重庆市潼南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份重庆市潼南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
3．用三根长分别为，，的小木棒首尾相接拼成一个三角形，则的值可以是（ ）
A．5B．15C．25D．35
4．下列计算结果为的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
6．用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个三角形，第个图案中有个三角形，第个图案中有个三角形，第个图案中有个三角形，，按此规律排列下去，则第个图案中三角形的个数为（ ）
A．B．C．D．
7．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低15元，总费用降低了．设第二次采购单价为元，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，则的值为（ ）
A．16B．22C．28D．36
9．如图，在中，，，于点，于点，交于点．若，则的长为（ ）
A．4B．5C．8D．10
10．给定一个正整数，若两个整数与分别除以所得的余数相同，则称p，q对同余，记作．例如：，，所以31，66对7同余，记作．
下列说法：
①；
②若，则；
③若，，则；
④若，其中为的整数，b，c，d为的整数，则．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．计算： ．
12．将分式化为最简分式，所得结果是 ．
13．若点与点关于轴对称，则 ．
14．如图，一个正方形和一个正五边形各有一边，在直线上，且只有一个公共顶点，则的度数为 ．
15．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于 ．
16．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长度为 ．
17．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
18．对于一个四位正整数，若它的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称这个四位正整数是“和谐数”．如：四位数2783，，是“和谐数”；四位数5326，，不是“和谐数”，则最小的“和谐数”是 ；若一个“和谐数”满足千位数字与百位数字的平方差是24，且十位数字与个位数字的和能被5整除，则满足条件的的最大值是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．解下列方程：
(1)；
(2)．
21．学习了轴对称后，小敏进行了拓展性研究．她发现，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．她的证明思路是：在中，作直角边的垂直平分线，交斜边于点，垂足为点，连接，然后利用垂直平分线的性质和三角形边角关系等知识推出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：证明：用直尺和圆规，作的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接（只保留作图痕迹）．
垂直平分线，
．
．
，，
．
．
．
即是斜边上的中线，且．
22．如图，在和中，，，，点在上．
(1)证明：；
(2)求的度数．
23．如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上．
(1)在图中画出关于轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别是，，，并写出点的坐标；
(2)点是轴上一点，请在图中标出使的周长最小时的点，并直接写出此时点的坐标；
(3)计算的面积．
24．甲、乙两个施工队共同参与一项全长米的筑路工程，分别从两端向中间施工，已知甲队负责施工的长度的倍比乙队负责施工的长度长米，两施工队负责施工的长度总和等于该工程全长．
(1)求甲、乙两施工队分别负责施工的长度是多少米？
(2)若乙队每天施工的长度是甲队每天施工长度的倍，如果两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用天完工，求甲队每天施工多少米？
25．如图1，是等边三角形，点M，N分别是边上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图1，当点M，N分别在边上运动时（端点除外），相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由；
(3)如图2，当点M，N分别在的延长线上运动时，直线相交于点，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数，若不是，请说明理由．
26．如图，在中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，时，求证：；
(3)如图3，当时，过点作的垂线，过点作的平行线，两直线l，n相交于，连接．当取得最大值时，请直接写出此时的值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了轴对称的概念，由图即可得出答案，牢记轴对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：如果一个图形沿着某条直线对折，对折后的两个图形能完全重合，则称这个图形是轴对称图形，由定义可知，只有D满足题意
故选：D．
2．A
【分析】根据分式的意义的条件，由，解答即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的意义，解题的关键是计算分母不等于0．
3．B
【分析】根据两边之和大于第三边和两边只差小于第三边，即可计算出的范围，本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：理解并熟练应用三角形的三边关系．
【详解】由三角形的三边关系可得：
，即，
，即，
只有选项符合题意，
故选：．
4．D
【分析】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选D．
5．D
【详解】解：由作法可得OM=ON，PM⊥OM，PN⊥ON，
则∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，，
所以△POM≌△PON(HL).
故选D.
