人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题8.1 二元一次方程组及其解法【九大题型】（原卷版+解析）

这是一份人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题8.1 二元一次方程组及其解法【九大题型】（原卷版+解析），共30页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13661" 【题型1 二元一次方程（组）的概念】 PAGEREF _Tc13661 \h 1
\l "_Tc23720" 【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】 PAGEREF _Tc23720 \h 2
\l "_Tc15422" 【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】 PAGEREF _Tc15422 \h 2
\l "_Tc8585" 【题型4 二元一次方程组的一般解法】 PAGEREF _Tc8585 \h 3
\l "_Tc6193" 【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc6193 \h 3
\l "_Tc26766" 【题型6 构建二元一次方程组】 PAGEREF _Tc26766 \h 4
\l "_Tc8873" 【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 PAGEREF _Tc8873 \h 5
\l "_Tc23089" 【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】 PAGEREF _Tc23089 \h 5
\l "_Tc3013" 【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc3013 \h 6
【知识点1 二元一次方程（组）的概念】
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是（ ）
①x−2y=3y+2z=7 ②1x+y=4y−2x=−1 ③3x−4−2x=1x−y=5 ④x2−y3=12x+3y=12
A．①②③B．②③C．③④D．①②
【变式1-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，则m的值为 _____．
【变式1-2】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程：
①2x−y3=1；②x2+3y=3；③x2−y2=4；④5x+y=7x−y；⑤2x2=3；⑥x+1y=1，其中是二元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点2 二元一次方程（组）的解】
3、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法
【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】
【例2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（ ）组．
A．1B．2C．3D．4
【变式2-1】（2022·新疆塔城·七年级期末）已知x=2ky=3k是二元一次方程2x+y=14的解，则k的值是（ ）
A．2B．-2C．3D．-3
【变式2-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程a2x+by=-1的两组解是x=−2y=−1和x=4y=3，求（a+b）（a4﹣2a2b2+b2）的值．
【变式2-3】（2022·浙江杭州·七年级期中）在关于x，y的二元一次方程组x+2y=a−33x−y=2a的下列说法中，错误的是（）
A．当a=2时，方程的两根互为相反数B．当且仅当a=−5时解得x为y的2倍
C．x，y满足关系式x−5y=6D．不存在自然数a使得x，y均为正整数
【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】
【例3】（2022·四川省珙县巡场中学校七年级期中）关于x，y的方程组2x−ay=64x+y=7的解是整数，则整数a的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式3-1】（2022·浙江杭州·七年级期中）若二元一次方程组mx−3y=92x−y=1无解，则m为（ ）
A．9B．6C．−6D．−9
【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．方程3x-4y=1可能无解
B．方程3x-4y=1有无数组解，即xy可以取任何数值
C．方程3x-4y=1只有两组解，两组解是x=1y=12,x=−1y=−1
D．x=3，y=2是方程3x-4y=1的一组解
【变式3-3】（2022·河南商丘·七年级阶段练习）二元一次方程2x+y=13的非负整数解有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．无数个
【题型4 二元一次方程组的一般解法】
【例4】（2022·云南·普洱市宁洱县勐先镇初级中学七年级期中）解方程组:
(1)y=2x①3y+2x=8②
(2)2x+3y=12①x−2y=−1②
【变式4-1】（2022·甘肃·金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)x+y=202x+y=38
(2)x−y=33x−8y=14
(3)用代入法解3x+4y=9x−3y=−10
(4)用加减法解7x−2y=−408x−3y=−50
【变式4-2】（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）解方程组
(1)y=2x3y+2x=8；
(2)x+3y=7x−3y=1；
(3)x−3y=−22x+y=3；
(4)m5−n2=22(m+n+5)−(−m+n)=23．
【变式4-3】（2022·河南商丘·七年级期末）解下列方程组：
(1)3x−y=55y−1=3x+10
(2)x+7y=2x+y2−x−y6=−1
【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】
【例5】（2022·全国·八年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程组ax+by=7bx+ay=9的解为x=2y=3，那么关于m、n的二元一次方程组a(m+n)+b(m−n)=7b(m+n)+a(m−n)=9的解为 _____．
【变式5-1】（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知x，y满足x+2y=5，且3x+7y=5m−32x+3y=8求m的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8再求m的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m的值；
丙同学：先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【变式5-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知关于x，y的方程组x−2y=8−k ，2x−y=4−5k的解满足x−y=10，则k的值为_____．
【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组x-y-1=0①4（x-y）-y=5②.
