江西丰城中学2024届九年级上学期10月第一次检测数学试卷(含解析)

这是一份江西丰城中学2024届九年级上学期10月第一次检测数学试卷(含解析)，共18页。
总分120分 时长120分钟 考试范围(反比例函数、相似)
单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．关于反比例函数的图象与性质，下列结论中不正确的是（ ）
A．该函数的图象是轴对称图形。
B．当时，该函数的图象在第二、四象限
C．该函数的图象是中心对称图形
D．当时，函数值随的增大而减小
2．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数；②若，在该图象上，则；③y随x的增大而增大；④若在该图象上，则也此在图象上．其中正确的是（ ）A．①B．②C．③D．④

4．若点，，在反比例函数 的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在矩形中，M是边的中点，N为线段与的交点，则（ ）
A．B．2:3C．D．
6．如图，A、B为平面直角坐标系中的两点，连接，，，，且，已知点A的横坐标为，反比例函数的图象经过点B，反比例函数的图象经过点A．则B点坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若函数反比例函数，则 ．
8．已知，则 ．
9．如图，已知，，，，那么线段的长度等于 ．

10．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即上图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．
11．如图，已知点A是反比例函数的图象上一点，轴交另一个反比例函数的图象于点B，C为x轴上一点，若，则k的值为 ．
12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，若，则的取值范围是 ．
三．解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：（1）tan45°+4cs30°sin45°tan60°．（2）+tan60°-（sin45°）-1-|1-|
14．如图，反比例函数与直线：交于点A，B两点，已知A点，．

(1)求该反比例函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
15．如图，是由6 6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．
（1）在图1中找一个格点D ，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形（画出一种情况即可）
（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）
16．如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC．
（1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长．
（2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF•AC．
17．已知：如图，正方形，连接，是延长线上一点，．
(1)求的度数；
(2)设与交于点，，求的长．
四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE与AC交于点F，∠CDE＝∠CBD．
求：（1）CE的长；（2）EF的长．
19．如图，为坐标原点，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，以为边作矩形，边与轴交于点轴．

(1)求点的坐标；
(2)求边所在的直线表达式．
20．如图，是的直径，是的弦，，与的延长线交于点，过点作的切线交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
五.（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)C是反比例函数的图象上的一点，连接，若，求直线的函数表达式．
22．在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的称为“黎数”．如，．
(1)求上的黎数点．
(2)若有且仅有一个“黎数”，并且与在第二象限中的黎点相同，求的值．
六、解答题（本小题12分）
23．某数学兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对三角形进行如下探究．
已知，在中，平分，点E在边上，连接交于点F．
特例感知
(1)如图1，若，小明通过作辅助线平行于，交于点G，发现：；请证明以上结论；
归纳证明
(2)如图2，若，（1）中的结论是否任然成立？请说明理由；
拓展应用
(3)如图3，在四边形中，对角线相交于点O，，，求的长．
2023-2024学年度上学期
初三数学参考答案
1．D
解：由反比例函数的图象与性质可知，的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，A正确，故不符合要求；
当时，该函数的图象在第二、四象限，B正确，故不符合要求；
联立方程得，，即，整理得，，
∴，
∴该函数的图象与直线有且只有两个交点，C正确，故不符合要求；
当时，函数过第一象限，第三象限，在每个象限内函数值随的增大而减小，D错误，故符合要求；
故选：D．
2．B
解：当时，那么，
则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限；
当时，那么，
则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；
故选：B．
3．D
解：∵反比例函数图象经过第二、四象限，
∴，所以①错误；
在每一象限，y随x的增大而增大，所以③错误；
∵，在图象上，
∴，
而，
∴，所以②错误；
∵，
∴若在该图象上，则也此在图象上，所以④正确．
故选D．
4．C
解：点，，，，，在反比例函数的图象上，
，，，
，
故选：C．
5．D
解：四边形是矩形，
，，
是边的中点，
，
，
，
，
，
故选D．
6．C
解：分别过点A、B作x轴的垂线、，垂足点分别为E、F，
，
，
点A的横坐标为，
，
，，
，
解得(负值舍去)，
，
，
，
，
，
，即，
解得，，
故点B的坐标为，
故选：C．
7．
解：若函数是反比例函数，
则，
解得，
故答案为：．
8．3
解：∵，设，
∴；
故答案为：3．
9．
解：，
，即，
解得，
，
故答案为：．
10．
解：∵和均为直角
∴，
∴，
∴
∵，
∴,
故答案为：．
11．6
解：延长交轴于点，连接、，
点是反比例函数的图象上，轴，
，，
，
又点在反比例函数的图象上，
，
，（舍去），
故答案为：6．

12．或
解：一次函数与反比例函数的图象交于和两点，
由图象可知，当的取值范围为：或．
故答案为：或．
13．．
解：tan45°+4cs30°sin45°tan60°
=1+4
=11，
．
14．2+1．
解：原式=3+-（）-1-（-1）
=3+--+1
=2+1．
15．（1）解：∵反比例函数与直线：交于点A，B两点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：，
解得：或，
∵，
∴．
16．（1）如图1所示，D、E、F即为所求（只要画出一种即可）；
（2）如图2所示，P、Q为线段AB三等分点，
∵∥，
∴，即，
同理：．
∴P、Q为线段AB三等分点．
17．（1）如图①．
∵DE∥BC，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE＝5；
（2）如图②．
∵DF∥BE，∴．
∵DE∥BC，∴，∴，∴AE2＝AF•AC．
18．（1）∵四边形是正方形，是对角线，
，
又，
，
，
；
（2）中，，
，
设，则，
，
，
∴，即，
∴，
∴．
19．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，
∴AD∥BC，CD＝AB＝2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠EDC＝∠ADB，
∴∠EDC＝∠CBD，
∵∠ECD＝∠DCB，
∴△CDE∽△CBD，
∴CE：CD＝CD：CB，
∴CE：2＝2：4，
解得：CE＝1；
（2）∵AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴DF：EF＝AD：CE＝4：1，
∴EF：DE＝1：5，
∵∠DCB＝90°，
∴DE＝＝，
∴EF＝．
20．（1）解：令，整理，得，
解得：．
经检验，都是原方程的解，
∵点在第一象限，
∴，
将代入直线，可得，
∴点的坐标为；
（2）解：延长交x轴于点E，

由（1）可知，，
∵轴，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线为，将点，点代入，
可得：，
解得：，
∴直线的表达式为．
21．（1）如图，连接，

证明：∵是的直径，
∴.
∴.
∴.
∵是的切线，
∴.
∴.
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
∴．
又，
∴，
而，
∴．
∴．
又
∴．
∴．
22．（1）把代入 得，
，
把解得代入 得，
，
点的坐标为．
反比例函数 的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2），
．
如图，过点作轴于点，
，
，
设点的坐标为，则，解或（负值舍去），
点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
把，代入得，解得，
直线的函数表达式为．
23．（1）解：设“黎数”点为，
，
解得，
上的“黎数”点为，；
（2）解：有且仅有一个“黎数”，
方程有且只有一个解，
即，
，
在第二象限中的黎点为，
代入得，，
，
，
，即，
．
24．（1）证明：过点E作，如图，

则，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即
（2）解：成立；
分别过点E，A作，如图，

则，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：∵在四边形中，，，
∴，
延长到点E，使得，连接，如图，

则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分，
由（2）中结论可得，即，
解得：；