2022-2023学年广东省肇庆市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广东省肇庆市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=sinxcsx的最小正周期为( )
A. 1B. 2C. πD. 2π
2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a= 2，b= 3，B=π3，那么角A等于( )
A. π4B. 3π4C. π4或3π4D. π6
3.已知向量a，b满足(a+b)⋅b=16，|b|=2，则a在b上的投影向量为( )
A. 3bB. 6bC. 9bD. 12b
4.已知向量a=(x+1,1)，b=(−8,x2+15)，在集合{0,1,2,3,4,5,6}中随机取值作为x，则a⊥b的概率为( )
A. 17B. 27C. 37D. 47
5.设z为复数，若(1+i)z>0，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.圆锥的母线l、高h、底面半径r满足l−h=h−r=1，则该圆锥的侧面积为( )
A. 10πB. 15πC. 20πD. 30π
7.已知三棱锥P−ABC的底面ABC为直角三角形，且∠ACB=π2.若PA⊥平面ABC，且AB=3，PA=4，三棱锥P−ABC的所有顶点均在球O的球面上，记球O的体积和表面积分别为V，S，则VS=( )
A. 512B. 56C. 53D. 52
8.给定一个正整数n(n≥3)，从集合Ω={1,2,3,⋯,n}中随机抽取一个数，记事件A=“这个数为偶数”，事件B=“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是( )
A. 若n=6k，k∈N*，则至少存在一个n，使事件A和事件B不独立
B. 若n≠6k，k∈N*，k∈N*，则存在无穷多个n，使事件A和事件B独立
C. 若n为奇数，则至少存在一个n，使事件A和事件B独立
D. 若n为偶数，则对任意的n，事件A和事件B独立
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试(百分制)，并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图，下列说法正确的是( )
A. 图中a的值为0.15
B. 估计样本数据的75%分位数为85
C. 用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格(低于60分)的人数为5000
D. 用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为80.5分(同一组数据用该组区间的中点值作代表)
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+π4)(A>0,ω>0)(A>0,ω>0)的相邻两条对称轴之间的距离为π2，下列说法正确的是( )
A. ω=4
B. f(x)图象上所有点向上平移一个单位长度得到g(x)的图象，若g(x)的最大值为3，则A=2
C. f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，得到h(x)的图象，则h(x)=Asin(8x+π4)
D. f(x)图象上所有点的纵坐标缩短为原来的14，横坐标不变，得到r(x)的图象，则r(x)=4Asin(2x+π4)
11.如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，以A为圆心，AB为半径作圆，得到重叠部分为扇形DAB.连接AF，AE，分别交弧BD于P，H.下列说法正确的是( )
A. AE|AE|=AH
B. cs∠HAP=45
C. {HP,DB}可作为一个基底
D. AC= 53AH+ 53AP
12.如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1的三条棱长分别为AB=a，BC=b，BB1=c，a，b，c为常数，且满足b≤a，c=2a.点M为A1D1上的动点(不与A1，D1重合)，过点C作截面α，使α⊥BM，α，α分别交BB1，AB于点E，F.下列说法正确的是( )
A. 截面α是三角形
B. 截面α的周长为定值
C. 存在点M，使CF⊥CE
D. CF2+6CE2−2EF2为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为14ab，则C=______.
14.已知e1，e2为不共线的单位向量，所成角为60∘，若向量a=e1+2e2，b=e1−e2，则a⋅b的值为______.
15.某银行发行了甲，乙两款理财产品，一名投资者有意向去投资这两款理财产品.已知这名投资者选择投资甲，乙两款理财产品相互独立，且投资甲产品的概率为15，投资乙产品的概率为14，则该投资者两种产品都不投资的概率为______.
16.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AD=3，若以A为圆心，AD为半径的圆与BC相切，切点为Q，则AQ⋅AC的值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设复数z=1+bi，b∈R，若z1+2i∈R.
(1)求|z|；
(2)z−记为z的共轭复数，计算(z+z−)2+(z−z−)2的值.
