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专题18 抛物线中的参数及范围问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）
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这是一份专题18 抛物线中的参数及范围问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用），文件包含专题18抛物线中的参数及范围问题原卷版docx、专题18抛物线中的参数及范围问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】如图，设点的坐标为，准线与轴的交点为A，
则，
所以的周长为.得，令，则，
有，即，解得(舍去)或，
所以，由解得.故选：A.
2．已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知，设直线的方程为，由，
得．设，，
则，，所以，．
因为为锐角，所以恒成立，即，
整理得，所以，
而，所以对于任意恒成立，所以．
由，解得，所以的取值范围为．故选:A．
3．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，则实数p的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设抛物线上存在不同的两点关于直线对称，
设所在的直线方程为，
联立方程组，整理得，其中，
设，则，则，
又因为的中点在直线，可得，即，
将代入，可得，解得，
所以实数的取值范围为.故选：B.
4．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】双曲线的标准方程是，其右焦点是.所以，，抛物线是，
设直线方程为，，由消去，化简整理得，因此，由得，，.
因为，所以，即.，即，
解得.代入得到，，或.故选：A．
5．在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】抛物线的准线方程为，
圆的圆心为，半径为，直线与圆相切，则，
因为，解得，所以，抛物线的方程为，
故抛物线的准线与圆相切于点，
若直线与轴重合，则直线与抛物线不相切，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
则，解得，不妨设点在第一象限，则，则有，解得，
此时，即点，所以，，
因为点在圆上，设点，则，
所以，.故选：C.
6．已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，
由得，因此，故.
因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，
因此由得，即，
所以
.
因为，所以，因此，
所以的取值范围是.故选:C.
7．已知点在抛物线上，且抛物线上存在不同的两点，，使得直线，的斜率，满足，若线段的中点为，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为点在抛物线上，
所以，所以，所以抛物线方程为．
设，则，直线的方程为，
结合抛物线的方程，得，由，得，
设，，则，即，，
同理可得，，，于是，因此．
因为且，所以且，故且，
所以直线的斜率的取值范围是．故选：C
8．已如抛物线的焦点是，点是其准线上一个动点，其中．过点且斜率为的直线与抛物线交于A，两点，过点的直线交抛物线于，两点．若，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由点在准线上知，，，所以抛物线的方程为．
依题意可设直线的方程为，设直线的方程为，斜率，，．由消去，得，
所以由知，判别式，，，
则．由，消去，得，
所以判别式，，，
所以因为，所以，
结合点A，在抛物线上，则，作差得，
点，两点在抛物线上，则，作差得，
所以，即，得，
即，所以，
即，因为， 即，所以，即，
所以或.故选：
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最小值为2
C．当取到最大值时，直线AP与C相切
D．当取到最大值时，
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，设，
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为：，
由消去x得：，则，
对于A，显然，，
当且仅当时取等号，A正确；
对于B，的面积，
当且仅当时取等号，B错误；
对于C，由选项A知，当最大时，点，此时直线方程为，
由消去x得：，，直线AP与C相切，C正确；
对于D，由选项C知，当最大时，轴，显然，
即，，D错误.
故选：AC
10．已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．时，的最小值为
B．的取值范围是
C．当点是弦的中点时，直线的斜率为
D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，
对于A，当时，点与重合，设直线的方程为，，
由消去x并整理得，则，
，当且仅当时取等号，
所以当时，的最小值为，A正确；
对于B，显然点在直线上，由选项A知，当时，可得，
由点在抛物线内，知，所以的取值范围是，B正确；
对于C，当点是弦的中点时，设，，若，直线的斜率不存在，
若，则直线的斜率，C错误；
对于D，由选项C知，当时，线段的中垂线斜率为，方程为，
即，此直线过定点，当时，线段的中垂线为，过点，
所以线段的中垂线恒过定点，即当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有，D正确.
故选：ABD
11．已知抛物线C：的焦点为F，P，Q为C上两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为4
B．若，记，则
C．过点与C只有一个公共点的直线有且仅有两条
D．以PQ为直径的圆与C的准线相切，则直线PQ过F
【解析】
如图所示，设PQ的中点为B，过P、Q、B分别作的垂线，垂足为D、E、A，
对于A，由题意可知，抛物线C：的焦点为，准线为.在抛物线上方，，即最小值为M到准线的距离4，当M，P，A三点共线时等号成立，故A正确；
对于B，由，设过N与抛物线相切的直线与抛物线切于点，
则，此时切线斜率为，即抛物线上任一点P，
都有，故，所以B正确；
对于C,由于点在C的下方，设过与抛物线相切的直线切于点，由上可得或，又知当时该直线与抛物线只一个交点，故过点与C只有一个公共点的直线有三条，所以C不正确；
对于D，由梯形中位线性质及抛物线定义知，所以直线PQ过F，故D正确.