6．C
【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律．
【详解】解：第个图形有三角形：（个）；
第个图形有三角形：（个）；
第个图形有三角形：（个）；
第个图形有三角形：（个）；
；
第个图形有三角形：（个）；
当时，（个）；
故选：．
7．B
【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为元，根据单价总价数量，结合总费用降低了，采购数量与第一次相同，即可得关于x的分式方程．
本题主要考查了分式方程的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，再次采购数量与第一次相同，是解决问题的关键．
【详解】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为元，
依题意得： ．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子变形为．
根据，，利用完全平方公式把式子变形为，再把已知条件代入即可求值．
【详解】解：，，
，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键，由题意得，，根据角度关系可得，进一步判定，得出，进一步得出即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了新定义的运算，多项式乘以多项式等知识，根据题意逐一验算即可，正确理解题意是解题的关键．
【详解】解：①，，故①不对；
故①不正确，不符合题意；
②若，设余数为，则存在两个整数，使得
，
则
所以与分别除以3所得余数均为，所以成立；
故②正确，符合题意；
③若，，由②知
存在整数使得
，，，
所以与分别除以所得余数与除以所得余数相同
所以成立；
故③正确，符合题意；
④
所以与分别除以所得余数相同
则
故④正确，符合题意；
综上，②③④正确，共3个．
11．/
【分析】本题考查了零次幂和负指数幂的运算法则，先运用零次幂和负指数幂的知识化简，然后计算即可．
【详解】解，
故答案为．
12．/
【分析】本题考查分式的化简．根据分式的性质，进行约分化简即可．掌握分式的性质，是解题的关键．
【详解】解：；
故答案为：．
13．5
【分析】本题考查坐标与轴对称．根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出的值，进一步求出的值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故答案为：5．
14．
【分析】本题主要考查正四边形和五边形的外角，三角形内角和性质，利用正多边形的性质求出每个内角，和的度数即可，掌握正多边形的内角和及正确理解多边形内角和与外角之间的关系是解题的关键．
【详解】解：正五边形的一个内角，正方形的一个内角，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．6
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，解题关键是恰当作出辅助线求得三角形的高．
作于，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】解：作于，
平分，，，
，
．
故答案为：6．
16．8
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键，根据垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的性质及三角形外角性质逐步求得，最后根据含角的直角三角形的性质，即可得到答案．
【详解】连结，
垂直平分，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
17．11
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方向，解题的关键是熟练掌握求不等式组解集和解分式方程的方法和步骤．
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为解集为，得出，再求解分式方程，根据方程解为正数，得出且，进而得出符合条件的整数a的值有2，4，5，即可解答．
【详解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵不等式组的解集为解集为，
∴，
解得：，
，
，
，
∵分式方程解为正数，
∴，
解得：且，
∴符合条件的整数a的值有2，4，5，
∴所有满足条件的整数的值之和，
故答案为：11．
18． 1001 7546
【分析】本题考查新定义下的运算，理解“吉祥数”的概念是解题关键．根据“吉祥数”的概念进行求解即可．
【详解】解：∵，
故最小的和谐数是1001，
设四位正整数，
由题意得：，（为正整数），，
，，，
由符合上诉条件的为，
∴，
由题意可得：
，
可得，
∵十位数字与个位数字的和能被5整除，
∴
当时，（舍去）
当时，
当时，（舍去）
∴，，
故答案为7546
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的乘法及分式的混合运算，关键是运算法则的运用，注意运算顺序．
（1）分别利用平方差公式及单项式与多项式的乘法展开，再合并同类项即可；
（2）分母分解因式，计算括号里的加法，最后算除法即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：
．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查解分式方程．要注意解分式方程要检验．
（1）方程两边同时乘以，将分式方程化成整式方程求解，再检验即右求解；
（2）方程两边同时乘以，将分式方程化成整式方程求解，再检验即右求解．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得
，解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解是．
（2）解：方程两边同时乘以，得
，解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解是．
21．，，，
【分析】本题考查作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键；
根据线段垂直平分线的作图作直线即可；根据线段垂直平分线的性质、角的和差关系以及等腰三角形的性质填空即可．
【详解】解：作图如下：
直线即为所求，
，
垂直平分线，
．
．
，，
．
．
．
即是斜边上的中线，且．
故答案为：，，
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
（1）先求出，再根据定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）已证：，
，
．
23．(1)点，见解析
(2)点，见解析
(3)
【分析】本题考查了坐标的对称问题，线段和最小作图计算，分割法计算三角形的面积，熟练掌握对称点坐标的计算，正确作图是解题的关键．
(1)根据纵不变，横相反，计算坐标，并画图即可．
(2) 根据点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，点P即为所求．
(3)利用分割法计算即可．
【详解】（1）∵与关于y轴对称，
，，，
∴，画图如下：
则即为所求．且．
（2）根据点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，
则点P即为所求．
故点．
（3）根据题意，得．
24．(1)甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米；
(2)甲队每天各施工米．
【分析】此题考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意，列出方程．
（）设甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米，由题意列出一元一次方程即可；
（）设甲队每天各施工y米，乙队每天各施工米，由题中两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用天完工列出分式方程；
【详解】（1）解：设甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米，
，
，
解得，
，
答：甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米；
（2）解：设甲队每天各施工y米，乙队每天各施工米，
，
，
，
，
经检验：当时，，
答：甲队每天各施工米．
25．(1)证明见解析
(2)是，
(3)是，
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质：
（1）根据题意得到，再由等边三角形的性质得到，，据此可利用证明；
（2）根据全等三角形的性质，则由三角形外角的性质可得；
（3）先证明，再由等边三角形的性质推出，，进而证明得到，则．
【详解】（1）证明：点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发
，
是等边三角形
，，
在和中，
；
（2）解：，是定值，理由如下：
，
；
（3）解：，是定值，理由如下：
点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发
，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
．
26．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识点是解题的关键．
（1）利用定理证明三角形全等，根据全等的性质和等腰三角形的性质即可证明；
（2）截取线段从而构造出全等三角形，通过线段转化和等边三角形即可证明；
（3）找出点的轨迹，确定何时最大，通过全等即可求出答案．
【详解】（1）证明：平分
（2）如图，在上截取，连接
由（1）得
是等边三角形
是等边三角形
即
（3）如图，，
点是上一动点，
以为圆心，为半径作
点是上一动点，
则点在上运动，当点到达点时，点到达点，当点到达点时，点到达点，故点在上运动
则当三点共线时，最大
则由题意可得，，，
即此时
如图，延长交于点
由（1）得
由（2）得
．