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人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题6.1 平方根与立方根【九大题型】（原卷版+解析）
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这是一份人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题6.1 平方根与立方根【九大题型】（原卷版+解析），共24页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17272" 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 PAGEREF _Tc17272 \h 1
\l "_Tc19883" 【题型2 平方根性质的运用】 PAGEREF _Tc19883 \h 2
\l "_Tc14364" 【题型3 开平方、开立方的运算】 PAGEREF _Tc14364 \h 3
\l "_Tc24215" 【题型4 利用开平方、开立方解方程】 PAGEREF _Tc24215 \h 3
\l "_Tc30447" 【题型5 算术平方根的概念及非负性】 PAGEREF _Tc30447 \h 4
\l "_Tc4863" 【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 PAGEREF _Tc4863 \h 5
\l "_Tc13874" 【题型7 平方根与立方根综合】 PAGEREF _Tc13874 \h 6
\l "_Tc12897" 【题型8 算术平方根、立方根的应用】 PAGEREF _Tc12897 \h 6
\l "_Tc26792" 【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】 PAGEREF _Tc26792 \h 7
【知识点1 平方根的概念及表示】
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
【知识点2 立方根的概念及性质】
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【题型1 平方根、立方根的概念及表示】
【例1】（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（ ）
A．﹣aB．﹣a2+1C．﹣a2D．﹣a2﹣1
【变式1-1】（2022春•鞍山期末）下列说法正确的是（ ）
A．﹣1是1的平方根B．﹣1是-1的平方根
C．﹣1是1的立方根D．﹣1没有立方根
【变式1-2】（2022春•应城市期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．−−9=3B．3−27=−3C．318=±12D．38=−2
【变式1-3】（2022春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（ ）
A．0只有一个平方根B．若x2＝3，则x＝±3
C．64的立方根是2D．512的立方根是±8
【知识点3 平方根的性质】
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
【题型2 平方根性质的运用】
【例2】（2022春•临洮县期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
【变式2-1】（2022•工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b﹣1，求（a+b）2022．
【变式2-2】（2022春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．
（1）当b＝8时，m的值是 ；
（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝ ．
【变式2-3】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（ ）
A．8B．0C．8或0D．4或﹣4
【知识点4 开平方】
求一个数的平方根的运算叫做开平方．
【知识点5 开立方】
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
【题型3 开平方、开立方的运算】
【例3】（2022春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ，b＝ ．
【变式3-1】（2022春•绥棱县期末）已知x、y为实数，且满足1+x+1−y=0，那么x2022﹣y2022＝ ．
【变式3-2】（2022春•五常市期末）1106的平方根是 ，﹣27的立方根是 ．
【变式3-3】（2022春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．22B．2C．2D．±2
【题型4 利用开平方、开立方解方程】
【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x的值：
（1）4x2﹣9＝0；
（2）8（x+1）3＝125．
【变式4-1】（2022春•阆中市期中）（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．
（2）已知（x+1）3+27＝0，求x的值．
【变式4-2】（2022春•安陆市期中）求x的值：（1）2x2＝50；
（2）（x+1）3+3=−38．
【变式4-3】（2017秋•金牛区校级月考）解方程：若（x﹣1）2﹣1＝8，则x＝ ；若x3−827=0，则x＝ ．
【知识点6 算术平方根的概念】
正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．
【知识点7 算术平方根的性质】
①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.
【题型5 算术平方根的概念及非负性】
【例5】（2022春•饶平县校级期末）(x2+4)2的算术平方根是（ ）
A．（x2+4）4B．（x2+4）2C．x2+4D．x2+4
【变式5-1】（2022春•巴彦县期末）若x﹣5有算术平方根，则x满足的条件是 ．
【变式5-2】（2022春•宁县期末）若7−x为整数，x为正整数，则x的值为 ．
【变式5-3】（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，(−9)×(−4)=6，(−9)×(−1)=3，(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【题型6 开方运算中的小数点移动规律】
【例6】（2022春•遵义期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为
（注：表中部分数值为近似值）（ ）
A．m＝0.025，n≈7.91B．m＝2.5，n≈7.91
C．m≈7.91，n＝2.5D．m＝2.5，n≈0.791
【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表：
（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．
被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 移动 位；
（3）根据你发现的规律填空：
①已知33=1.442，则33000= ；
②已知30.000456=0.07696，则3456= ．
【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）已知25.36≈5.03587，253.6≈15.92482，则253600≈ （结果保留3位小数）．
【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：
（1）被开方数a的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．
（2）已知：3a=−50，30.125=0.5，你能求出a的值吗？
【题型7 平方根与立方根综合】
【例7】（2022春•海珠区校级期中）一个正数m的两个平方根分别为1﹣3a和a+5，则这个正数m的立方根是 ．
【变式7-1】（2022春•海珠区期末）若实数5x+19的立方根是4，则实数3x+9的平方根是 ．
【变式7-2】（2022春•兴仁市月考）已知A=m−2n−m+3是n﹣m+3的算术平方根，B=m−2n+3m+2n是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．
【变式7-3】（2022•兴化市月考）若a、b满足a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b的值为 ．
【题型8 算术平方根、立方根的应用】
【例8】（2022•桥西区校级期中）解答下列应用题：
（1）某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？
（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？
【变式8-1】（2022秋•沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为11.52m3，则此水池底面正方形的边长为（ ）
A．2.4mB．4.2mC．9.25mD．13.52m
【变式8-2】（2022•南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25m3，且长方体的高是底面边长的2倍．
（1）求长方体的底面边长；
（2）求长方体的表面积．
【变式8-3】（2022春•奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．
【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】
【例1】（2022春•崇川区校级期中）将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是 ．
