2022-2023学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)= x，则f′(2)=( )
A. 24B. 22C. 3 24D. 2
2.已知(3x2+1x)n的展开式中所有项的系数之和为256，则n=( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
3.如表是某企业在2023年1月−5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格y(单位：千元)与月份代码x的统计数据.由表中数据计算得到经验回归方程为y =b x+0.19，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为( )
A. 2.41千元B. 2.38千元C. 2.35千元D. 2.32千元
4.某班级有50名学生，该班级学生期末考试数学成绩X服从正态分布N(100,σ2)，已知P(X>120)=0.14，则X∈[80,120]的学生人数约为( )
A. 7B. 18C. 36D. 43
5.函数y=f(x)的图象如图所示，则下列不等关系正确的是( )
A. f′(2)B. f′(2)C. f(3)−f(2)D. f′(3)6.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品，综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺.从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的灯笼挂法总数为( )
A. 24B. 36C. 48D. 72
7.盒中有3个螺口灯泡和5个卡口灯泡，现从盒中不放回地任取灯泡，直到取出第5个灯泡才取出所有螺口灯泡的概率为( )
A. 156B. 328C. 528D. 314
8.已知函数f(x)的定义域为(−∞,0)，其导函数f′(x)满足xf′(x)−2f(x)>0，则不等式f(x+2023)−(x+2023)2f(−1)<0的解集为( )
A. (−2024,−2023)B. (−2024,0)C. (−∞,−2023)D. (−∞,−2024)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为r1，S12，R12，第二组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为r2，S22，R22，则( )
A. 若r1>r2，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强
B. 若r12>r22，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强
C. 若S12>S22，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好
D. 若R12>R22，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好
10.已知随机变量X和Y的分布列如下，X与Y的取值互不影响，则( )
A. a的取值范围是[0,1]B. 存在a，使得P(X=1,Y=0)=14
C. E(Y)−E(X)>1D. 当a=12时，D(Y)=1116
11.在孟德尔豌豆实验中，已知子一代豌豆的基因型均为Dd，以子一代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子二代，以子二代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子三代，子二代、子三代的基因型有DD，Dd，dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，基因型中至少含有1个显性基因D时呈显性性状.则下列说法正确的是( )
A. 子二代中基因型为dd的概率为13
B. 子三代中基因型为dd的概率为14
C. 子二代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为49
D. 子三代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为2764
12.已知函数f(x)=ax2−ex有两个极值点x1与x2，且x1A. a>e2B. 0C. f(x2)>−e2D. 若x2≥2x1，则a≥1ln2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有______种不同的着色方法.(用数字作答)
14.已知函数f(x)=x+cs2x，x∈(0,π)，则f(x)的极大值点为______.
15.现有一堆橙子用一台水果筛选机进行筛选.已知这一堆橙子中大果与小果比例为3：2，这台筛选机将大果筛选为小果的概率为0.02，将小果筛选为大果的概率为0.05.经过一轮筛选后，从筛选出来的“大果”里随机取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为______.
16.已知函数f(x)=x2+2ex+2,(x≤0)lnx,(x>0)，若存在实数a四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某公司近5年产品研发年投资额x(单位：百万元)与年销售量y(单位：千件)的数据统计表如下：
(1)根据上表数据画出年投资额x与年销售量y的散点图；
(2)该公司计划用非线性经验回归方程y =eb x+a 作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，并对年销售量取对数，得到如下数据表：
请根据表格数据、参考数据和公式，求出该非线性经验回归方程.
参考数据与公式：i=15xizi=13.4；对于一组数(u1,v1)，(u2,v2)，…，据(un,vn)，其经验回归直线v =β u+α 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为β =i=1nuivi−nu−⋅v−i=1nui2−nu−2，α =v−−β u−.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3+ax2−2x−1.
(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程；
(2)若x=1是f(x)的极值点，且方程f(x)−m=0有3个不同的实数解，求实数m的取值范围.
19.(本小题12分)
从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从(a+b)n的展开式推广到(a+b+c)n的展开式.
(1)写出(a+b+c)8的展开式中含a2b3c3的项(记为T(2,3,3))，并求该项的系数；
(2)写出(a+b+c)n的展开式的通项公式，并解释其正确性.
20.(本小题12分)
某小型工厂生产蓝色和粉色两种颜色的手持便㩗风扇，每日生产量为200台，其中蓝色手持便拱风扇120台，粉色手持便携风扇80台.
(1)若从某日生产的手持便携风扇中随机抽检2台，用X表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求X的分布列及数学期望；
(2)若从某日生产的手持便携风扇中随机抽取10台作为样本，用Y表示样本中蓝色手持便携风扇的台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中蓝色手持便携风扇的比例估计总体中蓝色手持便携风扇的比例，求误差不超过0.1的概率，并说明在相同误差限制下，采用哪种抽取方式估计的结果更可靠.
