重庆市南川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份重庆市南川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点是上的点，连接，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
4．将抛物线向下平移1个单位后所得的抛物线解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值为（ ）
A．B．4C．10D．12
6．二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ）
A．15B．10C．7D．6
7．一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致图象是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的切线，点C是切点，连接，若，，，则的长度是（ ）

A．B．C．8D．9
9．如图，在中，，点P是边上任意一点，将绕点C逆时针旋转得到，点P的对应点为点Q，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．对于n个互不相等的实数，先将每两个数求差，再把这些差的绝对值相加求和，这样的运算称为对这n个实数的“差绝对值运算”，例如，对于2，3，6进行“差绝对值运算”，得到：．下列说法：①对，2，5，6的“差绝对值运算”的结果是24；②对，a，的“差绝对值运算”的结果的最小值是11；③对互不相等的三个数x，y，z的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种；其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．抛物线y=-(x-2)2+1的顶点坐标是 ．
12．点关于原点的对称点N的坐标是 ．
13．长安汽车公司月份营业额为亿元，月份营业额为亿元，已知月份的营业额月平均增长率相同，设该公司月到月营业额平均月增长率为，根据题意，可列出的方程是 ．
14．一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的顶点在原点，直角边在轴上，，反比例函数的图象分别交边于点，连接，若，，则的值为 ．
16．如图，平行四边形的对角线交于点O，且，，以O为圆心，长为半径画弧分别交对角线于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
17．若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
18．一个四位自然数M，若它的千位数字与十位数字的差为3，百位数字与个位数字的差为2，则称M为“接二连三数”，则最大的“接二连三数”为 ；已知“接二连三数”M能被9整除，将其千位数字与百位数字之和记为P，十位数字与个位数字之差记为Q，当为整数时，满足条件的M的最小值为 ．
三、解答题
19．解下列方程；
(1)；
(2)．
20．如图，在平行四边形中，连接．
(1)请用尺规完成基本作图：作的垂直平分线，交于点O，交于点M，交于点N（保留作图痕迹，并标上字母，不写作法）；
(2)已知：四边形是平行四边形，垂直平分线，交于点O，交于点M，交于点N．求证：．请补全下面的证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴ ① ．
∵是的垂直平分线，
∴ ② ．
在和中，
．
∴，
∴ ④ ，
∴，
∴．
21．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点，连接．
(1)求B点的坐标；
(2)求的面积．
22．现有四张正面分别写有，1，2，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将这四张卡片背面朝上并洗匀．
(1)若从中随机抽取1张，则抽取的卡片上的数字恰好是2的概率是______；
(2)若先从中随机抽取1张卡片后不放回，再从余下的3张中随机抽取1张，求抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率．（请用画树状图或列表的方法进行说明）．
23．春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联，每副春联的进价是元，并且规定每副春联的售价不少于元，不超过元．根据以往的销售经验发现，当每副春联的售价定为元时，日销售量为副，每副春联的售价每提高元，日销售量减少副．
(1)若每天的销售量为副，则每副春联的售价为多少元？
(2)当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
24．如图，矩形中，，．动点P从点A出发，沿着折线方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x（其中），连接，记的面积为y，请解答下列问题：
图1 图2
(1)直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，请直接估计当时x的取值：____________（结果保留一位小数，误差范围不超过）．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的对称轴交x轴于点M，点N是直线上一点，在平面内确定一点K，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．
26．在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接，．
图1 图2 图3
(1)如图1，若，，，求的面积；
(2)如图2，连接，若，，点G为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，，请直接写出的最小值．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
15
10
7
6
7
…
参考答案：
1．A
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念“中心对称图形是图形沿对称中心旋转后与原图重合”判断即可．
【详解】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解.
【详解】解：∵，
∴点在反比例函数的图象上，
故选：D.
3．C
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．
根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了抛物线的平移规律知识点，解题的关键是“上加下减，左加右减”，据此即可解答．
【详解】解：将抛物线向下平移1个单位后所得的对应抛物线的解析式为．
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，即可求解．
【详解】解：∵方程有一个根为，
∴，
∴．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，可以求得时的函数值．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【详解】解：由表格可知，
二次函数的对称轴是直线，
和时对应的函数值相等，
时，，
时，，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象与比例系数的关系．熟练掌握一次函数图象、反比例函数图象与比例系数的关系是解题的关键．
根据一次函数图象、反比例函数图象与比例系数的关系进行判断作答即可．
【详解】解：由图象可知，A中一次函数图象，反比例函数图象，故符合要求；
B中一次函数图象不正确，反比例函数图象，故不符合要求；
C中一次函数图象不正确，反比例函数图象，故不符合要求；
D中一次函数图象不正确，反比例函数图象，故不符合要求；
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了切线的性质，等角对等边，勾股定理．熟练掌握切线的性质，等角对等边，勾股定理是解题的关键．
如图，连接，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，

