重庆市渝北区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份重庆市渝北区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．2的相反数是（ ）
A．2B．－2C．D．
2．下列4个汉字中可以看成是轴对称图形的是（ ）
A．中B．国C．繁D．华
3．已知反比例函数经过点，则k的值为（ ）
A．B．C．6D．
4．下列调查中，适合普查的是（ ）
A．调查全国中学生的视力情况B．调查一批电池的使用寿命
C．调查遭受积石山地震损坏的房屋数量D．调查市场上某种饮料的质量情况
5．估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
6．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．周日上午，小张跑步去公园锻炼身体，到达公园后原地锻炼了一会之后散步回家，下面能反映小张离公园的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，是等边的外接圆，连接并延长交于点，连接，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点M是正方形边上一点，于N，，则的长度为（ ）
A．2B．C．D．
10．关于x的二次三项式，关于x的三次三项式，下列说法中正确的个数为（ ）
①当多项式乘积不含时，则；
②当M能被整除时，；
③；
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．计算： .
12．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为 ．
13．有三张背面完全一样，正面分别写有数字1，0，的卡片，若将它们背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的概率是 .
14．若，，则 ．
15．如图，在菱形中，，，连接，取中点O，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交边，于点E，F，则图中阴影部分的面积是 .
16．若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为 .
17．如图，如图，在菱形中交于点，点为的中点，连接并延长交于点，若，，则 .
18．对于一个两位数，，记，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为的十位数字和个位数字，新形成的两位数叫做m的伴生和差数，把m放置于十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为 ，若M能被7整除，则的最小值为 .
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，在平行四边形中，于点M.
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作于点，并连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：.（请补全下面证明过程）
证明：∵四边形是平行四边形，
，，
① ，
∵，，
② ，
在和中，
，
，
③ ，
又∵，，
．
④ ，
．
21．宪法是我国的根本法，是治国安邦的总章程，是党和人民意志的集中体现. 2023年12月4日是我国第十个国家宪法日，在这一天某学校开展了宪法知识竞答比赛.现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的比赛成绩进行整理分析（成绩用x表示，满分100分，共分成四组：D组，C组，B组，A组）
下面给出了部分信息：
七年级抽取的学生比赛成绩在B组的数据是：98，88，89，90，95，86；
八年级抽取的学生比赛成绩的数据是：50，52，52，59，63，66，78，78，78，87；
89，92，96，100，100，100，100，100，190，100.
七、八年级抽取的学生比赛成绩的统计表
七年级抽取的学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出a，b，m的值；
(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对宪法知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七年级有400人，八年级有600人参加此次宪法知识竞答比赛，估计该校七、八年级参加此次比赛成绩满分的学生人数有多少人？
22．2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州奥体中心体育场盛大开幕，潮起东方惊艳世界，奥体中心体育场的设计也同样令人赞叹，以莲花为原型，由28片大“莲花瓣”和27片小“莲花瓣”组成，宛如一朵绽放的莲花，栩栩如生.建设初期，计划由甲、乙两工程队承包完成其中一个小项目，若乙队单独施工，则恰好在计划工期完成；若甲队单独施工，可提前8天完成；若甲、乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队单独施工，也可以提前8天完成.
(1)求甲、乙两队单独完成该项目所需的时间；
(2)实际施工时，甲队先单独施工若干天，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲队每天施工费用为2万元，乙队每天施工费用为1.25万元，为了控制预算，该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万元，则甲队至多施工多少天？
23．如图，在矩形中，，，点Q为边上的中点，动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止. 设运动的时间为t秒，记为y.（）
(1)请直接写出y关于t的函数表达式以及对应的t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合图象，当时，直接写t的取值范围.（保留一位小数，误差不超过0.2）
24．如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为，A，B两岛的距离为．
(1)求出B，C两岛的距离；
(2)在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？
25．二次函数经过点，点，点C，点D分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.
图1 图2
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接，过点作的平行线交二次函数于点，连接，，，．求四边形面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)如图2，过点作轴，交于点（点不与点重合），过点作轴，交于点，当时，直接写出点的坐标．
26．已知，.