由①，得x－y＝1.③
把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝0.
∴原方程组的解为x=0y=-1.
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：2x-3y-2=0①2x-3y+57+2y=9②.
【题型6 构建二元一次方程组】
【例6】（2019·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么x、y的值为（ ）
A．x=3，y=2B．x=2，y=3C．x=0，y=5D．x=5，y=0
【变式6-1】（2022·吉林松原·七年级期中）已知y=kx+b，当x=2时，y=−3；当x=−1时，y=3．
（1）求k，b的值；
（2）当x取何值时，y的值为−4？
【变式6-2】（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级阶段练习）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如1⊗3=2×1+3=5．
（1）求4⊗−3的值；
（2）若x⊗−y=−2，2y⊗x=−1，求x+y的值．
【变式6-3】（2022·山东聊城·七年级期中）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝________．
【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】
【例7】（2022·广东揭阳·八年级期末）若关于x,y的二元一次方程组x+2y=5k+1x−y=2k−5的解满足x+y=7,则k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）关于x,y的方程组2x−3y=11−4m3x+2y=21−5m的解也是二元一次方程x+3y+7m=20的解，则m的值是( )
A．2B．1C．0D．12
【变式7-2】（2022·湖南株洲·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=5m3x−2y=4m的解满足二元一次方程x3-y=4，求m的值．
【变式7-3】（2022·四川·天府四中七年级期中）已知方程组x+ay=22x+3y=7的解是二元一次方程x−y=1的一个解，则a=________________．
【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】
【例8】（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院七年级期中）关于x、y的方程组3x−y=54ax+5by=−26与2x+3y=−4ax−by=8有相同的解，则a+b=______．
【变式8-1】（2019·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x、y的方程组3x−y=6ax−by=2的正确解与乙求关于x、y的方程组3x+y=6bx−ay=20的正确的解相同．则a2018+(−110b)2018的值为_____.
【变式8-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组3x+y=5ax−2y=4的解也是方程组3x−by=54x−5y=−6的解求a,b的值．
【变式8-3】（2022·山东潍坊·七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组ax+by=mcx+dy=n与a+1x+b+2y=m+2c+3x+d+4y=n+5有相同的解，则这个解是_________．
【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】
【例9】（2022·四川·射洪中学七年级阶段练习）小明和小文解一个二元一次方程组cx−3y=−2ax+by=2，小明正确解得x=1y=−1，小文抄错了c，解得x=2y=−6，已知小文抄错了c外没有发生其他错误，则a−b−c＝______．
【变式9-1】（2019·全国·八年级单元测试）甲、乙二人解同一个方程组3x+ay=13,①bx−3y=9.②甲因看错①中的a得解为x=6,y=7,乙因看错了②中的b解得x=1，y=5，求a，b的值.
【变式9-2】（2019·江苏徐州·七年级期末）甲、乙二人同时解一个方程组2x+ay=61bx−7y=162，甲解得x=13y=7 ，乙解得x=9y=4.甲仅因为看错了方程(1)中y的系数a，乙仅因为看错了方程(2)中x的系数b，求方程组正确的解.