【变式1-1】（2022春•青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①13；②13+23；③13+23+33；④13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律写出下面式子的值：13+23+33+⋯+263= ．
【变式1-2】（2022春•孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定359319是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定359319个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定359319十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 ．
【变式1-3】（2022春•越秀区校级期中）将一组数3，6，9，12，⋯，180，按下面的方式进行排列：
3，6，9，12，15，1821，24，27，30，33，36⋯⋯
若12的位置记为（1，4），24的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的位置记为 ．a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
a
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
a
0.000001
0.001
1
1000
1000000
3a
1
a
…
﹣0.001
0
0.001
1
1000
…
3a
…
﹣0.1
0
1
…
专题6.1 平方根与立方根【九大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17272" 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 PAGEREF _Tc17272 \h 1
\l "_Tc19883" 【题型2 平方根性质的运用】 PAGEREF _Tc19883 \h 3
\l "_Tc14364" 【题型3 开平方、开立方的运算】 PAGEREF _Tc14364 \h 4
\l "_Tc24215" 【题型4 利用开平方、开立方解方程】 PAGEREF _Tc24215 \h 6
\l "_Tc30447" 【题型5 算术平方根的概念及非负性】 PAGEREF _Tc30447 \h 8
\l "_Tc4863" 【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 PAGEREF _Tc4863 \h 9
\l "_Tc13874" 【题型7 平方根与立方根综合】 PAGEREF _Tc13874 \h 11
\l "_Tc12897" 【题型8 算术平方根、立方根的应用】 PAGEREF _Tc12897 \h 13
\l "_Tc26792" 【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】 PAGEREF _Tc26792 \h 14
【知识点1 平方根的概念及表示】
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
【知识点2 立方根的概念及性质】
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【题型1 平方根、立方根的概念及表示】
【例1】（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（ ）
A．﹣aB．﹣a2+1C．﹣a2D．﹣a2﹣1
【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．
【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根．
故选：D．
【变式1-1】（2022春•鞍山期末）下列说法正确的是（ ）
A．﹣1是1的平方根B．﹣1是-1的平方根
C．﹣1是1的立方根D．﹣1没有立方根
【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可．
【解答】解：∵±1都是1的平方根，
∴选项A符合题意；
∵-1没有平方根，
∴选项B符合题意；
∵1的立方根是1，
∴选项C不符合题意；
∵﹣1的立方根是﹣1，
∴选项D符合题意，
故选：A．
【变式1-2】（2022春•应城市期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．−−9=3B．3−27=−3C．318=±12D．38=−2
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．
【解答】解：A．−−9无意义，故A不符合题意．
B．3−27=−3，故B符合题意．
C．318=12，故C不符合题意．
D．38=2，故D不符合题意．
故选：B．
【变式1-3】（2022春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（ ）
A．0只有一个平方根B．若x2＝3，则x＝±3
C．64的立方根是2D．512的立方根是±8
【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：A、0只有一个平方根，故A不符合题意．
B、若x2＝3，则x＝±3，故B不符合题意．
C、64=8，8的立方根是2，故C不符合题意．
D、512的立方根是8，故D符合题意．
故选：D．
【知识点3 平方根的性质】
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
【题型2 平方根性质的运用】
【例2】（2022春•临洮县期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
【分析】正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣11，所以﹣a+2与2a﹣1互为相反数；即﹣a+2+2a﹣1＝0解答可求出a；根据x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值．
【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，
∴﹣a+2+2a﹣1＝0
解得a＝﹣1．
所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．
【变式2-1】（2022•工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b﹣1，求（a+b）2022．
【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2a+3+2b﹣1＝0，
整理得：a+b＝﹣1，
则原式＝1．
【变式2-2】（2022春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．
（1）当b＝8时，m的值是 ﹣4 ；
（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝ 2 ．
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．
【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b
∴m+m+b＝0，
∵b＝8，
∴2m+8＝0
∴m＝﹣4；
（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，
∴（m+b）2＝x，m2＝x，
∵m2x+（m+b）2x＝4，
∴x2+x2＝4，
∴x2＝2，
∵x＞0，
∴x=2．
故答案为：（1）﹣4；（2）2．
【变式2-3】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（ ）
A．8B．0C．8或0D．4或﹣4
【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．
【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，
∴a＝±4．
∵b的一个平方根是2，
∴b＝4．
∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；
当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．
故选：C．
【知识点4 开平方】
求一个数的平方根的运算叫做开平方．
【知识点5 开立方】
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
【题型3 开平方、开立方的运算】
【例3】（2022春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ﹣2020 ，b＝ ﹣2020 ．
【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．
【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，
∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，
∴a＝﹣2020；
又∵n的平方根是2020和b，
∴b＝﹣2020．
故答案为：﹣2020，﹣2020．
【变式3-1】（2022春•绥棱县期末）已知x、y为实数，且满足1+x+1−y=0，那么x2022﹣y2022＝ 0 ．
【分析】根据1+x+1−y=0，且1+x与1−y均大于等于0，以此解出x、y值进而计算出结果．
【解答】解：∵1+x+1−y=0，且1+x与1−y均≥0，
∴1+x＝0，1﹣y＝0，
得x＝﹣1，y＝1，
x2022﹣y2022＝（﹣1）2022﹣12022＝1﹣1＝0，
故答案为：0．
【变式3-2】（2022春•五常市期末）1106的平方根是 ±11000 ，﹣27的立方根是 ﹣3 ．
【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：1106的平方根为±1106=±1103=±11000；
﹣27的立方根为3−27=−3，
故答案为：±11000，﹣3．
【变式3-3】（2022春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．22B．2C．2D．±2
