备战2024年高考数学二轮专题考前演练之二次函数与幂函数

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一、选择题
1．设函数f(x)=(12)x2−2mx在区间(1，2)上单调递增，则m的取值范围为（ ）
A．(−∞，−2]B．[−2，−1]C．[1，2]D．[2，+∞)
【答案】D
【解析】【解答】令t=x2-2mx，则
二次函数t=x2-2mx的图象开口向上，对称轴为直线x=m，
外层函数y=12t在R上为减函数，
函数f(x)=(12)x2−2mx在区间(1，2)上单调递增
则内层函数t=x2-2mx在(1， 2)上为减函数，
故m≥2.
故选：D.
【分析】令t=x2-2mx，根据复合函数的单调性可得内层函数t=x2-2mx在(1， 2)上为减函数，结合二次函数的单调性可求出实数m的取值范围.
2．已知函数f(x)=lg12(x2−ax+3a)在[2，+∞)上单调递减，则a取值范围（ ）
A．(−∞，4]B．(−4，4]C．[−4，4]D．(−4，+∞)
【答案】B
【解析】【解答】解：因为函数f(x)=lg12(x2−ax+3a)在[2，+∞)上单调递减 ，则函数y=x2−ax+3a在[2，+∞)上单调递增且y>0恒成立.
即a2≤222−2a+3a>0
解得−40恒成立，根据二次函数的性质列出不等关系组即可求解.
3．已知关于x的不等式mx2−6x+3md>a，
故答案为：D
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断.
17．已知方程x2−2ax+6a+7=0在[2，+∞)上有实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．[7，+∞)B．(−∞，−1]∪[7，+∞)
C．(−∞，−7]∪[1，+∞)D．(−∞，−112]∪[7，+∞)
【答案】D
【解析】【解答】令f(x)=x2−2ax+6a+7，则
对称轴为x=−−2a2=a，
当ax2−x−1对x∈(−∞，0)恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】a>54
【解析】【解答】由不等式ax2>x2−x−1对x∈(−∞，0)恒成立，
可转化为a>x2−x−1x2对x∈(−∞，0)恒成立，即
a>(x2−x−1x2)max，
而x2−x−1x2=−1x2−1x+1=−(1x+12)2+54，
当x=−2时，−(1x+12)2+54有最大值54，
所以a>54，
故答案为：a>54．
【分析】由已知可转化为a>x2−x−1x2对x∈(−∞，0)恒成立，即a>(x2−x−1x2)max，再利用二次函数的性质，可求出a的取值范围.
21．若函数f(x)=x2−6x+2+a在区间(1，4)内有零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】(3，7]
【解析】【解答】由题意得：f(x)=x2−6x+2+a=(x−3)2+a−7为连续函数，
且在(1，3)上单调递减，在(3，4)上单调递增，
故f(3)=a−7，f(1)=1−6+2+a=a−3，f(4)=16−24+2+a=a−6，
所以只需f(1)>0f(3)≤0或f(4)>0f(3)≤0，
解得：3φ(2m−3)，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：函数f(x)=x2−ax+a，对称轴为x=a2，
当a2≤2即a≤4时，函数f(x)在[2，4]上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=4−a，即φ(a)=4−a；
当2