故选：ABD.
12．设是抛物线：上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（ ）
A．若直线过抛物线的焦点，则的最小值为1
B．有且只有两条直线过点且与抛物线只有一个公共点
C．若，则为定值
D．若，则
【解析】根据题意，抛物线的焦点坐标为， 设.
A：若直线经过点，显然其斜率存在，故设直线为：，
联立抛物线方程可得：，
则，则
故，当且仅当时取得最小值，故A正确.
B：当直线的斜率不存在时，即时，显然与抛物线交于一点；
当直线的斜率存在时，不妨设其方程为，联立抛物线方程可得：
，令，可得或，
即直线，也与抛物线只有一个交点.
综上所述，满足过点且与抛物线交于一点的直线有条，故B错误；
C：若，显然为定值，故C正确；
D：若，则，即，又
即，又两点与点不能重合，
即，则.
，当且仅当，且时取得最小值，故D正确.
综上所述，正确的选项是：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若点满足，则的取值范围是 ．
【解析】由题可知，抛物线的焦点坐标，且，
由于是抛物线上一点，则，
，，
，且，解得：，
所以的取值范围是.
14．已知斜率为的直线与抛物线交于轴上方不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是 .
【解析】设点、，由题意可知，且，
所以，，则，
所以，
，因此，的取值范围是.
15．已知抛物线方程为，为其焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，且抛物线在、两点处的切线分别交轴于、两点，则的取值范围为 ．
【解析】若直线轴，则直线为轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，易知点，设直线的方程为，设点、，
联立可得，，由韦达定理可得，，
对函数求导得，所以，直线的方程为，即，
令，可得，即点，同理可得点，
，同理可得，
因此，
，
当且仅当时，等号成立，故的取值范围是.
16．如图，已知抛物线，点为抛物线上一动点，以C为圆心的圆过定点，且与x轴交于M，N两点（M点在N点的左侧），则的取值范围是 ．
【解析】由题意，的方程．
把和代入整理得，即．
设、的横坐标分别为、，则，．所以，
令，则
因为，所以，当时，
所以，所以
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，此时焦点为，
即此时抛物线焦点在轴，开口向下，顶点在原点，则抛物线方程为；
当时，，此时焦点为，
即此时抛物线焦点在轴，开口向右，顶点在原点，则抛物线方程为；
（2）设过点直线m的方程为，设直线m与抛物线的交点分别为
联立方程消去得，
即，；
AB的中点为；
；
则以线段AB为直径的圆的方程为
若原点O在以线段AB为直径的圆外，则化简得，即或.
18．已知抛物线焦点为F，点在抛物线上，.
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且是钝角，求直线斜率范围.
【解析】（1）由题意可得：，解得或，
故抛物线方程为或.
（2）抛物线的焦点，设，
联立方程，消去x得，
则，
可得，解得，
此时，则，
若直线过点，则，解得，
若是钝角，则，且三点不共线，
∵，
则
，
解得或，注意到，故直线斜率范围为.
19．设点在抛物线上，的焦点为．、为过的两条倾斜角互补的直线，且、与的另一交点分别为、．已知直线的斜率为．
(1)求直线的斜率；
(2)记、与轴的交点分别为、．设和分别为和的面积，当时，求的取值范围．
【解析】（1）设点、、，则，
，同理可得，，
因为直线、的倾斜角互补，则，
所以，，因为，则，所以，，
所以，，即点，易知点，所以，直线的斜率为.
（2）设直线的方程为，
联立可得，
则且，可得且，
由韦达定理可得，可得，整理可得，解得，
所以，，此时，，同理可得，
所以，.
20．已知点和点之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）.
(1)求直线l的倾斜角的取值范围；
(2)求的值.
【解析】（1），，，，
将代入，解得，抛物线C的方程为，
直线l过点，且与抛物线C有两个不同的交点，
直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
由得，，且，即，
且，，，
，，点E，F均在y轴上，
，均与y轴相交，直线l不过点，，
k的取值范围为且且，
直线l的倾斜角的取值范围为；
（2）设，M，A，B三点共线，，，
，，，，由（1）知，，且，
直线的方程为，
令得，同理可得，，
.
21．已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．
【解析】（1）抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）设点、，则，由（1）可得，，
又因为直线的方程为，
将代入直线的方程可得，可得，即点，
所以，，因为，则，
所以，直线的方程为，
联立可得，则，
故，则，
由的中点为，可得，
故、、三点共线，则．
又由，知，
故.