参考数据：随机变量Y对应二项分布和超几何分布概率值参考数据(精确到0.00001).
21.(本小题12分)
某企业有甲、乙两条生产线，为了解生产产品质量情况，采用简单随机抽样的方法从两条生产线共抽取200件产品，测量产品尺寸(单位：mm)得到如下统计数据，其中尺寸位于[34,37)的产品为一等品，其它产品为非一等品.
(1)为考察生产线(甲、乙)对产品质量(一等品、非-等品)的影响，请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断能否认为产品质量与生产线有关联？
(2)用样本频率估计概率，从甲、乙两条生产线分别随机抽取2件产品，每次抽取产品互不影响，用X表示这4件产品中一等品的数量，求X的分布列.
附：①χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
②临界值表
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−1−alnx，g(x)=xex−1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a<0，且对任意x1，x2∈[3,4](其中x1−1g(x1)g(x2)，求实数a的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵f(x)= x=x12，
∴f′(x)=12x−12=12 x(x>0)，则f′(2)=12 2= 24.
故选：A.
先根据导数的运算法则求出函数的导数，再求导数值．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由二项式(3x2+1x)n的展开式中所有项的系数之和为256，
令x=1，可得(3×12+1)n=4n=256，解得n=4.
故选：B.
令x=1，得到4n=256，即可求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由已知得x−=1+2+3+4+55=3，y−=0.5+0.7+1+1.2+1.65=1，
∵回归方程y =b x+0.19必过样本中心点为(3,1)，
∴1=3b +0.19，解得b =0.27，∴y =0.27x+0.19，
∴则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为y =0.27×8+0.19=2.35千元．
故选：C.
根据回归方程必过样本中心点求出回归方程，利用回归方程预测8月该品牌碳酸锂的价格．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知数学成绩X服从正态分布N(100,σ2)，P(X>120)=0.14，
故P(X<80)=0.14，则P(80≤X≤120)=1−2×0.14=0.72，
故X∈[80,120]的学生人数约为0.72×50=36.
故选：C.
根据正态分布的对称性可求得P(80≤X≤120)的值，即可求得答案．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：f′(2)为函数y=f(x)的图象在点A处的切线的斜率，
f′(3)为函数y=f(x)的图象在点B处的切线的斜率，
f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2表示直线AB的斜率，
由图可知0故选：D.
由题意可知f′(2)为函数y=f(x)的图象在点A处的切线的斜率，f′(3)为函数y=f(x)的图象在点B处的切线的斜率，f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2表示直线AB的斜率，然后结合图形求解．
本题主要考查导数的几何意义，考查逻辑推理能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：能够相邻的可以是红木宫灯、檀木宫灯，也可以是楠木纱灯、花梨木纱灯、
若红木宫灯、檀木宫灯相邻，楠木纱灯、花梨木纱灯不相邻，
则把红木宫灯、檀木宫灯看成一个整体和恭喜发财吊灯进行排列，中间有3个空，选两个放楠木纱灯、花梨木纱灯，
则有A22A22A32=24种，
若红木宫灯、檀木宫灯不相邻，楠木纱灯、花梨木纱灯相邻，
则把楠木纱灯、花梨木纱灯看成一个整体和恭喜发财吊灯进行排列，中间有3个空，选两个放红木宫灯、檀木宫灯，
则有A22A22A32=24种，
则共有24+24=48种．
故选：C.
利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由已知条件得前4次取出了2个螺口灯泡，2个卡口灯泡，第5次取出螺口灯泡，
则前4个位置排2个螺口灯泡和2个卡口灯泡，第5个位置排螺口灯泡的排列方法有C32C52A44，
由古典概型概率公式可知：直到取出第5个灯泡才取出所有螺口灯泡的概率为P=C32C52A44C85A55=328，
故选：B.
利用古典概型概率公式求解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意知，当x∈(−∞,0)时，xf′(x)−2f(x)>0，
设g(x)=f(x)x2，
则g′(x)=x2f′(x)−2xf(x)x4=xf′(x)−2f(x)x3<0，
所以g(x)在(−∞,0)上单调递减，
不等式f(x+2023)−(x+2023)2f(−1)<0等价于f(x+2023)(x+2023)2即为g(x+2023)−1x+2023<0，
解得−2024故选：A.
由题可得当x∈(−∞,0)时，xf(x)−2f(x)>0，构造函数g(x)=f(x)x2，可判断g(x)在(−∞,0)上的单调性，进而可将不等式转化为g(x+2023)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A中，当r1=0.1，r2=−0.9时，满足r1>r2，但|r1|<|r2|，则第二组成对数据的线性相关关系比第一组的强，所以A错误；
对于B中，若r12>r22，可得|r1|>|r2|，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强，所以B正确；
对于C中，若S12>S22，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好，所以C正确；
对于D中，若R12>R22，则第一组成对数据的经验回归模型拟合效果比第二组的好，所以D错误．
故选：BC.