图1 图2 图3
(1)如图1，，点是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转到，连接，．若，，求的面积；
(2)如图2，若，点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交于点，连接，，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，，点是线段上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点交的延长线于点，过点分别作于点，作于点，连接，当取最大值时，请直接写出的面积．
年级
平均数
众数
中位数
满分率
七年级
81.5
100
a

八年级
82
b
88
参考答案：
1．B
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2．A
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此即可求解．
【详解】解：选项B、C、D的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项A的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A
3．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，把点代入即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
．
故选：D
4．C
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A、调查全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B、调查一批电池的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C、调查遭受积石山地震损坏的房屋数量，适合全面调查，故本选项符合题意；
D、调查市场上某种饮料的质量情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．C
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算，再估算确定出所求即可．
【详解】原式
∵1＜2＜4，
∴
即
故选C．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
6．C
【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．过点作，则，再由可知，故，据此可得出结论．
【详解】解：过点作，
，，
，
∵，
∴，
，
．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了函数的图象与实际生活的联系，根据在每段中，离公园家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
【详解】解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增大而减小；
第二阶段：在公园锻炼了一会，这一阶段公园的距离不随时间的变化而改变，即为0；
第三阶段：散步回家，这一阶段，离公园的距离随时间的增大而增大，并且这段的速度小于第一阶段的速度．
故选：C
8．C
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、垂径定理的推论、圆周角定理．根据圆周角定理、垂径定理的推论得到，，，根据余弦的定义求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图 ，与相交于点E，
为等边三角形，，
，，
是的直径，
，，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．过点作于，可证得，求出，，进而求出，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，，
，
，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
∵，，，
，
，，
∵，
，，
，
∵，
．
故选：B
10．C
【分析】本题考查多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
①根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再由题意可得；
②由题意可知，则，即可求得；
③由题意可得，从而得到，分别求出c、d、e的值即可判定．
【详解】解：①
多项式乘积不含，
，则，
故①符合题意；
②，
，
即，
故②符合题意；
③，
，
，
解得：，
，
故③不符合题意；
故选：C．
11．4
【分析】本题考查实数的运算．利用负整数指数幂，零指数幂计算即可．
【详解】解：，
故答案为：4．
12．7
【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式“，其中且为正整数”求解即可得．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
由题意得：，
解得，
即这个多边形的边数为7，
故答案为：7．
13．
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率．列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
由表得共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的结果有：，，共2种，
抽取的两张卡片上的数字的乘积为负数的概率为．
故答案为：
14．6
【分析】本题主要考查了代数式求值，先求出，进而得到，即．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了菱形的性质，利用三角函数解直角三角形，与圆有关的计算等．先根据菱形的性质求出，，再解直角三角形求出，，进而求出，，再利用割补法即可求出阴影的面积．
【详解】解：连接，
∵，四边形是菱形，
，，
∵，
，，
∴，，
阴影部分的面积．
故答案为：
16．
【分析】本题考查了根据不等式解的情况确定字母的取值范围，解含参数的分数方程等知识，综合性强，难度较大．先求出一元一次不等式组的解集，根据它有解且最多4个整数解，求得的取值范围；解分式方程得，根据其解为整数，结合求得所有符合条件的的值，将这些值相加即可．
【详解】解：由题意得关于x的一元一次不等式组得，
∵原不等式组有解且最多4个整数解，
．
解分式方程得解为，
∵当是原分式方程无解，
．
，且，
∵为整数，
或4，
当时，，
当时，，
∴．
故答案为：
17．
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．先根据菱形性质得到，，，进入得到，证明，可得，，由勾股定理可求，，即可求得．
【详解】解：∵四边形是菱形，
，，，
∵点为的中点，
，
，
∵，
，
，
，，
∴在中，，
，
∴在中，，
，
．
故答案为：
18． 1001 /0.5
【分析】本题为新定义问题，考查了整式的加减，分数加减的逆用等知识，根据题意用、写出四位数的表达式，根据、的范围，可得最小的，因为能被7整除，所以可知和的取值，即得的最小值．
【详解】解：∵两位数的十位数字是，个位数字是，两位数的十位数字是，个位数字是，
四位数，
∴当，时，最小，，
∵能被7整除，，
，时，，
，时，，
，时，，
，时，，
由题意得，，