故的取值范围为．
22．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
【解析】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．由得，
因为，所以，即，所以，
因为，所以；因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，所以，
所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以，则，
所以，得，所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】如图，设点的坐标为，准线与轴的交点为A，
则，
所以的周长为.得，令，则，
有，即，解得(舍去)或，
所以，由解得.故选：A.
2．已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知，设直线的方程为，由，
得．设，，
则，，所以，．
因为为锐角，所以恒成立，即，
整理得，所以，
而，所以对于任意恒成立，所以．
由，解得，所以的取值范围为．故选:A．
3．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，则实数p的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设抛物线上存在不同的两点关于直线对称，
设所在的直线方程为，
联立方程组，整理得，其中，
设，则，则，
又因为的中点在直线，可得，即，
将代入，可得，解得，
所以实数的取值范围为.故选：B.
4．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】双曲线的标准方程是，其右焦点是.所以，，抛物线是，
设直线方程为，，由消去，化简整理得，因此，由得，，.
因为，所以，即.，即，
解得.代入得到，，或.故选：A．
5．在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】抛物线的准线方程为，
圆的圆心为，半径为，直线与圆相切，则，
因为，解得，所以，抛物线的方程为，
故抛物线的准线与圆相切于点，
若直线与轴重合，则直线与抛物线不相切，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
则，解得，不妨设点在第一象限，则，则有，解得，
此时，即点，所以，，
因为点在圆上，设点，则，
所以，.故选：C.
6．已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，
由得，因此，故.
因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，
因此由得，即，
所以
.
因为，所以，因此，
所以的取值范围是.故选:C.
7．已知点在抛物线上，且抛物线上存在不同的两点，，使得直线，的斜率，满足，若线段的中点为，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为点在抛物线上，
所以，所以，所以抛物线方程为．
设，则，直线的方程为，
结合抛物线的方程，得，由，得，
设，，则，即，，
同理可得，，，于是，因此．
因为且，所以且，故且，
所以直线的斜率的取值范围是．故选：C
8．已如抛物线的焦点是，点是其准线上一个动点，其中．过点且斜率为的直线与抛物线交于A，两点，过点的直线交抛物线于，两点．若，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由点在准线上知，，，所以抛物线的方程为．
依题意可设直线的方程为，设直线的方程为，斜率，，．由消去，得，
所以由知，判别式，，，
则．由，消去，得，
所以判别式，，，
所以因为，所以，
结合点A，在抛物线上，则，作差得，
点，两点在抛物线上，则，作差得，
所以，即，得，
即，所以，
即，因为， 即，所以，即，
所以或.故选：
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最小值为2
C．当取到最大值时，直线AP与C相切
D．当取到最大值时，
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，设，
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为：，
由消去x得：，则，
对于A，显然，，
当且仅当时取等号，A正确；
对于B，的面积，
当且仅当时取等号，B错误；
对于C，由选项A知，当最大时，点，此时直线方程为，
由消去x得：，，直线AP与C相切，C正确；
对于D，由选项C知，当最大时，轴，显然，
即，，D错误.
故选：AC
10．已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．时，的最小值为
B．的取值范围是
C．当点是弦的中点时，直线的斜率为
D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，
对于A，当时，点与重合，设直线的方程为，，
由消去x并整理得，则，
，当且仅当时取等号，
所以当时，的最小值为，A正确；
对于B，显然点在直线上，由选项A知，当时，可得，
由点在抛物线内，知，所以的取值范围是，B正确；
对于C，当点是弦的中点时，设，，若，直线的斜率不存在，
若，则直线的斜率，C错误；
对于D，由选项C知，当时，线段的中垂线斜率为，方程为，
即，此直线过定点，当时，线段的中垂线为，过点，
所以线段的中垂线恒过定点，即当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有，D正确.
故选：ABD
11．已知抛物线C：的焦点为F，P，Q为C上两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为4
B．若，记，则
C．过点与C只有一个公共点的直线有且仅有两条
D．以PQ为直径的圆与C的准线相切，则直线PQ过F
【解析】
如图所示，设PQ的中点为B，过P、Q、B分别作的垂线，垂足为D、E、A，
对于A，由题意可知，抛物线C：的焦点为，准线为.在抛物线上方，，即最小值为M到准线的距离4，当M，P，A三点共线时等号成立，故A正确；
对于B，由，设过N与抛物线相切的直线与抛物线切于点，
则，此时切线斜率为，即抛物线上任一点P，
都有，故，所以B正确；
对于C,由于点在C的下方，设过与抛物线相切的直线切于点，由上可得或，又知当时该直线与抛物线只一个交点，故过点与C只有一个公共点的直线有三条，所以C不正确；
对于D，由梯形中位线性质及抛物线定义知，所以直线PQ过F，故D正确.
