专题13 A字型和反A字型相似模型（教师版）-中考数学几何模型重点突破讲练

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【模型1】A字型相似模型
如图13-1，，要证∽，只要知道即可。
【模型2】反A字型相似模型
如图13-2，，要证∽，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道或。
【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解析】解：∵AE=2，EC=3，
∴AC=AE+EC=5，
∵DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故选：A．
【例2】如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【答案】
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，
即可得出答案；
【解析】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
因为．
所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以．
所以，
所以．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为M为AD的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以，所以．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，且，
所以．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．
（1）EF与AC的数量关系为__________．
（2）与的面积比为___________．
【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF与AC的数量关系为；（2）与的面积比为．
【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据平行线的判定即可得证；
定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得；
（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得，设，再根据三角形的面积公式分别求出与的面积，由此即可得出答案．
【解析】定理证明：点D、E分别是AB、AC的中点，
，
在和中，，
，
，
，且；
定理应用：（1），
，
在和中，，
，
，
即；
（2）如图，过点O作于点M，作于点N，
四边形ABCD是矩形，
，即，
，
点O是AC的中点，
、是的两条中位线，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
即与的面积比．
一、单选题
1．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解析】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4对，
故选：C．
2．如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质得出，代入求出即可．
【解析】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，
∴，
∵△ABC的面积为9，
∴，
∴S△ADE＝1，
故选：A．
3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A．B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】试题解析：由题意得：DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∵∠C=∠DEA，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB,
∴=,
∵A′为CE的中点，
∴C A′=E A′，
∴C A′=E A′=AE，
∴==，
∴DE=1.
故选D.
二、填空题
4．如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________
【答案】108
【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．
【解析】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，
∵DE//BC，IG//AB，FH//AC，
∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，
△FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC，
∵，
∴FP：IE：PH=1：2：3，
∴AI：IE：EC=1：2：3，
∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，
S△ABC：S△FDP=36：1，
∴S△ABC=36×3=108．
故答案为:108．
5．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为________．
【答案】5
【分析】由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△DAE：S△CAB=，然后把三角形面积代入计算即可．
【解析】解：∵∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAB，
∴△DAE∽△CAB，
∴S△DAE：S△CAB=，
∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，
∴△ABC的面积=9+16=25，
∴，
∴AC=5．
故答案为5．
三、解答题
6．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
【答案】（1），；（2）t＝3或
【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；
（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．
【解析】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面积是△ABD面积的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝2，
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
则有，即，
解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
则有，即，
解得t＝，
答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
7．在中，，D为上一点，过D作DEBC交于点E，连接．设，求的取值范围．
【答案】
【分析】作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，首先结合相似三角形的判定与性质推出和的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．
【解析】解：如图所示，作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵点D在AB上，，
∴，，
∴抛物线的开口向下，且当时，取得最大值为，
当和时，均有，
综上分析，的取值范围是．
8．中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?
【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或
【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；
（2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；
（3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解析】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm，
∵AC=20cm，
∴CP=（20-4t）cm，
在Rt△CPQ中，
，
即；
∴秒或秒
（2）由题意得，，则，
因此的面积为；
（3）分两种情况：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得．
因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似．
9．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．
（1）求证：DFBE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．
【解析】解：（1）∵DEBC，
∴，
∵，
∴，