【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．
【解答】解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是2，
即y=2．
故选：C．
【题型4 利用开平方、开立方解方程】
【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x的值：
（1）4x2﹣9＝0；
（2）8（x+1）3＝125．
【分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；
（2）把二次项系数化为1，开立方求出x．
【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，
4x2＝9，
x2=94，
x1=32，x2=−32；
（2）8（x+1）3＝125，
（x+1）3=1258，
x+1=52，
x＝1.5．
【变式4-1】（2022春•阆中市期中）（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．
（2）已知（x+1）3+27＝0，求x的值．
【分析】（1）根据题意可化为（x﹣3）2＝16，根据平方根的定义可得x﹣3=±16，计算即可得出答案；
（2）根据题意可化为（x+1）3＝﹣27，根据立方根的定义可得x+1=3−27，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）4（x﹣3）2＝64，
（x﹣3）2＝16，
x﹣3=±16，
x﹣3＝±4，
x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，
x＝7或x＝﹣1；
（2）（x+1）3+27＝0，
（x+1）3＝﹣27，
x+1=3−27，
x+1＝﹣3，
x＝﹣4．
【变式4-2】（2022春•安陆市期中）求x的值：（1）2x2＝50；
（2）（x+1）3+3=−38．
【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义就求出答案；
（2）根据等式的性质以及立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）2x2＝50，
两边都除以2得，x2＝25，
根据平方根的定义得，x＝±5；
（2）（x+1）3+3=−38，
移项得，（x+1）3=−38−3，
合并同类项得，（x+1）3=−278，
根据立方根的定义得，x+1=−32，
解得x=−52．
【变式4-3】（2017秋•金牛区校级月考）解方程：若（x﹣1）2﹣1＝8，则x＝ ﹣2或4 ；若x3−827=0，则x＝ 23 ．
【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出x的值；
（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．
【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣1＝8，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
x＝﹣2或4；
（2）x3−827=0，
x3=827，
x=23．
故答案为：﹣2或4；23．
【知识点6 算术平方根的概念】
正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．
【知识点7 算术平方根的性质】
①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.
【题型5 算术平方根的概念及非负性】
【例5】（2022春•饶平县校级期末）(x2+4)2的算术平方根是（ ）
A．（x2+4）4B．（x2+4）2C．x2+4D．x2+4
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．我们把正的平方根叫a的算术平方根，由此即可求出(x2+4)2的算术平方根．
【解答】解：∵(x2+4)2=x2+4，
∴(x2+4)2的算术平方根是x2+4．
故选：D．
【变式5-1】（2022春•巴彦县期末）若x﹣5有算术平方根，则x满足的条件是 x≥5 ．
【分析】根据非负数有平方根列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
【变式5-2】（2022春•宁县期末）若7−x为整数，x为正整数，则x的值为 3或6或7 ．
【分析】根据算术平方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，7﹣x≥0．
∴x≤7．
∵x为正整数，
∴x可能为1、2、3、4、5、6、7．
∵7−x为整数，
∴x＝3或6或7．
故答案为：3或6或7．
【变式5-3】（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，(−9)×(−4)=6，(−9)×(−1)=3，(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当−3m=12时，②当−12m=12时，分别计算即可．
【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵(−18)×(−8)=12，(−18)×(−2)=6，(−8)×(−2)=4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵(−3)×(−12)=6，
∴分两种情况讨论：
①当−3m=12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当−12m=12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
【题型6 开方运算中的小数点移动规律】
【例6】（2022春•遵义期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为
（注：表中部分数值为近似值）（ ）
A．m＝0.025，n≈7.91B．m＝2.5，n≈7.91
C．m≈7.91，n＝2.5D．m＝2.5，n≈0.791
【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，0.0625=0.25，0.625≈0.791，6.25=m，62.5=n．
∵6.25=0.0625×100=0.0625×10=0.25×10＝2.5，
62.5=0.625×100=0.625×10≈0.791×10≈7.91，
∴m＝2.5，n≈7.91．
故选：B．
【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表：
（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．
被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 右 移动 1 位；
（3）根据你发现的规律填空：
①已知33=1.442，则33000= 14.42 ；
②已知30.000456=0.07696，则3456= 7.696 ．
【分析】（1）开立方运算，然后填表即可；
（2）根据表格信息，可得答案；
（3）根据（2）的规律求解即可．
【解答】解：（1）如表格所示；
（2）被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位；
（3）①已知33=1.442，则33000=14.42；
②已知30.000456=0.07696，则 3456=7.696；
【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）已知25.36≈5.03587，253.6≈15.92482，则253600≈ 503.587 （结果保留3位小数）．
【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．
【解答】解：25.36≈5.03587，
253600
=25.36×104，
=25.36×104，
＝5.03587×100，
＝503.587．
故答案为：503.587．
【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：
（1）被开方数a的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．
（2）已知：3a=−50，30.125=0.5，你能求出a的值吗？
【分析】（1）首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其中的规律即可；
（2）依据规律进行计算即可．
【解答】解：填表结果为0.1，10；
（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点向左（或向右）移动1位；
（2）能求出a的值；
∵30.125=0.5，
∴3−0.125=−0.5，
由﹣0.5和﹣50，小数点向右移动了2位，则﹣0.125的小数点向右移动6位，
∴a＝﹣125 000
【题型7 平方根与立方根综合】
【例7】（2022春•海珠区校级期中）一个正数m的两个平方根分别为1﹣3a和a+5，则这个正数m的立方根是 4 ．
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程求出a，再求出平方根，然后根据平方根的平方求出m，最后求m的立方根．
【解答】解：根据题意，得：（1﹣3a）+（a+5）＝0，
1﹣3a+a+5＝0，
﹣3a+a＝﹣1﹣5，
﹣2a＝﹣6，
a＝3．
∴a+5＝3+5＝8，
∴m＝82＝64，
∴64的立方根为4．
故答案为：4．
【变式7-1】（2022春•海珠区期末）若实数5x+19的立方根是4，则实数3x+9的平方根是 ±6 ．
【分析】根据立方根的定义列出方程求出x，然后求出3x+9的值，最后求它的平方根即可．
【解答】解：∵5x+19的立方根是4，
∴5x+19＝43＝64，
∴x＝9，
∴3x+9＝3×9+9＝36，
∴36的平方根为±6，
故答案为：±6．
【变式7-2】（2022春•兴仁市月考）已知A=m−2n−m+3是n﹣m+3的算术平方根，B=m−2n+3m+2n是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．
【分析】首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，进而利用平方根的定义求出答案．