18.(本小题12分)
山东淄博有着丰富的烧烤文化，淄博烧烤以其独特的口味和制作方法，吸引了大量的食客，今年的“五一”假期更是游客“进淄赶烧”的高峰期.某商家为了提高自己的竞争力，举行了消费抽奖活动，活动规则如下：每消费满100元，会获得一次抽奖机会，奖项为“5元烧烤优惠券”“10元烧烤优惠券”以及“谢谢惠顾”.已知抽中“5元烧烤优惠券”的概率为12，抽中“10元烧烤优惠券”的概率为13，并且每次抽奖互不影响.
(1)求抽到“谢谢惠顾”的概率；
(2)某位客人消费了200元，求这位客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率.
19.(本小题12分)
如图，已知正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形EAB所在平面相互垂直.以AE为直径，在平面EAB内作半圆(半圆位于EA的左侧)，点F为弧AE上的一点.
(1)证明：EF⊥平面ADF；
(2)若点F为弧AE的中点，求二面角F−BD−A的正切值.
20.(本小题12分)
为调查某校高一学生的数学学习情况以及男女生学习水平的差异，采用分层随机抽样的方式从高一年级抽取n人参加数学知识竞赛.已知该校高一男女生的人数比为1：2，抽取了20名男生参加数学知识竞赛，他们的成绩记为⋯，20)，其中xi分别为：8，3，2，4，8，5，5，7，7，6，8，5，5，6，4，9，6，8，6，8.
(参考数据：i=120xi=120，i=120xi2=788)
(1)求样本总人数n；
(2)求男生数学知识竞赛成绩的第60百分位数以及方差；
(3)若女生数学知识竞赛成绩的平均数为3，方差为10.3，求样本总方差.
21.(本小题12分)
如图所示，在一块面积为50003πm2的圆心角为π3的扇形POQ空地中(如图1：扇形POQ，∠QOP=π3)，要建设一座长方体的高楼(如图2：长方体ABCD−A1B1C1D1).由于建设需求，点C需在弧PQ上(如图3).为了消防安全，楼层建设不能太高，OC1与地面OPQ所成的角最大为π4.
(1)求楼高CC1的最大值；
(2)求这座高楼体积的最大值.
22.(本小题12分)
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若AB⋅AC+2BA⋅BC=3CA⋅CB.
(1)证明：a2+2b2=3c2；
(2)若sin(B−A)+sinC=7sinA，求csA的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，f(x)=sinxcsx=12×2sinxcsx=12sin2x，
所以函数的最小正周期为2π2=π，
故选：C.
根据二倍角的正弦公式化简函数解析式，再由周期公式求出函数的周期即可．
本题考查二倍角的正弦公式，以及三角函数的周期公式应用，熟练掌握公式是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：△ABC中，由正弦定理可得asinA=bsinB，即 2sinA= 3 32，∴sinA= 22，
∴A=π4，或 A=3π4 (舍去，因为A不是最大角)，
故选：A.
△ABC中，由正弦定理可得sinA= 22，由于a本题考查正弦定理的应用，注意：由于a3.【答案】A
【解析】解：(a+b)⋅b=a⋅b+b2=a⋅b+|b|2=16，
因为|b|=2，所以a⋅b=16−4=12，
故a⋅b|b|⋅b|b|=12⋅b4=3b.
故选：A.
根据数量积运算法则计算出a⋅b=12，从而利用投影向量的公式进行求解．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：当a⊥b时，a⋅b=−8(x+1)+x2+15=x2−8x+7=0，
解得x=1或x=7，
所以集合{0,1,2,3,4,5,6}中随机取值作为x，则a⊥b的概率为17.
故选：A.
根据向量垂直求得x，根据古典概型的概率计算公式求得正确答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设z=a+bi，(a,b∈R)，则(1+i)z=(a−b)+(a+b)i>0，
∴a+b=0，a−b>0，
∴b=−a，2a>0，
∴a>0，b<0，
故z在复平面内对应的点(a,b)位于第四象限．
故选：D.
结合复数的概念结合条件可得a，b范围，进而即可判断复数位于第几象限．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可得h2+r2=l2①，又因为l−h=h−r=1，
可得出l=h+1，r=h−1，代入①，
整理得h2−4h=0，解得h=0(舍)或h=4，
则l=5，r=3，
所以圆锥的侧面积公式πrl=3×5×π=15π.