【变式9-3】（2019·全国·八年级单元测试）小敏不小心将墨水溅在同桌小娟的作业本上，结果二元一次方程组3x+□y=11,□x+2y=−2中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知方程组的解是x=1,y=2,则原来的方程组为____________.a、b的运算
a＋b
a－b
（a＋2b）3
运算的结果
5
9
m
专题8.1 二元一次方程组及其解法【九大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13661" 【题型1 二元一次方程（组）的概念】 PAGEREF _Tc13661 \h 1
\l "_Tc23720" 【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】 PAGEREF _Tc23720 \h 3
\l "_Tc15422" 【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】 PAGEREF _Tc15422 \h 6
\l "_Tc8585" 【题型4 二元一次方程组的一般解法】 PAGEREF _Tc8585 \h 8
\l "_Tc6193" 【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc6193 \h 13
\l "_Tc26766" 【题型6 构建二元一次方程组】 PAGEREF _Tc26766 \h 16
\l "_Tc8873" 【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 PAGEREF _Tc8873 \h 18
\l "_Tc23089" 【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】 PAGEREF _Tc23089 \h 20
\l "_Tc3013" 【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc3013 \h 22
【知识点1 二元一次方程（组）的概念】
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是（ ）
①x−2y=3y+2z=7 ②1x+y=4y−2x=−1 ③3x−4−2x=1x−y=5 ④x2−y3=12x+3y=12
A．①②③B．②③C．③④D．①②
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定．
【详解】解：①x−2y=3y+2z=7是三元一次方程组，故不符合题意；
②1x+y=4y−2x=−1各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意；
③3x−4−2x=1x−y=5是二元一次方程组，故符合题意；
④x2−y3=12x+3y=12是二元一次方程组，故符合题意；
故是二元一次方程组是③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键．
【变式1-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，则m的值为 _____．
【答案】0
【分析】根据二元一次方程的定义：有2个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，得出m的等量关系，解出答案即可．
【详解】解：由题意得，
m−2≠0，m−1=1，
∴m≠2，m=2或0，
∴m=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握并理解二元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式1-2】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程：
①2x−y3=1；②x2+3y=3；③x2−y2=4；④5x+y=7x−y；⑤2x2=3；⑥x+1y=1，其中是二元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义作答．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：①2x−y3=1属于二元一次方程，故符合题意；
②x2+3y=3中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意；
③x2−y2=4中的未知数的次数为2，不属于二元一次方程，故不符合题意；
④5x+y=7x−y属于二元一次方程，故符合题意；
⑤2x2=3中的未知数的次数为2，不属于二元一次方程，故不符合题意；
⑥x+1y=1中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意；
故其中二元一次方程有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【变式1-3】（2022春•开福区月考）已知方程组3x−m−3ym−2−2=1m+1x=−2是二元一次方程组，求m的值．
【答案】（1）179+32；（2）m=5
【分析】根据二元一次方程组的定义得m−2−2=1且m−3≠0，m+1≠0即可求解；
【详解】解：∵方程组3x−m−3ym−2−2=1m+1x=−2是二元一次方程组，
∴m−2−2=1且m−3≠0，m+1≠0，
∴m=5．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，掌握相关定义是解题的关键．
【知识点2 二元一次方程（组）的解】
3、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法
【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】
【例2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（ ）组．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】将y看作已知数，求出x，即可确定出方程的正整数解．
【详解】解：2x+3y=20
x=12(20−3y)
当y=2时，x=7；当y=4时，x=4；当y=6时，x=1
则方程的正整数解有3对．
故选：C
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看作已知数，表示出x．
【变式2-1】（2022·新疆塔城·七年级期末）已知x=2ky=3k是二元一次方程2x+y=14的解，则k的值是（ ）
A．2B．-2C．3D．-3
【答案】A
【分析】把x=2ky=3k代入二元一次方程2x+y=14求解即可得到答案；
【详解】把x=2ky=3k代入二元一次方程2x+y=14得到：
2×2k+3k=14，
即：7k=14，k=2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，掌握二元一次方程的解使该方程等号两边成立是解题的关键．
【变式2-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程a2x+by=-1的两组解是x=−2y=−1和x=4y=3，求（a+b）（a4﹣2a2b2+b2）的值．
【答案】-23
【分析】根据题意把两组解代入组成一个新的二元一次方程组，然后求出a、b的值，代入含有a、b的代数式求解即可
【详解】解：将{x=−2y=−1 和{x=4y=3 代入a2x+by=-1，
得{a2×(−2)+b×(−1)=−1a2×4+b×3=−1，
解得{a=4b=−3 ．
∴（a+b）（a4﹣2a2b2+b2）=（4﹣3）×[44﹣2×42×（﹣3）2+（﹣3）2]=﹣23．
【点睛】二元一次方程组的解法是本题的考点，熟练掌握其知识根据已知条件转换成二元一次方程组是解题的关键.
