江苏省南通市海安市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江苏省南通市海安市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）

A．B．C．D．
3．下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，则的结果是（ ）
A．15B．C．30D．
6．如图，在中，，，是高，，则的长度为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．如图，在中，垂直平分，，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C．D．
8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，设（），则有（ ）
A．0＜k＜B．＜k＜1C．1＜k＜2D．k＞2
10．已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（ ）
A．B．1C．D．3
二、填空题
11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．分解因式：3ax26axy+3ay2= ；
13．若点与点关于y轴成轴对称，则 ．
14．如图，在中，，为角平分线．以点A为圆心，长为半径画弧，分别与，交于点E，F，连接，．若，则的度数为 °．
15．如图，在中，，平分，，，，则 ．
16．已知，则的值是 ．
17．如图，，，点E在边上，，若，则的面积为 ．
18．如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别在上，且，当的值最小时，的度数是 °．
三、解答题
19．（1）计算：；
（2）．
20．（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
21．如图，点D，E分别在，上，，，相交于点O，．求证：．
22．已知一个底面积为的长方体纸盒，长、宽、高的比为．
(1)这个长方体纸盒的体积是多少？
(2)若再做一个长方体纸盒，高和体积不变，底面为正方形，则这个纸盒的底面边长是多少？
23．学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：
(1)在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；
(2)若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价．
24．【阅读材料】
【解答问题】
（1）你认为小明的回答正确吗？如正确，请写出证明过程，如不正确，请说明理由；
（2）若平分交于点D，交射线于点E，且，，，求的长（用含a，b的式子表示）．
25．如图1，在中，，，，点D为外一点，且在右侧，上方，，连接，作，交于点F，
(1)图1中与相等的角是________；
(2)如图2，延长与射线相交于点E，
①求的度数；
②过点F作的平行线，交于点G，求的长．
26．有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：．
(1)图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积；
(3)如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积．
甲种足球
购买费用：2000元
单价：x元/个
数量：________个
乙种足球
购买费用：1400元
单价： 元/个
数量：________个
老师的问题：已知：如图，在中，．
求作：的平行线．
小明的作法：
（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交和的延长线于点M，N；
（2）分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；
（3）作射线，则．
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明；
故选：D．
3．D
【分析】本题考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，属于基础题型．多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．利用完全平方公式对A选项进行判断；利用积的乘方与幂的乘方对B选项进行判断；利用二次根式的加法运算对C选项进行判断；先把除法运算化为乘法运算，再利用二次根式的乘法法则运算，则可对D选项进行判断．
【详解】解：A．，正确，所以选项符合题意；
B．，错误，所以选项不符合题意；
C．与不能合并，错误，所以选项不符合题意；
D．，错误，所以选项不符合题意；
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则．先根据多项式乘多项式法则，计算，再根据计算结果和已知条件，求出m和n，然后代入进行计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查含角的直角三角形，由含角的直角三角形的性质推出，，得到，进而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵是三角形的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵垂直平分，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴的周长
故选：C．
8．A
【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【详解】解：由题意得：，
故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
9．C
【分析】分别计算出甲图阴影部分面积和乙图阴影部分面积，然后计算比值即可．
【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：，乙图中阴影部分的面积为：，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查分式运算的应用，计算图中阴影部分面积及熟悉分式的运算是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了整式的运算，利用因式分解将等式的左边整理成两个整式的乘积是解题的关键．首先根据题意，将x的值分别代入多项式中，得到两个等式，再将两个等式相减，然后利用因式分解将等式整理得，因为，所以得，即可求得答案．
【详解】解：由题意得，①，②，
①-②得，，
，
，
，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
11．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：由题意知，
解得．
故答案为：．
12．3a（xy）2
【详解】试题解析：原式
故答案为
13．0
【分析】先根据点与点关于y轴成轴对称求出m、n的值，再计算即可．
【详解】∵点与点关于y轴成轴对称，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为0．
【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．
14．20
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．先利用角平分线的定义可得，再根据题意可得：，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵平分，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
故答案为：20．
15．
【分析】本题考查的是角平分线的定义，勾股定理，全等三角学的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过点D作于点E，证明，故可得出，，设，则，，，再利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：过点D作于点E，
∵，平分，
∴，，
在与中，

∴，
∴，，
设，
∵，，，
∴，，，
在中，
，即，
解得，
故答案为：．
16．3
【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式．
17．4
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．过点E作于点D，设，则，证，并利用勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得，据此可得，，进而可求出答案
【详解】解：过点E作于点D，如图所示：
设，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵于点D，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
∴，
∴，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：4．
18．70
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；过点A作，且，连接，证明，推出，得出，可知当点M、E、C三点共线时，的值最小，即的值最小，连接交于点，交于点F，推出，，得出，进而可求出答案．
【详解】解：如图：过点A作，且，连接，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
当点M、E、C三点共线时，的值最小，即的值最小，
连接交于点，交于点F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：70．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确计算是解题的关键：
（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）根据完全平方公式，平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）；（2），
【分析】本题考查解分式方程，分式的化简求值，正确计算是解题的关键：
（1）根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验；
（2）先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将代入计算即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
检验：当时，，
∴；
（2）
，
当时，原式．
21．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明，得出，再证明，进而可得出结论．
【详解】∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22．(1)；
(2)
【分析】本题考查长方体的体积，二次根式的化简，
（1）设长、宽、高分别为：，，，求出，得出长、宽、高分别为：，，，进而求出体积即可；
（2）先求出底面为正方形的面积为：，进而求出边长．
【详解】（1）解：设长、宽、高分别为：，，，
根据题意得：，
解得：（负值舍去），
∴长、宽、高分别为：，，，
∴长方体纸盒的体积是；
（2）解：∵高和体积不变，
∴底面为正方形的面积为：，
∴底面边长为．
23．(1)，；
(2)甲种足球在此商场的销售单价为50元/个，乙种足球在此商场的销售单价为70元/个．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式：
（1）利用数量=总价÷单价，即可用含x的代数式表示出购买甲、乙两种足球的数量；
（2）根据本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲种足球在此商场的销售单价，再将其代入中，即可求出乙种足球在此商场的销售单价．
【详解】（1）根据题意得：购买甲种足球的数量为个，
购买乙种足球的数量为个，
故答案为：，；
（2）根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲种足球在此商场的销售单价为50元/个，乙种足球在此商场的销售单价为70元/个；
24．（1）正确，见解析；（2）
【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质：
（1）由作图可知：平分，得出，根据等边对等角得出，根据，，即可得出答案；
（2）作的角平分线，交于点F，先证明，再证明，再推出，，证明，得出，得出，，即可得出答案．
【详解】（1）解：小明的回答正确，证明如下：
由作图可知：平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图：作的角平分线，交于点F，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵．
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
25．(1)；
(2)①；②．
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质．
（1）先证明，在和中，，，即可解答；
（2）①由（1）证明是等腰直角三角形，即可解答；
②过点B作交的延长线于N，连接，过点B作交于点M，证得，进而证得是等腰直角三角形，，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
设、交于点Q，
在和中，，，
∴，
故答案为：；
（2）①由（1）得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
②如图，过点B作交的延长线于N，连接，过点B作交于点M，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
26．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查完全平方公式的应用：
（1）大正方形的面积用两种方法表示出来，即可得出答案；
（2）根据完全平方公式变形得出，再求出面积即可；
（3）四边形的面积为，再求解即可．
【详解】（1）解：大正方形的面积为：，
大正方形是由中间的小正方形和4个全等的三角形组成，面积为：，
所以；
（2）解： ∵，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
（3）解： ∵，
∴四边形的面积为．