故选：B.
根据已知可得出h2+r2=l2，与l−h=h−r=1组成方程组解出l、h、r的值，再利用圆锥侧面积公式即可得出结果．
本题主要考查了圆锥的结构同学，考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为△ABC为直角三角形且∠ACB=π2，则AC⊥BC，
又PA⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，则PA⊥AB，PA⊥BC，
而PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，于是BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，
因此PC⊥BC，取PB中点O1，连接CO1，AO1，则O1A=O1P=O1B=O1C，
从而点O1即为球O的球心O，设三棱锥P−ABC外接球的半径为R，
则(2R)2=AB2+PA2，即4R2=32+42=25，所以R=52，
则VS=43πR34πR2=R3=56.
故选：B.
依题意△ABC外接圆的直径为斜边AB=3，设三棱锥P−ABC外接球的半径为R，则(2R)2=AB2+PA2，求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得．
本题考查三棱锥的外接球表面积的计算，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：对于A，对于任意n=6k，k∈N*，P(A)=12,P(B)=13,P(AB)=k6k=16，
∴P(AB)=P(A)P(B)，即事件A和事件B独立，A不正确；
对于C，当n=6k+1时，k∈N，P(A)=3k6k+1,P(B)=2k6k+1,P(AB)=k6k+1，
此时显然P(AB)≠P(A)P(B)；
当n=6k+3时，k∈N，P(A)=3k+16k+1,P(B)=2k+16k+1,P(AB)=k6k+1，
此时显然P(AB)≠P(A)P(B)；
当n=6k+5时，k∈N，P(A)=3k+26k+1,P(B)=2k+16k+1,P(AB)=k6k+1，
此时显然P(AB)≠P(A)P(B)；
综上可知，对任意奇数，事件A和事件B都不独立；C不正确；
对于B，当n=8时，P(A)=12,P(B)=14,P(AB)=18，满足P(AB)=P(A)P(B)；
当n=32时，P(A)=12,P(B)=516,P(AB)=532，满足P(AB)=P(A)P(B)；
以此类推，当n=22m+1时，m∈N*，P(A)=12,P(B)=22m+1−23×22m+1,P(AB)=22m+1−26×22m+1，满足P(AB)=P(A)P(B)；
故存在无穷多个n，使事件A和事件B独立，B正确；
对于D，当n=16时，P(A)=816=12,P(B)=516,P(AB)=216=18，∴P(AB)≠P(A)P(B)，D不正确．
故选：B.
主要是用P(AB)=P(A)P(B)判断事件的相互独立性．
本题考查相互独立事件的概率计算，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：A选项，根据频率分布直方图的性质，10×(0.005+a+0.020+0.040+0.020)=1，
解得a=0.015，A选项错误；
B选项，前4个矩形条的面积为1−10×0.02=0.8>0.75，
前3个矩形条的面积为：1−10×(0.02+0.04)=0.4<0.75，
故样本数据的75%分位数落在[80,90]中，设样本数据的75%分位数为x，
于是(x−80)×0.04+0.4=0.75，
解得x=88.75，B选项错误；
C选项，根据直方图可以看出，低于60分的频率为：0.005×10=0.05，
于是估计全市学生不及格的人数为：100000×0.05=5000，C选项正确；
D选项，由题意，平均数为：
10×(55×0.005+65×0.015+75×0.02+85×0.04+95×0.02)=80.5，故D正确．
故选：CD.
A选项，根据频率分布直方图的性质计算；B选项，先判断出75%分位数所在的区间，然后列方程计算；C选项，先算出样本数据中不及格的频率，由此估计全市学生不及格的人数；D选项，根据题意中的平均数的计算要求进行计算．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数和平均数的计算，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：∵f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
∴12T=π2，即T=π，即2πω=π，得ω=2，故A错误；
B选项，f(x)=Asin(2x+π4)，f(x)图象上所有点向上平移一个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)=Asin(2x+π4)+1，
因为A>0，所以g(x)的最大值为A+1，故A+1=3，解得A=2，B正确；
C选项，由图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，得h(x)=Asin(8x+π4)，C正确；
D选项，图象上所有点的纵坐标缩短为原来的14，横坐标不变，得r(x)=14Asin(2x+π4)，D错误．
故选：BC.