【变式2-3】（2022·浙江杭州·七年级期中）在关于x，y的二元一次方程组x+2y=a−33x−y=2a的下列说法中，错误的是（）
A．当a=2时，方程的两根互为相反数B．当且仅当a=−5时解得x为y的2倍
C．x，y满足关系式x−5y=6D．不存在自然数a使得x，y均为正整数
【答案】D
【分析】A．当a＝2时，方程组变形得到结果，即可判断；
B．将x=2y代入方程，解出a即可判断；
C．用含a是代数式表示x和y，再将x、y代入x−5y进行计算即可判断；
D．用含a是代数式表示x和y，当a＝16时，x＝11，y＝1，即可判断．
【详解】解：A、当a＝2时，方程组为
{x＋2y＝−1①3x−y＝4②，
①＋②×2得：7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝−1，
则x＋y＝1−1＝0，
即方程的两根互为相反数，
∴A选项不符合题意；
B． 当x=2y时，原方程组可变为：{4y=a−35y=2a
解得：a=-5，
∴当且仅当a=-5，时解得x为y的2倍；
∴B选项不符合题意．
C．{x−2y=a−3①3x−y=2a②，
①＋②×2得：7x＝5a−3，
解得：x＝5a−37，y＝a−97，
∵x−5y＝5a−37−5×a−97=427=6，正确，
∴C选项不符合题意；
D、由C可知：x＝5a−37，y＝a−97，
要使x为自然数，可得5a−3＝7，14，21，…；同理a−9＝7，14，21，…，
当a＝16时，x＝11，y＝1，
所以存在自然数a，使得x，y均为正整数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握二元一次方程的相关知识．
【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】
【例3】（2022·四川省珙县巡场中学校七年级期中）关于x，y的方程组2x−ay=64x+y=7的解是整数，则整数a的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】先解方程组求出x、y的值，根据y和a都是整数求出1+2a=−1或1+2a=5或1+2a=1或1+2a=−5，求出a的值，再代入x求出x，再逐个判断即可;
【详解】2x−ay=6①4x+y=7②
①×2−②得：−2a−1y=5
解得：y=5−2a−1
把y=5−2a−1代入②得：4x−52a+1=7
解得：x=7a+62+4a
∵ 方程组的解为整数
∴ x,y均为整数
∴ 1+2a=−1或1+2a=5或1+2a=1或1+2a=−5
解得：a=−1,2,0,−3，
当a=−1时，x=12，不是整数，舍去；
当a=2时，x=2，是整数，符合；
当a=0时，x=3，是整数，符合；
当a=−3时，x=32，不是整数，舍去；
故选：C.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的含参问题，准确的解出方程组并且列出整数解的情况是求解本题的关键.
【变式3-1】（2022·浙江杭州·七年级期中）若二元一次方程组mx−3y=92x−y=1无解，则m为（ ）
A．9B．6C．−6D．−9
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组无解的问题可直接进行求解．
【详解】解：由mx−3y=9①2x−y=1②可得：
①-②×3得：m−6x=6，
∵二元一次方程组无解，
∴m−6=0，解得：m=6；
故选B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．方程3x-4y=1可能无解
B．方程3x-4y=1有无数组解，即xy可以取任何数值
C．方程3x-4y=1只有两组解，两组解是x=1y=12,x=−1y=−1
D．x=3，y=2是方程3x-4y=1的一组解
【答案】D
【分析】根据二元一次方程是不定方程，有无数组解；能使方程成立的x，y的数值即是方程的解．反之，则不是方程的解．
【详解】解：A、方程3x-4y=1有无数组解，错误；
B、方程3x-4y=1有无数组解，即x，y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，错误；
C、方程3x-4y=1有无数组解，即x，y的取值代入方程，使方程左右相等的解是方程的解，错误；
D、x=3，y=2代入方程3x-4y=1，左边=1=右边，即x=3，y=2是方程3x-4y=1的一组解，正确．
故选：D．
【点睛】根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程；若不满足，则不是方程的解．关键是会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
【变式3-3】（2022·河南商丘·七年级阶段练习）二元一次方程2x+y=13的非负整数解有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．无数个
【答案】C
【分析】将x=0，1，2，…，分别代入2x+y=13，求出二元一次方程2x+y=13的非负整数解有多少组即可．
【详解】当x=0时，y=13；
当x=1时，y=11；
当x=2时，y=9；
当x=3时，y=7；
当x=4时，y=5；
当x=5时，y=3；
当x=6时，y=1；
当x=7时，y=-1＜0；
∴二元一次方程2x+y=13的非负整数解有x=0y=13，x=1y=11，x=2y=9，x=3y=7，x=4y=5，x=5y=3，x=6y=1，共7组．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为非负整数．
【题型4 二元一次方程组的一般解法】
【例4】（2022·云南·普洱市宁洱县勐先镇初级中学七年级期中）解方程组:
(1)y=2x①3y+2x=8②
(2)2x+3y=12①x−2y=−1②
【答案】(1)x=1y=2
(2)x=3y=2