【解答】解：由题意得：m﹣2＝2，m﹣2n+3＝3，
解得：m＝4，n＝2，
则A=2−4+3=1，B=34+2×2=2，
∴B﹣A＝2﹣1＝1，
则B﹣A的平方根为：±1．
【变式7-3】（2022•兴化市月考）若a、b满足a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b的值为 5或﹣1 ．
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a＝±3，b＝﹣2，
当a＝3时，
原式＝3﹣（﹣2）
＝3+2
＝5．
当a＝﹣3时，
原式＝﹣3﹣（﹣2）
＝﹣1．
故答案为：5或﹣1．
【题型8 算术平方根、立方根的应用】
【例8】（2022•桥西区校级期中）解答下列应用题：
（1）某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？
（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？
【分析】（1）先求出一块地砖的面积，再求出边长即可；
（2）先求出第一个正方体水箱的体积，再根据第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，求出第二个水箱的棱长，进而求出表面积即可．
【解答】解：（1）每块地砖的面积为：17.6÷110＝0.16（m2），
所以正方形地砖的边长为：0.16=0.4（m）．
答：每块地砖的边长是0.4m；
（2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为：603＝216000（cm3），
所以第二个正方体水箱的体积为：3×216000+81000＝729000（cm3），
所以第二个正方体水箱的棱长为：3729000=90（cm），
所以需要铁皮90×90×6＝48600cm2＝4.86m2．
【变式8-1】（2022秋•沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为11.52m3，则此水池底面正方形的边长为（ ）
A．2.4mB．4.2mC．9.25mD．13.52m
【分析】设水池底面正方形的边长为xm，由题意得2x2＝11.52，再根据算术平方根的定义求得x＝2.4．
【解答】解：设水池底面正方形的边长为xm．
由题意得，2x2＝11.52．
∴x＝2.4．
∴此水池底面正方形的边长为2.4 m．
故选：A．
【变式8-2】（2022•南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25m3，且长方体的高是底面边长的2倍．
（1）求长方体的底面边长；
（2）求长方体的表面积．
【分析】（1）设出地面边长，然后根据高是底面边长的2倍表示出高，利用正方体的体积公式求得底边长即可；
（2）利用其表面积的计算方法求得其表面积即可．
【解答】解：（1）设底面边长为xm，则高为2x（m），
则x2•2x＝0.25
解得：x＝0.5，
故长方形的底面边长为0.5m；
（2）S全＝2S底+4S侧
＝2×0.25+4×0.5
＝2.5m2
【变式8-3】（2022春•奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．
【分析】根据长方形的面积，可得一个元二次方程，根据解方程，可得长方形的边长，根据长方形的边长与正方形的边长的比，可得答案．
【解答】解：能做到，理由如下
设桌面的长和宽分别为4x（cm）和3x（cm），根据题意得，
4x×3x＝588．
12x2＝588
x2＝49，x＞0，
x=49=7
∴4x＝4×7＝28 （cm） 3x＝3×7＝21（cm）
∵面积为900cm2的正方形木板的边长为30cm，28cm＜30cm
∴能够裁出一个长方形面积为588 cm2并且长宽之比为4：3的桌面，
答：桌面长宽分别为28cm和21cm．
【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】
【例1】（2022春•崇川区校级期中）将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是 1+2 ．
【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是2，
∵前11排共有12×11×（11+1）＝66（个）．
∴（12，3）表示第12排从左向右第3个数是第69个数，每4个数一个循环，
∴69÷4＝17……1，
∴（12，3）表示的数是1，
两数之和是1+2．
故答案为：1+2．
【变式1-1】（2022春•青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①13；②13+23；③13+23+33；④13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律写出下面式子的值：13+23+33+⋯+263= 351 ．
【分析】先计算出前4个式子的值，据此得出13+23+33+⋯⋯+n3=1+2+3+……+n，据此求解可得．
【解答】解：∵①13=1；
②13+23=3＝1+2；
③13+23+33=6＝1+2+3；
④13+23+33+43=10＝1+2+3+4，
……
∴13+23+33+⋯+263=1+2+3+……+26=(1+26)×262=351，
故答案为：351．
【变式1-2】（2022春•孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定359319是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定359319个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定359319十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 28 ．
【分析】根据题目提供的方法，类推确定21952的立方根．
【解答】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定321952是两位数；（2）由21952个位上的数是2，确定321952个位上的数是8；（3）划去21952后面的三位952得到21，而23＝8，33＝27，由此确定321952十位上的数是2，所以321952=28，
故答案为：28．
【变式1-3】（2022春•越秀区校级期中）将一组数3，6，9，12，⋯，180，按下面的方式进行排列：
3，6，9，12，15，1821，24，27，30，33，36⋯⋯
若12的位置记为（1，4），24的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的位置记为 （8，6） ．
【分析】观察数据的规律为3的倍数的算术平方根，6个为一排，共10列，其中最大的有理数应该为12，据此规律解答即可．
【解答】解：∵这组数据是3的倍数的算术平方根，其中最大的有理数是144=12，
又144在第八行第六列，
∴这组数据中最大的有理数144的位置记为（8，6），
故答案为：（8，6）．a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
a
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
a
0.000001
0.001
1
1000
1000000
3a
0.01
0.1
1
10
100
a
…
﹣0.001
0
0.001
1
1000
…
3a
…
﹣0.1
0
1
…
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17272" 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 PAGEREF _Tc17272 \h 1
\l "_Tc19883" 【题型2 平方根性质的运用】 PAGEREF _Tc19883 \h 2
\l "_Tc14364" 【题型3 开平方、开立方的运算】 PAGEREF _Tc14364 \h 3
\l "_Tc24215" 【题型4 利用开平方、开立方解方程】 PAGEREF _Tc24215 \h 3
\l "_Tc30447" 【题型5 算术平方根的概念及非负性】 PAGEREF _Tc30447 \h 4
\l "_Tc4863" 【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 PAGEREF _Tc4863 \h 5
\l "_Tc13874" 【题型7 平方根与立方根综合】 PAGEREF _Tc13874 \h 6
\l "_Tc12897" 【题型8 算术平方根、立方根的应用】 PAGEREF _Tc12897 \h 6
\l "_Tc26792" 【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】 PAGEREF _Tc26792 \h 7
【知识点1 平方根的概念及表示】
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
【知识点2 立方根的概念及性质】
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【题型1 平方根、立方根的概念及表示】
【例1】（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（ ）
A．﹣aB．﹣a2+1C．﹣a2D．﹣a2﹣1
【变式1-1】（2022春•鞍山期末）下列说法正确的是（ ）
A．﹣1是1的平方根B．﹣1是-1的平方根
C．﹣1是1的立方根D．﹣1没有立方根
【变式1-2】（2022春•应城市期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．−−9=3B．3−27=−3C．318=±12D．38=−2
【变式1-3】（2022春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（ ）
A．0只有一个平方根B．若x2＝3，则x＝±3
C．64的立方根是2D．512的立方根是±8
【知识点3 平方根的性质】
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
【题型2 平方根性质的运用】
【例2】（2022春•临洮县期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