A选项，由题目条件得到f(x)的最小正周期，从而得到ω=2；B选项，得到g(x)=Asin(2x+π4)+1，故根据最大值列出方程，求出A=2；CD选项，根据伸缩变换的性质得到答案．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的周期和ω的值，利用图象变换进行判断是解决本题的关键，是中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，AE|AE|表示AE方向上的单位向量，|AH|=1，
且AH与AE方向相同，∴AE|AE|=AH，故A正确；
对于B，|AE|=|AF|= 12+(12)2= 52，
∴cs∠FAB=cs∠EAD=1 52=2 5，
sin∠FAB=sin∠EAD=12 52=1 5，
∴cs∠HAP=cs(π2−2∠FAB)=sin(2∠FAB)
=2sin∠FABcs∠FAB=45，故B正确；
对于C，连接EF，HP，BD，
由于|AH||AE|=|AP||AF|，∴EF//HP，
由于E，F分别是CD，BC的中点，∴EF//BD，
∴HP//BD，故{HP,DB}不能作为一个基底，故C错误；
对于D，|AH||AE|=|AP||AF|=1 52=2 5,|AH|=2 5|AE|,|AP|=2 5|AF|，
53AH+ 53AP= 53×2 5AE+ 53×2 5AF=23AE+23AF
=23(AD+12AB)+23(AB+12AD)
=AB+AD=AC，故D正确．
故选：ABD.
根据单位向量，诱导公式、二倍角公式、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系；
则B(b,a,0)，C(0,a,0)，设M(t,0,2a)，0BM=(t−b,−a,2a)，CE=(b,0,z)，CF=(b,y−a,0)，
因为α⊥BM，α，所以BM⋅CE=(t−b)b+2az=0BM⋅CF=(t−b)b−a(y−a)=0，得z=(b−t)b2ay=(t−b)ba+a，
因为0y=(t−b)ba+a>−b2a+a=a2−b2a≥0，y=(t−b)ba+a所以点F在线段AB上(不与A和B重合)，
所以截面α是三角形CEF，故A正确；
因为z=(b−t)b2ay=(t−b)ba+a，所以a−y=2z，
所以CE= b2+z2，CF= b2+(a−y)2= b2+4z2，EF= z2+(a−y)2= 5z2，
所以截面α的周长为CE+CF+EF= b2+z2+ b2+4z2+ 5z2，
因为b为常数，所以当z增大时，周长也增大，故周长不为定值，故B错误；
由CF⊥CE，CE⋅CF=0，得(b,0,z)⋅(b,y−a,0)=b2=0，得b=0，这不可能，故C错误；
由以上知，CF2+6CE2−2EF2=b2+4z2+6b2+6z2−10z2=7b2为定值，故D正确．
故选：AD.
以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设M(t,0,2a)，0本题考查棱柱的结构特征，属于中档题．
13.【答案】π6
【解析】解：由题意知，S△ABC=12absinC=14ab，
所以sinC=12，
又因为在锐角三角形ABC中，C∈(0,π2)，
所以C=π6.
故答案为：π6.
根据三角形面积公式求解．
本题考查三角形的面积公式，属于基础题．
14.【答案】−12
【解析】解：因为e1，e2为不共线的单位向量，所成角为60∘，
所以|e1|=|e2|=1,e1⋅e2=|e1|⋅|e2|⋅cs60∘=12，
又a=e1+2e2，b=e1−e2，
所以a⋅b=(e1+2e2)⋅(e1−e2)=e12+e1⋅e2−2e22=1+12−2=−12.
故答案为：−12.
根据数量积的定义求得e1⋅e2的值，再利用向量的数量积的运算法则即可求得a⋅b的值．
本题考查向量数量积运算，属基础题．
15.【答案】35
【解析】解：因为这名投资者投资甲产品的概率为15，所以不投资甲产品的概率为45，
同理投资乙产品的概率为14，所以不投资乙产品的概率为34，
根据独立事件的乘法公式，该投资者两种产品都不投资的概率为45×34=35，
故答案为：35.