【分析】（1）利用代入消元法，将方程①代入②，得6x+2x=8，解得x的值，进而求得y的值即可
（2）利用加减消元法，将方程②×2，得2x−4y=−2③，然后与方程①相减即可求得y的值进而将y的值代入方程②求得x的值即可．
（1）
解：y=2x①3y+2x=8②
将①代入②，得6x+2x=8，
解得x=1，
将x=1代入①，得y=2，
∴原方程组的解为x=1y=2；
（2）
解：2x+3y=12①x−2y=−1②
②×2，得2x−4y=−2 ③
①－③，得7y=14，
解得y=2，
将y=2代入②，得x−4=−1，
解得x=3，
∴原方程组的解为x=3y=2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的关键．
【变式4-1】（2022·甘肃·金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)x+y=202x+y=38
(2)x−y=33x−8y=14
(3)用代入法解3x+4y=9x−3y=−10
(4)用加减法解7x−2y=−408x−3y=−50
【答案】(1)x=18y=2
(2)x=2y=−1
(3)x=−1y=3
(4)x=−4y=6
【分析】（1）根据加减消元法求解即可；
（2）根据加减消元法求解即可；
（3）根据代入消元法的步骤求解即可；
（4）根据加减消元法的步骤求解即可；
（1）
解：x+y=20①2x+y=38②，
由②-①，得：x=18，
将x=18代入①，得：18+y=20，
解得：y=2，
故原方程组的解为：x=18y=2；
（2）
解：x−y=3①3x−8y=14②
由3×①-②，得：5y=−5，
解得：y=−1，
将y=−1代入①，得：x−(−1)=3，
解得：x=2，
故原方程组的解为：x=2y=−1；
（3）
解：3x+4y=9①x−3y=−10②
由②得：x=3y−10③，
将③代入①，得：3(3y−10)+4y=9，
解得：y=3，
将y=3代入③，得：x=3×3−10=−1，
故原方程组的解为：x=−1y=3；
（4）
解：7x−2y=−40①8x−3y=−50②
由3×①-2×②，得：5x=−20，
解得：x=−4，
将x=−4代入①，得：7×(−4)−2y=−40，
解得：y=6，
故原方程组的解为：x=−4y=6；
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法解方程组的步骤是解题关键．
【变式4-2】（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）解方程组
(1)y=2x3y+2x=8；
(2)x+3y=7x−3y=1；
(3)x−3y=−22x+y=3；
(4)m5−n2=22(m+n+5)−(−m+n)=23．
【答案】(1)x=1y=2
(2)x=4y=1
(3)x=1y=1
(4)m=5n=−2
【分析】（1）利用代入法解方程组；
（2）利用加减法解方程组；
（3）利用代入法解方程组；
（4）先将方程组化简，再利用加减法解方程组．
（1）
解：y=2x①3y+2x=8②，
将①代入②，得6x+2x=8，
解得x=1，
将x=1代入①，得y=2，
∴方程组的解为x=1y=2；
（2）
x+3y=7①x−3y=1②，
①+②得，2x=8，
解得x=4，
将x=4代入①，得4+3y=7，
解得y=1，
∴方程组的解为x=4y=1；
（3）
x−3y=−2①2x+y=3②，
由①得，x=3y-2③，
将③代入②得，2（3y-2）+y=3，
解得y=1，
将y=1代入③，得x=3-2=1，
∴方程组的解为x=1y=1；
（4）
将原方程组化简为2m−5n=20①3m+n=13②，
①+②×5，得17m=85，
解得m=5，
将m=5代入②，得15+n=13，
解得n=-2，
∴方程组的解为m=5n=−2．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入法和加减法，并能根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．
【变式4-3】（2022·河南商丘·七年级期末）解下列方程组：
(1)3x−y=55y−1=3x+10
(2)x+7y=2x+y2−x−y6=−1
【答案】(1)x=3y=4
(2)x=−5y=1
【分析】（1）先整理方程组，再用加减消元法进行求解；
（2）先整理方程，再用加减消元法进行求解．
（1）
解：整理得：3x−y=5①−3x+5y=11②
①+②得：4y=16，
y=4
把y=4代入①得：3x-4=5
x=3
∴原方程组的解为：x=3y=4．
（2）
解：整理得：x+7y=2①x+2y=−3②
①-②得：5y=5
y=1
把y=1代入①得：x+7=2
x=-5
∴原方程组的解为：x=−5y=1．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，正确地将方程组进行整理以及熟练掌握消元的思想是解题的关键．
【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】
【例5】（2022·全国·八年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程组ax+by=7bx+ay=9的解为x=2y=3，那么关于m、n的二元一次方程组a(m+n)+b(m−n)=7b(m+n)+a(m−n)=9的解为 _____．
【答案】m=52n=−12
【分析】首先利用整体代值的数学思想可以得到m+n与m﹣n的值，然后解关于m、n的方程组即可求解．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组ax+by=7bx+ay=9的解为x=2y=3，
∴关于m、n的二元一次方程组a(m+n)+b(m−n)=7b(m+n)+a(m−n)=9中m+n=2m−n=3，
∴解这个关于m、n的方程组得：m=52n=−12．