∵是的切线，点C是切点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质．根据旋转得到，等边对等角求出的度数，进一步求出的度数即可．
【详解】解：由旋转的性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
10．C
【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算．①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【详解】解：，①正确；
，
表示的是数轴上数x对应的点到和的距离之和，
∴的最小值为，
∴，
∴②正确．
对x，y，z的“差绝对值操作”：
，
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，③不正确；
故选：C
11．（2，1）
【详解】试题解析：∵抛物线解析式为y=-（x-2）2+1，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，1）．
12．
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，解题的关键是掌握关于原点对称点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数．
根据关于原点对称点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．
【详解】点关于原点的对称点N的坐标是．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，设该公司月到月营业额平均月增长率为，根据：增长前的量增长后的量，列出方程即可，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设该公司月到月营业额平均月增长率为，
根据题意得，，
故答案为：．
14．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
∵共9种等可能的结果，两次都是红色的情况有4种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．
【分析】本题考查了反比例函数系数的意义，由得到，又由，，得到，列出方程即可求解，掌握反比例函数系数的意义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查平行四边形的性质，扇形的面积，三角形的面积．
根据平行四边形的性质可得，，从而求得的面积，由等腰得到，从而可求得扇形的面积，类似地求得和扇形的面积，根据即可解答．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
17．
【分析】本题主要考查了解分式方程、一元二次方程根的判别式，先用a表示方程的解，根据解是正数，且，确定a的值，再根据一元二次方程有实数根，确定a的范围，求得整数解计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】∵，
去分母，得
，
去括号，移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得
，
∵分式方程的解是正数，且，
∴且
解得且，
∵方程有实数根，
∴，
解得，
∴且，
∵a是整数，
∴或或或或，
∴符合条件的所有整数a的和为，
故答案为：．
18． 9967 8856
【分析】本题主要考查了整式的加减，“接二连三数”的定义等知识点，通过定义得到对应的数位间的关系是解题的关键．
根据“接二连三数”的定义结合整除的特点进行求解即可．
【详解】解：当千位和百位都取9时，“接二连三数”最大，即为9967；
是“接二连三数”且能被9整除，
∴为整数．
∵，，
∴，
∴或18，
∴或16，
当时，，
，7是奇数，不可能为整数；
当时，，
，
∴，，，，，
解得，，
∴，8856，M最小值为8856．
故答案为：9967，8856．
19．(1)，；
(2)，．
【分析】（）利用公式法解答即可求解；
（）移项，利用因式分解法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，，，
，
∴，
∴，；
（2）解：移项得，，
因式分解得，，
∴，
∴或，
∴，．
20．(1)见解析
(2)①；②；③；④
【分析】本题考查垂直平分线的基本作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
(1)根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
(2)根据平行线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质填空即可．
【详解】（1）解：
如图，分别过点B、D两个端点为圆心，以大于为半径画弧，得到两个交点，连接两点，交于点O，交于点M，交于点N．
（2）证明∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴．
在和中，
．
∴，
∴，
∴，
∴．
∴答案为：①；②；③；④
21．(1)
(2)6
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数的性质等等：
（1）求出当时，x的值即可得到答案；
（2）先求出对称轴，进而求出点P的坐标，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：令，则，解得，，
∴，；
（2）解：该抛物线对称轴为，
将代入，得，
∴
在中，当时，，
∴
连接，由（1）可知，，
∴
．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查概率公式，画树状图或列表法求概率：
（1）利用概率公式直接求解；
（2）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，从中找出符合条件的情况，再利用概率公式求解．
【详解】（1）解：从写有，1，2，5的4张不透明卡片中随机抽取1张，则抽取的卡片上的数字恰好是2的概率是，
故答案为：；
（2）解：两张卡片分别记为第1张和第2张，可以用下表列举出所有可能出现的结果．
由上表可知，一共有12种结果，并且它们出现的可能相等，其中两张卡片上的数字之和为偶数的有6种，所以，
答：抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率是．
23．(1)元
(2)当每副的售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用；
（1）设每副的售价为元，由题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）设每副的售价为元，日销售利润为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设每副的售价为元，由题意得：
解得
答：每副春联的售价为元；
（2）设每副的售价为元，日销售利润为元，
，
∵，，
∴当时，取得最大值，
答：当每副的售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元．
24．(1)
(2)见解析；
(3)，
【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，确定一次函数的表达式是解题的关键．
（1）当点在上运动时，此时，，即可求解；当点在上运动时，同理可解；
（2）取点绘制图象，再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：，，
当点在上运动时，此时，

当点在上运动时，此时，，
故答案为：；
（2）解：
该函数在自变量的取值范围内，有最大值，无最小值，当时，函数取得最大值．
（3）解：联立和
解得：，
联立和
解得：，
25．(1)
(2)，
(3)，，，过程见解析
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、菱形的性质等；
（1）由待定系数法即可求解；
（2）设，，，则，即可求解；
（3）由菱形的性质得：，即可求解．
综合运用二次函数和一次函数的性质解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：
，解得：，
该抛物线的函数表达式为；
（2）在中，
当时，，
，
由点、的坐标得直线的表达式为：，
设，，，
，
，
当时，
有最大值为4，
则点；
（3）满足条件的点坐标为：，，．
由知，对称轴是直线，
则新抛物线的对称轴为，
，
由（2）可知，
设，
，
，
当时，，
解得：，
坐标为，坐标为．
26．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）本题根据题意证明，根据，推出，求出，的长度，已知，再根据三角形的面积公式，即可解题．
（2）本题根据题意延长到点F，使，连接，在上截取，连接，证明，由等边三角形的判定，证明是等边三角形，得出，再根据已知，证明，得到，即可解题．
（3）本题根据题意分析点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小为，求出的值，即可解题．
【详解】（1）解： ，
，
又，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：延长到点F，使，连接，在上截取，连接，如图所示：
G为的中点，
，
在和中，
，
，，
，
即，
又，，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：点的轨迹是直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．过点B作的垂线垂足为点I，如图所示：
是等边三角形，，
，，
由旋转性质可得，，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
在等边中，，，
，
的最小值是．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，中点的性质、旋转的性质、对称的性质、矩形的判断和性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．

蓝
红
红
蓝
（蓝，蓝）
（红，蓝）
（红，蓝）
红
（蓝，红）
（红，红）
（红，红）
红
（蓝，红）
（红，红）
（红，红）
第2张
第1张
1
2
5
1
2
5