【变式2-1】（2022•工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b﹣1，求（a+b）2022．
【变式2-2】（2022春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．
（1）当b＝8时，m的值是 ；
（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝ ．
【变式2-3】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（ ）
A．8B．0C．8或0D．4或﹣4
【知识点4 开平方】
求一个数的平方根的运算叫做开平方．
【知识点5 开立方】
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
【题型3 开平方、开立方的运算】
【例3】（2022春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ，b＝ ．
【变式3-1】（2022春•绥棱县期末）已知x、y为实数，且满足1+x+1−y=0，那么x2022﹣y2022＝ ．
【变式3-2】（2022春•五常市期末）1106的平方根是 ，﹣27的立方根是 ．
【变式3-3】（2022春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．22B．2C．2D．±2
【题型4 利用开平方、开立方解方程】
【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x的值：
（1）4x2﹣9＝0；
（2）8（x+1）3＝125．
【变式4-1】（2022春•阆中市期中）（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．
（2）已知（x+1）3+27＝0，求x的值．
【变式4-2】（2022春•安陆市期中）求x的值：（1）2x2＝50；
（2）（x+1）3+3=−38．
【变式4-3】（2017秋•金牛区校级月考）解方程：若（x﹣1）2﹣1＝8，则x＝ ；若x3−827=0，则x＝ ．
【知识点6 算术平方根的概念】
正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．
【知识点7 算术平方根的性质】
①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.
【题型5 算术平方根的概念及非负性】
【例5】（2022春•饶平县校级期末）(x2+4)2的算术平方根是（ ）
A．（x2+4）4B．（x2+4）2C．x2+4D．x2+4
【变式5-1】（2022春•巴彦县期末）若x﹣5有算术平方根，则x满足的条件是 ．
【变式5-2】（2022春•宁县期末）若7−x为整数，x为正整数，则x的值为 ．
【变式5-3】（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，(−9)×(−4)=6，(−9)×(−1)=3，(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【题型6 开方运算中的小数点移动规律】
【例6】（2022春•遵义期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为
（注：表中部分数值为近似值）（ ）
A．m＝0.025，n≈7.91B．m＝2.5，n≈7.91
C．m≈7.91，n＝2.5D．m＝2.5，n≈0.791
【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表：
（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．
被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 移动 位；
（3）根据你发现的规律填空：
①已知33=1.442，则33000= ；
②已知30.000456=0.07696，则3456= ．
【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）已知25.36≈5.03587，253.6≈15.92482，则253600≈ （结果保留3位小数）．
【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：
（1）被开方数a的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．
（2）已知：3a=−50，30.125=0.5，你能求出a的值吗？
【题型7 平方根与立方根综合】
【例7】（2022春•海珠区校级期中）一个正数m的两个平方根分别为1﹣3a和a+5，则这个正数m的立方根是 ．
【变式7-1】（2022春•海珠区期末）若实数5x+19的立方根是4，则实数3x+9的平方根是 ．
【变式7-2】（2022春•兴仁市月考）已知A=m−2n−m+3是n﹣m+3的算术平方根，B=m−2n+3m+2n是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．
【变式7-3】（2022•兴化市月考）若a、b满足a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b的值为 ．
【题型8 算术平方根、立方根的应用】
【例8】（2022•桥西区校级期中）解答下列应用题：
（1）某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？
（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？
【变式8-1】（2022秋•沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为11.52m3，则此水池底面正方形的边长为（ ）
A．2.4mB．4.2mC．9.25mD．13.52m
【变式8-2】（2022•南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25m3，且长方体的高是底面边长的2倍．
（1）求长方体的底面边长；
（2）求长方体的表面积．
【变式8-3】（2022春•奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．
【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】
【例1】（2022春•崇川区校级期中）将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是 ．
【变式1-1】（2022春•青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①13；②13+23；③13+23+33；④13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律写出下面式子的值：13+23+33+⋯+263= ．
【变式1-2】（2022春•孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定359319是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定359319个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定359319十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 ．
【变式1-3】（2022春•越秀区校级期中）将一组数3，6，9，12，⋯，180，按下面的方式进行排列：
3，6，9，12，15，1821，24，27，30，33，36⋯⋯
若12的位置记为（1，4），24的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的位置记为 ．a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
a
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
a
0.000001
0.001
1
1000
1000000
3a
1
a
…
﹣0.001
0
0.001
1
1000
…
3a
…
﹣0.1
0
1
…
专题6.1 平方根与立方根【九大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17272" 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 PAGEREF _Tc17272 \h 1
\l "_Tc19883" 【题型2 平方根性质的运用】 PAGEREF _Tc19883 \h 3
\l "_Tc14364" 【题型3 开平方、开立方的运算】 PAGEREF _Tc14364 \h 4
\l "_Tc24215" 【题型4 利用开平方、开立方解方程】 PAGEREF _Tc24215 \h 6
\l "_Tc30447" 【题型5 算术平方根的概念及非负性】 PAGEREF _Tc30447 \h 8
\l "_Tc4863" 【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 PAGEREF _Tc4863 \h 9
\l "_Tc13874" 【题型7 平方根与立方根综合】 PAGEREF _Tc13874 \h 11
\l "_Tc12897" 【题型8 算术平方根、立方根的应用】 PAGEREF _Tc12897 \h 13
\l "_Tc26792" 【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】 PAGEREF _Tc26792 \h 14
【知识点1 平方根的概念及表示】
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
【知识点2 立方根的概念及性质】
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【题型1 平方根、立方根的概念及表示】
【例1】（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（ ）
A．﹣aB．﹣a2+1C．﹣a2D．﹣a2﹣1