由已知可得出这名投资者不投资甲产品的概率为45，不投资乙产品的概率为34，由独立事件乘法公式即可求出都不投资的概率，从而得出结果．
本题考查独立事件的概率公式，属于基础题．
16.【答案】9
【解析】解：连接AC、AQ，
则AQ⊥BC，|AQ|=3，
所以AQ⋅AC=|AQ|⋅|AC|⋅cs⟨AQ,AC⟩=|AQ|⋅|AC|cs∠CAQ=|AQ|⋅|AQ|=9.
故答案为：9.
利用向量的数量积运算代入即可求出结果．
本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)1+bi1+2i=(1+bi)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(1+2b)+(b−2)i5∈R，
则b−2=0，则b=2，所以z=1+2i，则|z|= 12+22= 5.
(2)z−=1−2i，则z+z−=1+2i+1−2i=2,z−z−=1+2i−1+2i=4i，
(z+z−)2+(z−z−)2=22+(4i)2=4−16=−12.
【解析】(1)根据复数的除法运算以及复数的分类可得b=2，进而由模长公式即可求解，
(2)根据复数的加减法以及乘方运算即可化简求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：(1)记抽到“5元烧烤优惠券”为事件A，
记抽到“10元烧烤优惠券”为事件B，
记抽到“谢谢惠顾”为事件C，
易知P(A)=12，P(B)=13.
所以P(C)=1−P(A)−P(B)=1−12−13=16；
(2)若某位客人消费了200元，
此时这位客人可抽取两次，
记抽到总计10元烧烤优惠券为事件D，
记可能一次抽到“10元烧烤优惠券”、一次抽到“谢谢惠顾”为事件E，
记两次都抽到“5元烧烤优惠券”为事件F，
此时P(E)=13×16+16×13=19，P(F)=12×12=14，
所以P(D)=P(E)+P(F)=19+14=1336，
故该客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率为1336.
【解析】(1)由题意，记抽到“5元烧烤优惠券”为事件A，记抽到“10元烧烤优惠券”为事件B，记抽到“谢谢惠顾”为事件C，根据互斥事件求概率公式进行求解；
(2)记抽到总计10元烧烤优惠券为事件D，记可能一次抽到“10元烧烤优惠券”、一次抽到“谢谢惠顾”为事件E，记两次都抽到“5元烧烤优惠券”为事件F，求出相对应的概率，进而即可求解．
本题考查概率的相关应用，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：(1)证明：由于平面ABCD⊥平面EAB，且两平面的交线为AB，AD⊂平面ABCD，AD⊥AB，
所以AD⊥平面EAB，又EF⊂平面EAB，
所以EF⊥AD，
又F在以AE为直径的半圆上，
因此可以得到EF⊥AF.
EF⊥AF，EF⊥AD，AD∩AF=A，AD，AF⊂平面ADF，
所以EF⊥平面ADF；
(2)过F在平面ABEF内作FH⊥AB交BA的延长线于点H，
则FH⊥平面ABCD，
过H作GH⊥BD交BD于点G，连接FG.
由于FH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以FH⊥BD，
又GH⊥BD，GH∩FH=H，GH，FH⊂平面FGH，
所以BD⊥平面FHG，
又FG⊂平面FHG，即BD⊥FG，
又BD⊥GH，
所以∠FGH就是所求的二面角F−BD−A的平面角．
设正方形ABCD的边长为2a(a>0)，则AB=AE=2a，∠EAF=FAH=45∘，
则HF=AH=AFsin45∘=AEsin45∘sin45∘=2a× 22× 22=a，
HB=AB+AH=3a，HG=HBsin45∘=3 2a2.
在Rt△FHG中，tan∠FGH=FHHG=a3 2a2= 23，
即二面角F−BD−A的正切值为 23.
【解析】(1)根据面面垂直可得线面垂直，进而利用线线垂直即可求证线面垂直，即可求证，
(2)根据二面角的几何法求解其平面角，进而由三角形的边角关系求解即可．
本题考查线面垂直的判定定理，考查二面角的定义及其求解，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：(1)男生占样本总人数的11+2=13，所以n=2013=60；
(2)20×60%=12.男生数学知识竞赛成绩从小到大排列为：
2，3，4，4，5，5，5，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，8，8，9，
其中第12个数据为6，第13个数据为7，
所以男生数学知识竞赛成绩的第60百分位数为6+72=6.5，
记男生数学知识竞赛成绩的平均数和方差分别为x−男，s男2.