故选：ABD.
12．设是抛物线：上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（ ）
A．若直线过抛物线的焦点，则的最小值为1
B．有且只有两条直线过点且与抛物线只有一个公共点
C．若，则为定值
D．若，则
【解析】根据题意，抛物线的焦点坐标为， 设.
A：若直线经过点，显然其斜率存在，故设直线为：，
联立抛物线方程可得：，
则，则
故，当且仅当时取得最小值，故A正确.
B：当直线的斜率不存在时，即时，显然与抛物线交于一点；
当直线的斜率存在时，不妨设其方程为，联立抛物线方程可得：
，令，可得或，
即直线，也与抛物线只有一个交点.
综上所述，满足过点且与抛物线交于一点的直线有条，故B错误；
C：若，显然为定值，故C正确；
D：若，则，即，又
即，又两点与点不能重合，
即，则.
，当且仅当，且时取得最小值，故D正确.
综上所述，正确的选项是：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若点满足，则的取值范围是 ．
【解析】由题可知，抛物线的焦点坐标，且，
由于是抛物线上一点，则，
，，
，且，解得：，
所以的取值范围是.
14．已知斜率为的直线与抛物线交于轴上方不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是 .
【解析】设点、，由题意可知，且，
所以，，则，
所以，
，因此，的取值范围是.
15．已知抛物线方程为，为其焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，且抛物线在、两点处的切线分别交轴于、两点，则的取值范围为 ．
【解析】若直线轴，则直线为轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，易知点，设直线的方程为，设点、，
联立可得，，由韦达定理可得，，
对函数求导得，所以，直线的方程为，即，
令，可得，即点，同理可得点，
，同理可得，
因此，
，
当且仅当时，等号成立，故的取值范围是.
16．如图，已知抛物线，点为抛物线上一动点，以C为圆心的圆过定点，且与x轴交于M，N两点（M点在N点的左侧），则的取值范围是 ．
【解析】由题意，的方程．
把和代入整理得，即．
设、的横坐标分别为、，则，．所以，
令，则
因为，所以，当时，
所以，所以
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，此时焦点为，
即此时抛物线焦点在轴，开口向下，顶点在原点，则抛物线方程为；
当时，，此时焦点为，
即此时抛物线焦点在轴，开口向右，顶点在原点，则抛物线方程为；
（2）设过点直线m的方程为，设直线m与抛物线的交点分别为
联立方程消去得，
即，；
AB的中点为；
；
则以线段AB为直径的圆的方程为
若原点O在以线段AB为直径的圆外，则化简得，即或.
18．已知抛物线焦点为F，点在抛物线上，.
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且是钝角，求直线斜率范围.
【解析】（1）由题意可得：，解得或，
故抛物线方程为或.
（2）抛物线的焦点，设，
联立方程，消去x得，
则，
可得，解得，
此时，则，
若直线过点，则，解得，
若是钝角，则，且三点不共线，
∵，
则
，
解得或，注意到，故直线斜率范围为.
19．设点在抛物线上，的焦点为．、为过的两条倾斜角互补的直线，且、与的另一交点分别为、．已知直线的斜率为．
(1)求直线的斜率；
(2)记、与轴的交点分别为、．设和分别为和的面积，当时，求的取值范围．
【解析】（1）设点、、，则，
，同理可得，，
因为直线、的倾斜角互补，则，
所以，，因为，则，所以，，
所以，，即点，易知点，所以，直线的斜率为.
（2）设直线的方程为，
联立可得，
则且，可得且，
由韦达定理可得，可得，整理可得，解得，
所以，，此时，，同理可得，
所以，.
20．已知点和点之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）.
(1)求直线l的倾斜角的取值范围；
(2)求的值.
【解析】（1），，，，
将代入，解得，抛物线C的方程为，
直线l过点，且与抛物线C有两个不同的交点，
直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
由得，，且，即，
且，，，
，，点E，F均在y轴上，
，均与y轴相交，直线l不过点，，
k的取值范围为且且，
直线l的倾斜角的取值范围为；
（2）设，M，A，B三点共线，，，
，，，，由（1）知，，且，
直线的方程为，
令得，同理可得，，
.
21．已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．
【解析】（1）抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）设点、，则，由（1）可得，，
又因为直线的方程为，
将代入直线的方程可得，可得，即点，
所以，，因为，则，
所以，直线的方程为，
联立可得，则，
故，则，
由的中点为，可得，
故、、三点共线，则．
又由，知，
故.
故的取值范围为．
22．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
【解析】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．由得，
因为，所以，即，所以，
因为，所以；因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，所以，
所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以，则，
所以，得，所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
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