【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．
【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根．
故选：D．
【变式1-1】（2022春•鞍山期末）下列说法正确的是（ ）
A．﹣1是1的平方根B．﹣1是-1的平方根
C．﹣1是1的立方根D．﹣1没有立方根
【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可．
【解答】解：∵±1都是1的平方根，
∴选项A符合题意；
∵-1没有平方根，
∴选项B符合题意；
∵1的立方根是1，
∴选项C不符合题意；
∵﹣1的立方根是﹣1，
∴选项D符合题意，
故选：A．
【变式1-2】（2022春•应城市期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．−−9=3B．3−27=−3C．318=±12D．38=−2
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．
【解答】解：A．−−9无意义，故A不符合题意．
B．3−27=−3，故B符合题意．
C．318=12，故C不符合题意．
D．38=2，故D不符合题意．
故选：B．
【变式1-3】（2022春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（ ）
A．0只有一个平方根B．若x2＝3，则x＝±3
C．64的立方根是2D．512的立方根是±8
【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：A、0只有一个平方根，故A不符合题意．
B、若x2＝3，则x＝±3，故B不符合题意．
C、64=8，8的立方根是2，故C不符合题意．
D、512的立方根是8，故D符合题意．
故选：D．
【知识点3 平方根的性质】
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
【题型2 平方根性质的运用】
【例2】（2022春•临洮县期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
【分析】正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣11，所以﹣a+2与2a﹣1互为相反数；即﹣a+2+2a﹣1＝0解答可求出a；根据x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值．
【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，
∴﹣a+2+2a﹣1＝0
解得a＝﹣1．
所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．
【变式2-1】（2022•工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b﹣1，求（a+b）2022．
【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2a+3+2b﹣1＝0，
整理得：a+b＝﹣1，
则原式＝1．
【变式2-2】（2022春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．
（1）当b＝8时，m的值是 ﹣4 ；
（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝ 2 ．
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．
【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b
∴m+m+b＝0，
∵b＝8，
∴2m+8＝0
∴m＝﹣4；
（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，
∴（m+b）2＝x，m2＝x，
∵m2x+（m+b）2x＝4，
∴x2+x2＝4，
∴x2＝2，
∵x＞0，
∴x=2．
故答案为：（1）﹣4；（2）2．
【变式2-3】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（ ）
A．8B．0C．8或0D．4或﹣4
【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．
【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，
∴a＝±4．
∵b的一个平方根是2，
∴b＝4．
∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；
当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．
故选：C．
【知识点4 开平方】
求一个数的平方根的运算叫做开平方．
【知识点5 开立方】
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
【题型3 开平方、开立方的运算】
【例3】（2022春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ﹣2020 ，b＝ ﹣2020 ．
【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．
【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，
∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，
∴a＝﹣2020；
又∵n的平方根是2020和b，
∴b＝﹣2020．
故答案为：﹣2020，﹣2020．
【变式3-1】（2022春•绥棱县期末）已知x、y为实数，且满足1+x+1−y=0，那么x2022﹣y2022＝ 0 ．
【分析】根据1+x+1−y=0，且1+x与1−y均大于等于0，以此解出x、y值进而计算出结果．
【解答】解：∵1+x+1−y=0，且1+x与1−y均≥0，
∴1+x＝0，1﹣y＝0，
得x＝﹣1，y＝1，
x2022﹣y2022＝（﹣1）2022﹣12022＝1﹣1＝0，
故答案为：0．
【变式3-2】（2022春•五常市期末）1106的平方根是 ±11000 ，﹣27的立方根是 ﹣3 ．
【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：1106的平方根为±1106=±1103=±11000；
﹣27的立方根为3−27=−3，
故答案为：±11000，﹣3．
【变式3-3】（2022春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．22B．2C．2D．±2
【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．
【解答】解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是2，
即y=2．
故选：C．
【题型4 利用开平方、开立方解方程】
【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x的值：
（1）4x2﹣9＝0；
（2）8（x+1）3＝125．
【分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；
（2）把二次项系数化为1，开立方求出x．
【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，
4x2＝9，
x2=94，
x1=32，x2=−32；
（2）8（x+1）3＝125，
（x+1）3=1258，
x+1=52，
x＝1.5．
【变式4-1】（2022春•阆中市期中）（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．
（2）已知（x+1）3+27＝0，求x的值．
【分析】（1）根据题意可化为（x﹣3）2＝16，根据平方根的定义可得x﹣3=±16，计算即可得出答案；
（2）根据题意可化为（x+1）3＝﹣27，根据立方根的定义可得x+1=3−27，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）4（x﹣3）2＝64，
（x﹣3）2＝16，
x﹣3=±16，
x﹣3＝±4，
x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，
x＝7或x＝﹣1；
（2）（x+1）3+27＝0，
（x+1）3＝﹣27，
x+1=3−27，
x+1＝﹣3，
x＝﹣4．
【变式4-2】（2022春•安陆市期中）求x的值：（1）2x2＝50；
（2）（x+1）3+3=−38．
【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义就求出答案；
（2）根据等式的性质以及立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）2x2＝50，
两边都除以2得，x2＝25，
根据平方根的定义得，x＝±5；
（2）（x+1）3+3=−38，
移项得，（x+1）3=−38−3，
合并同类项得，（x+1）3=−278，
根据立方根的定义得，x+1=−32，
解得x=−52．
【变式4-3】（2017秋•金牛区校级月考）解方程：若（x﹣1）2﹣1＝8，则x＝ ﹣2或4 ；若x3−827=0，则x＝ 23 ．
【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出x的值；
（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．
【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣1＝8，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
x＝﹣2或4；
（2）x3−827=0，
x3=827，
x=23．
故答案为：﹣2或4；23．
【知识点6 算术平方根的概念】
正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．
【知识点7 算术平方根的性质】
①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.