则x−男=120i=120 xi=6，s男2=120i=120 xi2−x−男2=3.4；
(3)记女生数学知识竞赛成绩的平均数和方差分别为x−女，s女2，
则样本总平均数z−=13x−男+23x−女=4，
样本总方差s2=13[s男2+(x−男−z−)2]+23[s女2+(x−女−z−)2]=10.
【解析】(1)根据抽样比和男生人数可得答案；
(2)男生数学知识竞赛成绩从小到大排列，可得第60百分位数；根据平均数和方差公式可得男生数学知识竞赛成绩的平均数和方差；
(3)求出样本总平均数，根据样本总方差公式计算可得答案．
本题考查分层抽样、百分位数、方差、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)设扇形半径为rm，则16πr2=50003π，解得r=100，
连接OC，OC1，如图所示：
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，则C1C⊥平面ABCD，
∴∠C1OC是OC1与地面OPQ所成角，即tan∠C1OC=CC1OC，
∵OC1与地面OPQ所成的角最大为π4，
∴(CC1)max=OC(tan∠C1OC)max=100tanπ4=100m，即楼高CC1的最大值为100m；
(2)设∠COP=θ，θ∈(0,π3)，则BC=100sinθ，OB=100csθ，OB=100csθ，
∵tanπ3=ADOA= 3，
∴OA=AD 3= 33AD= 33BC=100 33sinθ，
AB=OB−OA=100csθ−100 33sinθ，
则矩形ABCD的面积S=AB⋅BC=(100csθ−100 33sinθ)⋅100sinθ
=10000(12sin2θ− 33⋅1−cs2θ2)
=5000(sin2θ+ 33cs2θ− 33)=10000 33sin(2θ+π6)−5000 33，
又θ∈(0,π3)，则2θ+π6∈(π6,5π6)，
∴当2θ+π6=π2，即θ=π6时，Smax=5000 33，
故这座高楼的体积最大值Vmax=Smax⋅(CC1)max=5000 33×100=500000 33m3.
【解析】(1)由题意先求得扇形半径，连接OC，OC1，可得∠C1OC是OC1与地面OPQ所成角，即可得出答案；
(2)设∠COP=θ，θ∈(0,π3)，可得BC=100sinθ，OB=100csθ，OB=100csθ，可得矩形ABCD的面积关于θ的函数，利用三角恒等变换结合正弦函数的性质可求得矩形ABCD的面积的最大值，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征和体积公式，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)证明：因为AB⋅AC+2BA⋅BC=3CA⋅CB，
所以bccsA+2accsB=3abcsC，
即bc⋅b2+c2−a22bc+2ac⋅a2+c2−b22ac=3ab⋅a2+b2−c22ab，
化简得a2+2b2=3c2；
(2)解：若sin(B−A)+sinC=7sinA，
则sin(B−A)+sin(B+A)=7sinA，
即sinBcsA−csBsinA+sinBcsA+csBsinA=7sinA，
化简得2sinBcsA=7sinA，
因为B∈(0,π)，sinB≠0，所以csA=7sinA2sinB，
即b2+c2−a22bc=7a2b，化简得b2+c2−a2=7ac，①
又a2+2b2=3c2，②
联立①②解得c=3a或c=−15a，(舍去)
代入②可得b2=13a2.
所以csA=b2+c2−a22bc=13a2+9a2−a22 13a⋅3a=7 1326.
【解析】(1)根据平面向量的数量积公式，对AB⋅AC+2BA⋅BC=3CA⋅CB化简，再根据余弦定理的推论，化简即可求证结果；
(2)根据诱导公式和两角和差的正弦定理化简可得csA=7sinA2sinB，再根据正余弦定理，将角化边，可得b2+c2−a2=7ac，再根据(1)的结论，即可求得c=3a，再利用余弦定理推论即可求出结果．
本题考查利用正余弦定理和三角恒等变换知识解三角形，属于中档题．