∴最小，
即最小，
，时，．
故答案为：1101，
19．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了分式的混合运算、整式的混合运算，等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先分别根据单项式乘以单项式，平方差公式进行计算，再去括号，合并同类项即可求解；．
（2）先计算括号内分式加减运算，再进行乘除运算即可求解
【详解】（1）解：（1）原式；
（2）原式．
20．(1)见详解
(2)，，，四边形为平行四边形
【分析】本题考查了尺规作图-过直线外一点作已知直线的垂线，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识．
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图方法作图即可；
（2）先证明，再证明四边形为平行四边形，即可证明．
【详解】（1）解：；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
，．
，
∵，，
，
在和中，
，
∴，
，
又∵，，
．
四边形为平行四边形，
．
故答案为：，，，四边形为平行四边形
21．(1)，，；
(2)八年级学生对宪法知识掌握更好，理由见解析；
(3)该校七、八年级参加此次比赛成绩满分的学生人数大约有310人
【分析】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的计算方法是正确求解的前提．
（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出a、b的值，用“1”分别减去其它三个等级所占百分比可得m的值；
（2）根据平均数、中位数和满分率进行判断即可；
（3）分别求出七、八年级学生竞赛成绩的满分率即可求解．
【详解】（1）解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是87分，即；
八年级学生竞赛成绩的100出现的次数最多，故众数为100，即；
，
解得：；
（2）解：八年级学生对宪法知识掌握更好，理由如下：
因为八年级学生的平均数、中位数和满分率都高于七年级，所以八年级学生对宪法知识掌握更好；
（3）解：，
答：估计该校七、八年级参加此次比赛成绩满分的学生人数大约有310人．
22．(1)甲队单独完成该项目所需的时间为24天，乙队单独完成该项目所需的时间为32天
(2)甲队至多施工15天
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用等知识，正确设出未知数，列出方程和不等式是解题关键．
（1）设甲队单独完成该项目所需的时间为天，则乙队单独完成该项目所需的时间为天，根据若甲、乙两队先同时施工6天，剩下的由乙队单独施工，也可以提前8天完成．列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲队施工天，则乙队施工天，根据该项目支付给工程队的施工总费用不超过45万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲队单独完成该项目所需的时间为天，则乙队单独完成该项目所需的时间为天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队单独完成该项目所需的时间为24天，乙队单独完成该项目所需的时间为32天；
（2）解：设甲队施工天，则乙队施工天，
由题意得：，
解得：，
答：甲队至多施工15天．
23．(1)
(2)图象见详解，在范围内，随着的增大而增大；
(3)当时，或．
【分析】本题考查了求分段函数的解析式，根据解析式画函数的图象，一次函数及其图象的性质等知识．
（1）分和，两段根据三角形面积公式即可求解；
（2）取，及作出图象，根据函数图象写增减性；
（3）当时，由和分别求出的值，进而结合图象即可得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
当时，
，
如图2，
当时，
，
综上所述：；
（2）解：如图3，
在范围内，随着的增大而增大；
（3）解：当时，
由得，，
由得，，
当时，或．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点C作于点D，在中，利用勾股定理可求出，，再在中，利用勾股定理即可求出，从而解决问题；
（2）由，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间．
【详解】（1）解：过点C作于点D，
由题意可得：，
，
，
在中，
，
由勾股定理得：，
，
解得：
在中，
，
由勾股定理得：，
答：B，C两岛的距离为；
（2）解：会受影响，
以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F，
则，
在中，
由勾股定理，得，
，
，
答：台风影响岛屿C持续时间为．
25．(1)
(2)四边形的面积有最大值18，此时
(3)或．
【分析】（1）用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）求出直线的解析式，再由平行线的性质求出直线的解析式从而确定点坐标，再由直线的解析式求出直线与轴的交点坐标，从而求出的面积，过点作轴交直线于点，设，则，可得，从而求出四边形面积的最大值及点的坐标；
（3）求出，，设，则，则，，再由，求出（舍或或，即可求点坐标．
【详解】（1）解：将点，点代入，
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
，
∵点，
，
设的解析式为，代入，，
得，解得：，
直线的解析式为，
∵，，则设直线的解析式为，
代入，得，解得，
直线的解析式为，
当时，解得或，
，
设的直线解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
直线与轴的交点为，
，
过点作轴交直线于点，
设，则，
，
，
四边形的面积，
∵，
当时，四边形的面积有最大值18，此时；
（3）解：∵，
∴，
∵轴，则当时，，
∴，
设，则，
，，
∵，
，
解得（舍去）或或，
∴或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式，平行线的性质，铅锤法求面积是解题的关键．
26．(1)
(2)，证明见详解
(3)
【分析】（1）可证明，从而得出，，进一步得出结果；
（2）作于，可证明，进一步得出结果；
（3）可证得四边形内接于以为直径的圆，从而得出，故当最大时，最大，可证得在以为直径的圆上运动，连接并延长，交于点，此时最大，最大，交于，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，作，交的延长线于点，
∵，，
是等边三角形，
，
∵线段绕点逆时针旋转到，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，作于，
∵，线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，、、共线，
，
∵，，
，
，
，
点、、、共圆，
，
∵，
，
，
；
（3）解：如图3，
∵，，
，
四边形内接于以为直径的圆，
∵，
，
当最大时，最大，
∵，，
在以为直径的圆上运动，
连接并延长，交于点，此时最大，最大，交于，
此时，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据题意添加辅助线将条件转化．
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