故答案为m=52n=−12．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高．
【变式5-1】（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知x，y满足x+2y=5，且3x+7y=5m−32x+3y=8求m的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8再求m的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m的值；
丙同学：先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【答案】我最欣赏乙同学的解法，m=4，理由见解析
【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出m的值，分析简便的原因．
【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，
3x+7y=5m−3①2x+3y=8②，
①+②得：5x+10y=5m+5，
整理得：x+2y=m+1，
代入x+2y=5得：m+1=5，
解得：m=4，
这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式5-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知关于x，y的方程组x−2y=8−k ，2x−y=4−5k的解满足x−y=10，则k的值为_____．
【答案】−3
【分析】把二元一次方程组中的两个方程相加即可求得x－y的值，然后利用x−y=10即可得出答案．
【详解】x−2y=8−k2x−y=4−5k①②
由①+②得3x−3y=12−6k，
x−y=4−2k，
∵x−y=10，
∴4−2k=10，
解得k=−3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程组解法中的加减消元思想，熟练掌握一元二次方程组的解法是解题的关键．
【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组x-y-1=0①4（x-y）-y=5②.
由①，得x－y＝1.③
把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝0.
∴原方程组的解为x=0y=-1.
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：2x-3y-2=0①2x-3y+57+2y=9②.
【答案】x=7y=4.
【详解】试题分析：由第一个方程求出2x-3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
试题解析：解：由①，得：2x－3y＝2．③
把③代入②，得：2+57＋2y＝9，解得：y＝4．
把y＝4代入③，得2x－3×4＝2，解得：x＝7．
∴原方程组的解为x=7y=4．
点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【题型6 构建二元一次方程组】
【例6】（2019·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么x、y的值为（ ）
A．x=3，y=2B．x=2，y=3C．x=0，y=5D．x=5，y=0
【答案】D
【分析】根据相反数的意义可得关于x、y的二元一次方程，继而根据非负数的性质可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可.
【详解】∵(x+y-5)2与│3y-2x+10│互为相反数，
∴(x+y-5)2+│3y-2x+10│=0，
∴x+y−5=03y−2x+10=0，
解得x=5y=0，
故选D.
【点睛】本题考查了相反数的意义，非负数的性质，解二元一次方程组等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
【变式6-1】（2022·吉林松原·七年级期中）已知y=kx+b，当x=2时，y=−3；当x=−1时，y=3．
（1）求k，b的值；
（2）当x取何值时，y的值为−4？
【答案】（1）k=−2，b=1；（2）x=52．
【分析】（1）根据待定系数法计算即可；
（2）根据已知条件列出等式计算即可；
【详解】（1）由题意可得，2k+b=−3−k+b=3，
可得：k=−2b=1；
（2）由（1）得y=−2x+1，
∵y的值为−4，
∴−4=−2x+1，
∴x=52；
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的综合，准确计算是解题的关键．
【变式6-2】（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级阶段练习）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如1⊗3=2×1+3=5．
（1）求4⊗−3的值；
（2）若x⊗−y=−2，2y⊗x=−1，求x+y的值．
【答案】（1）5；（2）x+y=−1
【分析】(1)利用题目中的新定义进行计算即可；
(2)根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可.
【详解】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝2×4+(−3)=8−3=5；
故答案为：5.
（2）根据题中的新定义化简得：{2x−y=−2x+4y=−1，
两式相加得：3x+3y=−3，
则x+y=−1．
故答案为：−1.
【点睛】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解法.