【题型5 算术平方根的概念及非负性】
【例5】（2022春•饶平县校级期末）(x2+4)2的算术平方根是（ ）
A．（x2+4）4B．（x2+4）2C．x2+4D．x2+4
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．我们把正的平方根叫a的算术平方根，由此即可求出(x2+4)2的算术平方根．
【解答】解：∵(x2+4)2=x2+4，
∴(x2+4)2的算术平方根是x2+4．
故选：D．
【变式5-1】（2022春•巴彦县期末）若x﹣5有算术平方根，则x满足的条件是 x≥5 ．
【分析】根据非负数有平方根列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
【变式5-2】（2022春•宁县期末）若7−x为整数，x为正整数，则x的值为 3或6或7 ．
【分析】根据算术平方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，7﹣x≥0．
∴x≤7．
∵x为正整数，
∴x可能为1、2、3、4、5、6、7．
∵7−x为整数，
∴x＝3或6或7．
故答案为：3或6或7．
【变式5-3】（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，(−9)×(−4)=6，(−9)×(−1)=3，(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当−3m=12时，②当−12m=12时，分别计算即可．
【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵(−18)×(−8)=12，(−18)×(−2)=6，(−8)×(−2)=4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵(−3)×(−12)=6，
∴分两种情况讨论：
①当−3m=12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当−12m=12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
【题型6 开方运算中的小数点移动规律】
【例6】（2022春•遵义期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为
（注：表中部分数值为近似值）（ ）
A．m＝0.025，n≈7.91B．m＝2.5，n≈7.91
C．m≈7.91，n＝2.5D．m＝2.5，n≈0.791
【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，0.0625=0.25，0.625≈0.791，6.25=m，62.5=n．
∵6.25=0.0625×100=0.0625×10=0.25×10＝2.5，
62.5=0.625×100=0.625×10≈0.791×10≈7.91，
∴m＝2.5，n≈7.91．
故选：B．
【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表：
（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．
被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 右 移动 1 位；
（3）根据你发现的规律填空：
①已知33=1.442，则33000= 14.42 ；
②已知30.000456=0.07696，则3456= 7.696 ．
【分析】（1）开立方运算，然后填表即可；
（2）根据表格信息，可得答案；
（3）根据（2）的规律求解即可．
【解答】解：（1）如表格所示；
（2）被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位；
（3）①已知33=1.442，则33000=14.42；
②已知30.000456=0.07696，则 3456=7.696；
【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）已知25.36≈5.03587，253.6≈15.92482，则253600≈ 503.587 （结果保留3位小数）．
【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可．
【解答】解：25.36≈5.03587，
253600
=25.36×104，
=25.36×104，
＝5.03587×100，
＝503.587．
故答案为：503.587．
【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：
（1）被开方数a的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．
（2）已知：3a=−50，30.125=0.5，你能求出a的值吗？
【分析】（1）首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其中的规律即可；
（2）依据规律进行计算即可．
【解答】解：填表结果为0.1，10；
（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点向左（或向右）移动1位；
（2）能求出a的值；
∵30.125=0.5，
∴3−0.125=−0.5，
由﹣0.5和﹣50，小数点向右移动了2位，则﹣0.125的小数点向右移动6位，
∴a＝﹣125 000
【题型7 平方根与立方根综合】
【例7】（2022春•海珠区校级期中）一个正数m的两个平方根分别为1﹣3a和a+5，则这个正数m的立方根是 4 ．
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程求出a，再求出平方根，然后根据平方根的平方求出m，最后求m的立方根．
【解答】解：根据题意，得：（1﹣3a）+（a+5）＝0，
1﹣3a+a+5＝0，
﹣3a+a＝﹣1﹣5，
﹣2a＝﹣6，
a＝3．
∴a+5＝3+5＝8，
∴m＝82＝64，
∴64的立方根为4．
故答案为：4．
【变式7-1】（2022春•海珠区期末）若实数5x+19的立方根是4，则实数3x+9的平方根是 ±6 ．
【分析】根据立方根的定义列出方程求出x，然后求出3x+9的值，最后求它的平方根即可．
【解答】解：∵5x+19的立方根是4，
∴5x+19＝43＝64，
∴x＝9，
∴3x+9＝3×9+9＝36，
∴36的平方根为±6，
故答案为：±6．
【变式7-2】（2022春•兴仁市月考）已知A=m−2n−m+3是n﹣m+3的算术平方根，B=m−2n+3m+2n是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．
【分析】首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，进而利用平方根的定义求出答案．
【解答】解：由题意得：m﹣2＝2，m﹣2n+3＝3，
解得：m＝4，n＝2，
则A=2−4+3=1，B=34+2×2=2，
∴B﹣A＝2﹣1＝1，
则B﹣A的平方根为：±1．
【变式7-3】（2022•兴化市月考）若a、b满足a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b的值为 5或﹣1 ．
