2024年高三数学二轮备考真题演练之幂函数、指数函数、对数函数

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一、选择题
1．（2022·天津市）化简(2lg43+lg83)(lg32+lg92)的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【解析】【解答】原式=(2×12lg23+13lg23)(lg32+12lg32)
=43lg23×32lg32=2，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和换底公式化简求值。
2．（2023·全国甲卷）已知函数f(x)=e−(x−1)2．记a=f(22)，b=f(32)，c=f(62)，则（ ）
A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【答案】A
【解析】【解答】∵f2−x=e−2−x−12=e−x−12=fx，
∴fx关于x=1对称，
又∵y=ex在R单调递增，y=−x−12在−∞，1单调递增，在1，+∞单调递减，
由复合函数可知fx在−∞，1单调递增，在1，+∞单调递减，
由fx关于x=1对称得f62=f2−62
∵2+62a>c
【答案】D
【解析】【解答】由指数函数y=1.01x在R上单调递增，
故1.010.6>1.010.5>1.010，即b>a>1，
由幂函数y=x0.5在[0，+∞)上单调递增，
故0.60.5c，
故选：D.
【分析】由a、b同一底数结构可利用指数函数单调性比较大小，结合特殊值1即可得出答案.
4．（2022·天津市）已知a=20.7，b=(13)0.7，c=lg213，则（ ）
A．a>c>bB．b>c>aC．a>b>cD．c>a>b
【答案】C
【解析】【解答】因为20.7>(13)0.7>0=lg21>lg213，故a>b>c.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
5．（2022·浙江）已知 2a=5，lg83=b ，则 4a−3b= （ ）
A．25B．5C．259D．53
【答案】C
【解析】【解答】将lg83=b转化为指数，得到8b=3.再结合指数的运算性质，8b=（23）b=23b=3，因此2a−3b=2a33b=53，所以4a−3b=259.
故答案为：C
【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
6．（2022·全国甲卷）函数 y=(3x−3−x)csx 在区间 [−π2，π2] 的图像大致为（ ）
A．​​
B．​​
C．​​
D．​​
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cs(-x)=-(3x-3-x)csx=-f(x)，又 x∈[−π2，π2]
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当x∈(0，π2]时，3x-3-x>0，csx>0，所以f(x)>0，排除C.
故选：A.
【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解.
7．（2022·全国甲卷）已知 9m=10，a=10m−11，b=8m−9 ，则（ ）
A．a>0>bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
【答案】A
【解析】【解答】解：由9m=10可得m=lg910=lg10lg9>1，
而lg9lg11lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又lg8lg10m ，
所以b=8m−90>b ．
故选：A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=lg910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，lg89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
8．（2022·全国乙卷）已知函数 f(x)，g(x) 的定义域均为R，且 f(x)+g(2−x)=5，g(x)−f(x−4)=7 ．若 y=g(x) 的图像关于直线 x=2 对称， g(2)=4 ，则 k=122f(k)= （ ）
A．-21B．-22C．-23D．-24
【答案】D
【解析】【解答】因为 y=g(x) 的图像关于直线 x=2 对称，所以 g(2−x)=g(x+2) ，
由 g(x)−f(x−4)=7 ，得 g(x+2)−f(x−2)=7 ，即 g(x+2)=7+f(x−2) ，
因为 f(x)+g(2−x)=5 ，所以 f(x)+g(x+2)=5 ，
代入得 f(x)+[7+f(x−2)]=5 ，即 f(x)+f(x−2)=−2 ，
所以 f(3)+f(5)+…+f(21)=(−2)×5=−10 ，
f(4)+f(6)+…+f(22)=(−2)×5=−10 .
因为 f(x)+g(2−x)=5 ，所以 f(0)+g(2)=5 ，即 f(0)=1 ，所以 f(2)=−2−f(0)=−3 .
因为 g(x)−f(x−4)=7 ，所以 g(x+4)−f(x)=7 ，又因为 f(x)+g(2−x)=5 ，
联立得， g(2−x)+g(x+4)=12 ，所以 y=g(x) 的图像关于点 (3，6) 中心对称，
因为函数 g(x) 的定义域为R，所以 g(3)=6
因为 f(x)+g(x+2)=5 ，所以 f(1)=5−g(3)=−1 .
所以 k=122f(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+…+f(21)]+[f(4)+f(6)+…+f(22)]=−1−3−10−10=−24 .
故选：D
【分析】根据对称性和已知条件得到 f(x)+g(x+2)=5 代入 f(x)+g(2−x)=5 得到 f(x)+f(x−2)=−2 ，从而得到 f(3)+f(5)+…+f(21)=−10 ， f(4)+f(6)+…+f(22)=−10 ，然后根据条件得到 f(2) 的值，再由题意得到 g(3)=6 从而得到 f(1) 的值即可求解.
9．（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和 1gP 的关系，其中 T 表示温度，单位是 K ； P 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（ ）
A．当 T=220 ， P=1026 时，二氧化碳处于液态
B．当 T=270 ， P=128 时，二氧化碳处于气态
C．当 T=300 ， P=9987 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 T=360 ， P=729 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】【解答】A选项： lgP=lg1026>3 ， T=220 ，由图易知处于固态；
B选项： lgP=lg128>2 ， T=270 ，由图易知处于液态；
C选项： lgP=lg9987≈3.999 ， T=300 ，由图易知处于固态；
D选项： lgP=lg729>2 ， T=360 ，由图易知处于超临界状态.
故答案为：D
【分析】根据选项所给P的值分别计算 lgP ，结合T的值以及图象逐个判断即可.
10．（2022·北京）已知函数 f(x)=11+2x ，则对任意实数 x ，有（ ）
A．f(−x)+f(x)=0B．f(−x)−f(x)=0
C．f(−x)+f(x)=1D．f(−x)−f(x)=13
【答案】C
【解析】【解答】由 f(x)=11+2x ，可得 f(−x)=11+2−x=2x1+2x ，所以 f(−x)+f(x)=1 .
故答案为：C
【分析】根据函数 f(x)=11+2x 的解析式求得 f(−x) 的解析式，从而可得选项.
11．（2022·浙江学考）函数 y=2−x 的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】【解答】由 y=2−x=(12)x ，得函数 y=2−x 是以 12 为底数的指数函数，
且函数为减函数，D选项符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数函数的图象，进而找出函数 y=2−x 的大致图像。
12．（2023·吉林模拟）已知a=0.310.1，b=0.310.2，c=0.320.1，则（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【答案】D
【解析】【解答】解：由指数函数y=0.31x为单调递减函数，可得0.310.1>0.310.2，即a>b，
又由幂函数y=x0.1为单调递增函数，可得0.320.1>0.310.2，即c>a，
所以c>a>b.
故答案为：D
【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的单调性，即可求解.
13．（2023·江西模拟）已知a=ln1.2，b=ea2s−1，c=16，则（ ）
A．ae2n−3成立。
33．（2022·赤峰模拟）已知函数f(x)=x(lnx+1)，x>0x2−mex，x≤0.
（1）当m=12时，判断f(x)的零点个数；
（2）设F(x)=f(x)−f(−x)，若存在x∈(−∞，−1]，使F(x)>0成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：当m=12时，f(x)=x(lnx+1)，x>0x2−12ex，x≤0，
当x>0时，f(x)=xlnx+x，f′(x)=lnx+x⋅1x+1=lnx+2，
当f′(x)