACED是平行四边形．
【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)推荐乙，理由见解析
【分析】本题考查了折线统计图，求一组数据的中位数，方差的意义；
（1）将丙甲家民宿“综合满意度”评分，重新排序，求得中位数即可求解；
（2）根据数据的波动范围即可求解；
（3）根据平均数与方差两方面分析即可求解．
【详解】（1）解：丙家民宿“综合满意度”评分：
，，，，，，，，，
从小到大排列为：，，，，，，，，，
中位数
（2）根据折线统计图可知，甲的评分数据在分与分之间波动
乙的评分数据在分与分之间波动
根据丙的数据可知，丙的评分数据在分与分之间波动
（3）推荐乙
理由：乙的平均数较高，中位数较大，方差最小，数据稳定．
答案不唯一，合理即可．
24．(1)见解析；
(2)18．
【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，即可得到AB=DF，从而证明四边形ABDF是平行四边形，再根据∠BDF=90°即可证明四边形ABDF是矩形；
（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四边形性质求得CF=6，最后利用梯形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠BAE=∠FDE，
∵E为线段AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴≌（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF=90°，
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形ABDF是矩形，
∴AB=DF=3，∠AFD=90°，
∴在中，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，
∴CF=CD+DF=3+3=6，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键．
25．（1）甲队单独完成需60天，乙队单独完成这项工程需要90天；
（2）工程预算的施工费用不够，需追加预算4万元.
【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；
（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
【详解】（1）解:设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成需要天；

解得：
经检验，x=90是原方程的根．
则（天）
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y(+)=1
解得y=36
需要施工费用：36×(8.4+5.6)=504(万元)
∵504>500
∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
26．（1），，证明见解析；（2）①成立，见解析；②
【分析】（1）证明和全等，可得，即可求解；
（2）①证明设交于点I，则，和全等，可得，即可求解；
②连接．根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：（1），证明如下：
∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
∵点G在边AB上，
∴点E，A，D三点在同一条直线上，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①成立，理由如下：
如图，设交于点I，则，

∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．