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a＝±3，b＝﹣2，
当a＝3时，
原式＝3﹣（﹣2）
＝3+2
＝5．
当a＝﹣3时，
原式＝﹣3﹣（﹣2）
＝﹣1．
故答案为：5或﹣1．
【题型8 算术平方根、立方根的应用】
【例8】（2022•桥西区校级期中）解答下列应用题：
（1）某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？
（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？
【分析】（1）先求出一块地砖的面积，再求出边长即可；
（2）先求出第一个正方体水箱的体积，再根据第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，求出第二个水箱的棱长，进而求出表面积即可．
【解答】解：（1）每块地砖的面积为：17.6÷110＝0.16（m2），
所以正方形地砖的边长为：0.16=0.4（m）．
答：每块地砖的边长是0.4m；
（2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为：603＝216000（cm3），
所以第二个正方体水箱的体积为：3×216000+81000＝729000（cm3），
所以第二个正方体水箱的棱长为：3729000=90（cm），
所以需要铁皮90×90×6＝48600cm2＝4.86m2．
【变式8-1】（2022秋•沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为11.52m3，则此水池底面正方形的边长为（ ）
A．2.4mB．4.2mC．9.25mD．13.52m
【分析】设水池底面正方形的边长为xm，由题意得2x2＝11.52，再根据算术平方根的定义求得x＝2.4．
【解答】解：设水池底面正方形的边长为xm．
由题意得，2x2＝11.52．
∴x＝2.4．
∴此水池底面正方形的边长为2.4 m．
故选：A．
【变式8-2】（2022•南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25m3，且长方体的高是底面边长的2倍．
（1）求长方体的底面边长；
（2）求长方体的表面积．
【分析】（1）设出地面边长，然后根据高是底面边长的2倍表示出高，利用正方体的体积公式求得底边长即可；
（2）利用其表面积的计算方法求得其表面积即可．
【解答】解：（1）设底面边长为xm，则高为2x（m），
则x2•2x＝0.25
解得：x＝0.5，
故长方形的底面边长为0.5m；
（2）S全＝2S底+4S侧
＝2×0.25+4×0.5
＝2.5m2
【变式8-3】（2022春•奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．
【分析】根据长方形的面积，可得一个元二次方程，根据解方程，可得长方形的边长，根据长方形的边长与正方形的边长的比，可得答案．
【解答】解：能做到，理由如下
设桌面的长和宽分别为4x（cm）和3x（cm），根据题意得，
4x×3x＝588．
12x2＝588
x2＝49，x＞0，
x=49=7
∴4x＝4×7＝28 （cm） 3x＝3×7＝21（cm）
∵面积为900cm2的正方形木板的边长为30cm，28cm＜30cm
∴能够裁出一个长方形面积为588 cm2并且长宽之比为4：3的桌面，
答：桌面长宽分别为28cm和21cm．
【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】
【例1】（2022春•崇川区校级期中）将1、2、3、6按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是 1+2 ．
【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是2，
∵前11排共有12×11×（11+1）＝66（个）．
∴（12，3）表示第12排从左向右第3个数是第69个数，每4个数一个循环，
∴69÷4＝17……1，
∴（12，3）表示的数是1，
两数之和是1+2．
故答案为：1+2．
【变式1-1】（2022春•青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①13；②13+23；③13+23+33；④13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律写出下面式子的值：13+23+33+⋯+263= 351 ．
【分析】先计算出前4个式子的值，据此得出13+23+33+⋯⋯+n3=1+2+3+……+n，据此求解可得．
【解答】解：∵①13=1；
②13+23=3＝1+2；
③13+23+33=6＝1+2+3；
④13+23+33+43=10＝1+2+3+4，
……
∴13+23+33+⋯+263=1+2+3+……+26=(1+26)×262=351，
故答案为：351．
【变式1-2】（2022春•孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定359319是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定359319个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定359319十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 28 ．
【分析】根据题目提供的方法，类推确定21952的立方根．
【解答】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定321952是两位数；（2）由21952个位上的数是2，确定321952个位上的数是8；（3）划去21952后面的三位952得到21，而23＝8，33＝27，由此确定321952十位上的数是2，所以321952=28，
故答案为：28．
【变式1-3】（2022春•越秀区校级期中）将一组数3，6，9，12，⋯，180，按下面的方式进行排列：
3，6，9，12，15，1821，24，27，30，33，36⋯⋯
若12的位置记为（1，4），24的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的位置记为 （8，6） ．
【分析】观察数据的规律为3的倍数的算术平方根，6个为一排，共10列，其中最大的有理数应该为12，据此规律解答即可．
【解答】解：∵这组数据是3的倍数的算术平方根，其中最大的有理数是144=12，
又144在第八行第六列，
∴这组数据中最大的有理数144的位置记为（8，6），
故答案为：（8，6）．a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
a
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
a
0.000001
0.001
1
1000
1000000
3a
0.01
0.1
1
10
100
a
…
﹣0.001
0
0.001
1
1000
…
3a
…
﹣0.1
0
1
…
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