高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布同步测试题

7.4  二项分布与超几何分布（精讲）

考法一 二项分布

【例1】（2020·全国高二课时练习）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.

（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？

（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列.

【答案】（1）；（2）分布列答案见解析.

【解析】（1）记“小球落入4号容器”为事件，

若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，

∴理论上，小球落入4号容器的概率.

（2）落入4号容器的小球的个数的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

的分布列为

【一隅三反】

1．（2020·重庆市第七中学校高二月考）若随机变量，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】因为，所以，所以.故选：D.

2．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知随机变量，若使的值最大，则k等于（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】BC

【解析】令，得，

即当时，；

当时，；

当时，，

所以和的值最大.

故选：BC.

3．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高二期末）江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．

（1）求该校最终选地理的学生概率；

（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量．

①求随机变量的概率；

②求的概率分布列以及数学期望．

【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析，.

【解析】（1）该校最终选地理的学生为事件，；

因此，该校最终选地理的学生为；

（2）①由题意可知，，所以，；

②由于，则，

，，

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

．

4．（2020·陕西渭南市）已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的.

（1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；

（2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为，求的分布列及数学期望.

【答案】（1）；（2）答案见解析；.

【解析】（1）记“该小组有两次失败”为事件，

.

（2）由题意可知的可能取值为0，2，4.

，

，

.

故的分布列为：

.

考点二 超几何分布

【例2】（2020·全国高二单元测试）现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．

（1）求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；

（2）若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；

（3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．

【答案】（1）a＝0.0250，4人；（2）答案见解析；（3）.

【解析】（1）由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250.

其中为一级运动员的概率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，

∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．

（2）由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

∴X的分布列为

 （3）由已知得Y～B，

∴E(Y)＝np＝3×＝，

∴含有一级运动员人数Y的期望为.

【一隅三反】

1．（2020·全国高二课时练习）新冠肺炎疫情期间，为了更有效地进行防控，各地学校都发出延期开学的通知.很多学校及老师为响应各地教育行政部门实行“停课不停学”的号召，让学生们在家通过收看网络直播的方式进行学习，已知高一某班共有学生21人，其中男生12人，女生9人.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，测试他们对网络课程学习的效果，效果分为优秀和不优秀两种，优秀得2分，不优秀得1分.

（1）应抽取男生､女生各多少人？

（2）若抽取的7人中，4人的测试效果为优秀，3人为不优秀，现从这7人中随机抽取3人.

（i）用表示抽取的3人的得分之和，求随机变量x的分布列及数学期望；

（ii）设事件为“抽取的3人中，既有测试效果为优秀的，也有为不优秀的”，求事件发生的概率.

【答案】（1）人；（2）（i）分布列答案见解析，数学期望：；（ii）.

【解析】（1）因为采用分层抽样的方法进行抽样，所以应抽取女生人，抽取男生人.

（2）（i）随机变量的所有可能取值为3，4，5，6.

，   ，

，，

所以随机变量的分布列为

数学期望.

（ii）由（i）知，

故事件发生的概率为.

2．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）某校五四青年艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名;高二年级参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.

（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率;

（Ⅱ）设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，数学期望

【解析】（Ⅰ）由已知有，所以事件A发生的概率为.

（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，

所以随机变量X的分布列为

所以随机变量X的数学期望.

3．（2021·北京东城区）为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表.

（1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？

（2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望；

（3）试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小（只需写出结论）.

【答案】（1）（2）详见解析（3）

【解析】（1）设事件：从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4,

由题意可知,.

（2）完成套卷数不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故的取值为0,1,2,3,4.

由题意可得；

；

；

；

.

所以随机变量的分布列为

随机变量的均值.

(3).

考点三 二项分布与超几何分布综合运用

【例3】（2020·浙江台州市·高二期中）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.

（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；

（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.

【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，

设顾客享受到免单优惠为事件，则，

所以两位顾客均享受到免单的概率为；

（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.

，，

，.

故的分布列为，

所以（元）.

若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，

由已知可得，故，

所以（元）.

因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.

【一隅三反】

1．（2020·辽宁大连市）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（1）求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；

（2）求在4次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.

【答案】（1）①，②；（2）分布列见解析，.

【解析】（1）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件

①

②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，

又且A2，A3互斥，

所以

（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

由（1），，

，

，

所以X的分布列是

显然 ，所以的数学期望E(X)=．

2．（2020·广东云浮市）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.

(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;

(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?

【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．

【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，

依题意可得：，

∴，，，

∴X的分布列为：

∴．

，

∴，，

，，

∴Y的分布列为：

∴．

（2），

，

∵，

∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．

3．（2021·哈尔滨市）一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：

方法一：一次性随机抽取2件；

方法二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件.

记方法一抽取的不合格产品数为.记方法二抽取的不合格产品数为.

（1）求两种抽取方式下，的概率分布列；

（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由.

【答案】（1），的分布列见解析；（2）平均数相等，理由见解析.

【解析】（1）方法一中随机变量可取的值为0，1，2，且服从超几何分布，

于是；；

；

因此的频率分布可表示为下表：

方法二中随机变量可取的值为0，1，2，且服从二项分布，

于是；；

；

因此的频率分布可表示为下表：

（2）由（1）知，方法一中的数学期望为，

方法二中的数学期望为，

所以两种方式抽到的不合格品平均数相等.