【变式6-3】（2022·山东聊城·七年级期中）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝________．
【答案】27
【分析】先根据表格得出方程组a+b=5a−b=9 ，求出方程组的解，再代入m=(a+2b)3求出m即可．
【详解】解：根据题意得：a+b=5a−b=9，
解得a=7b=−2，
∴m=(a+2b)3=7+2×(−2)3=27；
故答案为：27．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和代数式求值，理解题意并列出二元一次方程组求出a、b的值是解此题的关键．
【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】
【例7】（2022·广东揭阳·八年级期末）若关于x,y的二元一次方程组x+2y=5k+1x−y=2k−5的解满足x+y=7,则k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用加减法，先用含k的代数式表示出x+y，根据x+y=7，得到关于k的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：x+2y=5k+1 （1）x−y=2k−5 （2）
（1）×2+（2），得3x+3y=12k-3，
∴x+y=4k-1，
∴4k-1=7，解得k=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k的代数式表示出方程组中的x+y．
【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）关于x,y的方程组2x−3y=11−4m3x+2y=21−5m的解也是二元一次方程x+3y+7m=20的解，则m的值是( )
A．2B．1C．0D．12
【答案】A
【分析】先解方程组用含m的代数式表示出x，y后，代入二元一次方程x＋3y＋7m＝20，可得到关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】解方程组2x−3y＝11−4m3x＋2y＝21−5m得x＝85−23m13y＝18＋4m26
把x，y代入二元一次方程x＋3y＋7m＝20得
85−23m13＋3(18＋4m)26＋7m＝20
解得m＝2，
故选A.
【点睛】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键.
【变式7-2】（2022·湖南株洲·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=5m3x−2y=4m的解满足二元一次方程x3-y=4，求m的值．
【答案】-12
【分析】先解方程组得x=2my=m，再将x=2my=m代入x3-y=4求解即可.
【详解】解：2x+y=5m①3x−2y=4m②，
②+①×2得：7x=14m，
解得：x=2m，
把x=2m代入①得：4m+y=5m，
解得：y=m，
∴方程组的解为x=2my=m，
∵关于x、y的二元一次方程组2x+y=5m3x−2y=4m的解满足二元一次方程x3-y=4，
∴2m3-m=4，
解得：m=-12．
【点睛】本题考查了含参的二元一次方程组的解，将参量当成已知数进行计算，表示出未知数，求出方程的解是解题关键.
【变式7-3】（2022·四川·天府四中七年级期中）已知方程组x+ay=22x+3y=7的解是二元一次方程x−y=1的一个解，则a=________________．
【答案】0
【分析】由题意建立关于x，y的新的方程组，求得x，y的值，再代入求解即可；
【详解】{x+ay=2①2x+3y=7②，
由①×2得：
2x+2ay=4③,
由②−③得：
(3−2a)y=3，
y=33−2a，
将y=33−2a代入②得：
2x=7−93−2a，
2x=12−14a3−2a，
x=6−7a3−2a，
方程组的解为{x=6−7a3−2ay=33−2a，
又∵方程组的解是x−y=1的一个解，
∴6−7a3−2a−33−2a=1，
3−7a3−2a=1，
3−7a=3−2a,
a=0,
经检验，a=0是3−7a3−2a=1的解，
∴a=0．
故答案为0．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，准确分析计算是解题的关键．
【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】
【例8】（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院七年级期中）关于x、y的方程组3x−y=54ax+5by=−26与2x+3y=−4ax−by=8有相同的解，则a+b=______．
【答案】439
【分析】联立方程组求出x，y，将x，y代入剩余方程求出a，b即可．
【详解】解：联立得：3x−y=52x+3y=−4，
解得x=1y=−2，
把x=1y=−2代入剩余方程得：4a−10b=−26a+2b=8，
解得a=149b=299，
∴a+b=439．
故答案为：439．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解二元一次方程组的步骤．
【变式8-1】（2019·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x、y的方程组3x−y=6ax−by=2的正确解与乙求关于x、y的方程组3x+y=6bx−ay=20的正确的解相同．则a2018+(−110b)2018的值为_____.