∴DFBE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴由（1）可知，，AE=6，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEB．
10．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）判断CD与⊙O的位置关系；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
【答案】（1）CD与⊙O相切；（2）．
【分析】（1）要判断CD与⊙O的位置关系，可连接OD，判断OD与CD能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF=OF-OE，所以要求EF，只需设法分别求出OF和OE的长度即可；由于AB是⊙O的直径，可以判断出OF与BD平行的位置关系，从而利用和，即可分别求出OF和OE的长度．
【解析】（1）CD与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADO+∠BDO=∠DAO+∠B=90°，
∵OF⊥AD，OD=OA，
∴∠AOD=2∠AOF，∠DAO=∠ODA．
∵∠AOD=2∠B，
∴∠ADC=∠B．
∴∠ADC+∠ADO=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．
∴CD与⊙O相切．
（2）设⊙O的半径为r．
在Rt△OCD中，
∵，
∴，
∴．
∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD．
∴且．
由，得，．
∴．
由，得，．
∴．
∴．
11．如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；
（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论．
【解析】解：（1）在△AEF和△ABC中，
∵，，
∴△AEF∽△ABC；
（2）∵△AEF∽△ABC，
∴∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴,，
∴．
12．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OA，由OA=OB，GA=GE得出∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE；再由EF⊥BC，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA，最后得出∠GAO=90°求得答案；
（2）BC为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF∽△BCA，求得EF、BF的长，进一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的长即可．
【解析】（1）连接OA，
∵OA=OB，GA=GE
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABO+∠BEF=90°，
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE=90°，
即AG与⊙O相切．
（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴
∴EF=1.8，BF=2.4，
∴OF=OB-BF=5.2．4=2.6，
∴OE=．
13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或
【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；
（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；
（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．
【解析】解：（1）如图1，
在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，，
∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，
∴,
∴AM＝2CF＝4，
∴BM＝AB﹣AM＝5，
∴，
∴BN＝10；
（2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在，
∴CF＝9﹣2CF，
∴CF＝3，
当点M和B点重合时，
AB＝2CF，
∴CF＝4.5，
∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，
如图2，
当0＜x＜3时，
作EG⊥BC于G，
由（1）知，
EG＝3，AM＝2CF＝2x，
∴BM＝9﹣2x，
由得，，
∴，
∴y＝
＝
＝；
如图3，
当3＜x＜4.5时，
由得，

∴CN＝，
∴y＝
＝；
（3）如图4，
∵，
∴，
∴CG＝CB＝2，
∴GB＝CB﹣CG＝4，
∴BE＝5，
当BM＝BE＝5时，
9﹣2x＝5，
∴x＝2，
如图5，
当EM＝EB＝5时，
作EH⊥AB于H，
∴BM＝2BH＝2EG＝6，
∴9﹣2x＝6，
∴x=，
如图6，
当EM＝BM时，
作MH⊥BE于H，
在Rt△BMH中，BH＝，cs∠MBH＝cs∠BEG＝，
∴BM＝，
∴9﹣2x＝，
∴x＝，
综上所述：x＝2或或．
14．如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：
（1）当为___________时，？
（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.
（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；
（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=，根据平行线分线段成比例定理可得，可得出BE=，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；
（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得，可得PE=6-，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=，可得出BH=，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；
（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
若PQ∥AB，
∴四边形PABQ是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴8-2t=t，
∴t=，
∴当t=时，PQ∥AB；
故答案为：；
（2）如图，过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，
∵∠ADB=90°，
∴BD2=AB2-AD2=100-64=36，即BD=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠QBH，
又∵∠ADB=∠BHQ=90°，
∴△ADB∽△BHQ，
∴，即，
∴，
∵PE∥BD，
∴，即，
∴，
∴y=S四边形APQB-S△BEQ=；
（3）如图：
∵PE∥BD，
∴∠APE=∠ADB，
∵∠A=∠A，
∴△APE∽△ADB，
∴，即，
∴，
∵点E在线段PQ的垂直平分线上，
∴EQ=，
由（2）得，
∴，
∴，
Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，
∴，即t2+2t-4=0，
解得：（舍去），
∴当t=时，点E在PQ的垂直平分线上；
（4）连接FF'交AB于点N，
∵点F关于AB的对称点为F′，
∴∠FEB=∠F′EB，FN⊥EB，
∵点P，E，F′三点共线，PE∥AB，
∴∠F′EB=∠ABD，
∴∠FEB=∠ABD，
∴EF=FB，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPF=∠FQB，
∵DFP=∠BFQ，
∴△DPF∽△BQF，
∴，
∴DF=2BF，
∴2BF+BF=6，
∴BF=2，
∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，
∴△BNF∽△BDA，
∴，
∴，解得：t=，
∴存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线，t的值为．
15．如图，在矩形的边上取一点，连接并延长和的延长线交于点，过点作的垂线与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）当且时，求的长；
（2）求证：；
（3）连接，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据已知条件先求出CE的长，再证明，在Rt△CHE中解三角形可求得EH的长，最后利用勾股定理求CH的长；
（2）证明，进而得出结果；
（3）由（2）得，进而，即，再结合，可得出，进一步得出结果.
【解析】（1）解：∵矩形，，
∴.
而，，
∴，
又∵，，∴，
易得.
∴，∴.
∴.
（2）证明：∵矩形，，
∴，
而，
∴，∴，
∴；
（3）证明：由（2）得，
∴，即，
而，
∴，
∴．