【答案】2
【分析】重新组合方程组，首先得到关于x，y的方程组，求得x，y的值后，得到关于a、b的方程组，解这个方程组得到a、b的值，最后求出a20018+（-110b）20018的值．
【详解】由题意可得，这两个方程组的解相同，则
3x−y＝63x+y＝6，
解得：x＝2y＝0，
把x＝2y＝0代入bx−ay＝20ax−by＝2得：a＝1b＝10；
∴原式=120018+(−110×10)20018=1+1=2．
故答案为2
【点睛】本题要求同学们熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．
【变式8-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组3x+y=5ax−2y=4的解也是方程组3x−by=54x−5y=−6的解求a,b的值．
【答案】a=5,b=−1
【分析】根据题意可知两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组，再根据二元一次方程组解的定义，即可求出答案．
【详解】3x+y=5① 4x−5y=−6②，①×（-5）－②得，-19x=−19，解得x=1，
把x=1代入①得，3+y=5，解得y=2，
所以方程组3x+y=54x−5y=−6的解是x=1y=2，
把x=1y=2代入方程组ax−2y=43x−by=5，得a−4=13−2b=5，解得a=5b=−1，
故答案为：a=5,b=−1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解答此题的关键是要弄清题意，两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组．
【变式8-3】（2022·山东潍坊·七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组ax+by=mcx+dy=n与a+1x+b+2y=m+2c+3x+d+4y=n+5有相同的解，则这个解是_________．
【答案】x=1y=12
【分析】把方程组a+1x+b+2y=m+2c+3x+d+4y=n+5变形为ax+by+x+2y=m+2cx+dy+3x+4y=n+5，进一步可得x+2y=23x+4y=5，求出方程组的解即可．
【详解】解：∵a+1x+b+2y=m+2c+3x+d+4y=n+5
∴ax+by+x+2y=m+2cx+dy+3x+4y=n+5
又元一次方程组ax+by=mcx+dy=n与a+1x+b+2y=m+2c+3x+d+4y=n+5有相同的解
∴x+2y=23x+4y=5
解得，x=1y=12
故答案为：x=1y=12
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两个方程都成立的未知数的值．
【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】
【例9】（2022·四川·射洪中学七年级阶段练习）小明和小文解一个二元一次方程组cx−3y=−2ax+by=2，小明正确解得x=1y=−1，小文抄错了c，解得x=2y=−6，已知小文抄错了c外没有发生其他错误，则a−b−c＝______．
【答案】7
【分析】把x=1y=−1代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出a与b的值，即可求出a−b−c的值．
【详解】把x=1y=−1代入cx−3y=−2，得c+3=-2，
解得：c=-5，
把x=1y=−1与x=2y=−6分别代入ax+by=2，得a−b＝22a−6b＝2，
解得：a＝212b＝12，
则a−b−c=212−12−−5=7．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
【变式9-1】（2019·全国·八年级单元测试）甲、乙二人解同一个方程组3x+ay=13,①bx−3y=9.②甲因看错①中的a得解为x=6,y=7,乙因看错了②中的b解得x=1，y=5，求a，b的值.
【答案】a=2，b=5.
【分析】把x＝6，y＝7代入方程②可求出b，把x＝1，y＝5代入方程①可求出a.
【详解】把x=6,y=7代入②，得6b−21=9，b=5．
把x=1,y=5代入①，得3+5a=13，a=2.
【点睛】本题考查了方程组解的定义，根据条件得到关于a，b的方程是关键．
【变式9-2】（2019·江苏徐州·七年级期末）甲、乙二人同时解一个方程组2x+ay=61bx−7y=162，甲解得x=13y=7 ，乙解得x=9y=4.甲仅因为看错了方程(1)中y的系数a，乙仅因为看错了方程(2)中x的系数b，求方程组正确的解.
【答案】{x=6y=2.
【分析】由题意可求出a与b的值，然后代回原方程组中即可求出方程组的解．
【详解】解：根据题意可知：{13b−49=1618+4a=6
解得：{a=−3b=5，
把a=-3，b=5分别代入原方程组，得{2x−3y=65x−7y=16
解得：{x=6y=2.
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
【变式9-3】（2019·全国·八年级单元测试）小敏不小心将墨水溅在同桌小娟的作业本上，结果二元一次方程组3x+□y=11,□x+2y=−2中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知方程组的解是x=1,y=2,则原来的方程组为____________.
【答案】3x+4y=11,−6x+2y=−2
【分析】设第一个方程中y的系数为a，第二个方程的x系数为b，把该方程组的解{x=1y=2代入原方程组，再来解关于a、b的方程组即可．
【详解】设第一个方程中y的系数为a，第二个方程中x的系数为b，则原方程组可写成{3x+ay=11bx+2y=−2，
把{x=1y=2代入二元一次方程组{3x+ay=11bx+2y=−2，
得{3+2a=11b+4=−2，
解得{a=4b=−6
所以原方程组为{3x+4y=11−6x+2y=−2.
故答案为{3x+4y=11−6x+2y=−2.
【点睛】本题要求同学们不仅熟悉代入法，更需要熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．a、b的运算
a＋b
a－b
（a＋2b）3
运算的结果
5
9
m