根据题意，由相关系数、残差平方和、决定系数的意义，依次分析选项，即可求解．
本题主要考查样本相关系数、残差平方和、决定系数的定义，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于选项A，由已知得0≤2−a3≤10≤a3≤1且0≤1−a2≤10≤a2≤1，解得a∈[0,1]，则选项A正确；
对于选项B，因为X与Y的取值互不影响，
所以P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0)=a3⋅12=a6=14，解得a=32，
因为32∉[0,1]，则不存在a值，P(X=1,Y=0)=14，则选项B错误；
对于选项C，E(Y)−E(X)=(0×12+1×1−a2+2×a2)−(−1×13+0×2−a3+1×a3)=5+a6≤1，则选项C错误；
对于选项D，当a=12时，E(Y)=0×12+1×14+2×14=34，
则D(Y)=(0−34)2×12+(1−34)2×14+(2−34)2×14=1116，则选项D正确．
故选：AD.
利用概率的性质以及期望和方差的公式求解．
本题考查了概率的性质以及期望和方差的公式，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，由题意可知子二代中基因型有DD，Dd，dD，dd，其中Dd，dD为同类基因型，
故子二代中基因型为dd的概率为14，A错误；
对于B，由于子二代中基因型有DD，Dd，dd，比例为1：2：1，
故d出现的概率为12×12+14=12，
故子三代中基因型为dd的概率为12×12=14，B正确；
对于C，子二代中1粒豌豆呈现显性性状的概率为34，
故子二代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为C32×(34)2×14=2764，C错误；
对于D，结合B的分析可知D出现的概率为12×12+14=12，
则子三代中DD出现的概率为12×12=14，Dd出现的概率为1−14−14=12，
故子三代中1粒豌豆呈现显性性状的概率为14+12=34，
故子三代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为C32×(34)2×14=2764，D正确．
故选：BD.
根据子二代中基因型有DD，Dd，dD，dd即可判断A；根据子二代中d出现的概率结合独立事件的乘法公式可判断B；求出子二代中1粒豌豆呈现显性性状的概率，根据二项分布的概率计算可判断C，D.
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A：已知f(x)=ax2−ex，函数定义域为R，
可得f′(x)=2ax−ex，
因为函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1即f′(x)有两个变号零点，
易知当x=0时，不符合题意，
则方程2a=exx(x≠0)有两个根，
不妨设g(x)=exx，函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
可得g′(x)=(x−1)exx2，
当x<1且x≠0时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=1时，函数g(x)取得极小值，极小值g(1)=e，
易知当x<0时，g(x)<0，
当直线y=2a与函数g(x)的图象有两个交点时，满足条件，
此时2a>e，
解得a>e2，故选项A正确；
对于选项B：因为x1，x2为直线y=2a与函数g(x)图象两个交点的横坐标，
因为函数g(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，且x1所以0又ex1x1=ex2x2，且ex1>1，
所以x1ex2=x2ex1>1，故选项B错误；
对于选项C：令f′(x2)=0，
解得2a=ex2x2，
此时f(x2)=ex2x2⋅x22−ex2=(x22−1)ex2，
不妨设h(x)=(x2−1)ex，函数定义域为(1,+∞)，
可得h′(x)=(x−1)2ex>0，
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增，
则h(x)>h(1)=−e2，
即f(x2)>−e2，故选项C正确；
对于选项D：因为ex1x1=ex2x2，
所以当x2=2x1时，ex1x1=e2x12x1，
即ex1=e2x12，
整理得2ex1=e2x1，
解得ex1=2，
所以x1=ln2，
则g(x1)=2a=2ln2，
解得a=1ln2，
当x2>2x1>x1>0时，
易知2a=g(x1)=g(x2)>g(2x1)=e2x12x1，
所以ex1x1>e2x12x1，
解得ex1<2，
所以x1此时函数g(x)在(0,1)上单调递减，
满足2a=g(x1)>g(ln2)=2ln2，
解得a>1ln2，
综上，当x2≥2x1时，a≥1ln2，故选项D正确．
故选：ACD.
由题意，将函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x12x10这两种情况进行分析，利用数形结合即可判断选项D.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值以及导数的综合运用，考查了逻辑推理、转化思想、数形结合和运算能力．
13.【答案】80
【解析】解：若A和C区域着色相同时，有C51C41种不同的着色方法；
若A和C区域着色不相同时，有C51C41C31种不同的着色方法；
所以三块区域不同的着色方法有C51C41+C51C41C31=80种．
故答案为：80.
按A和C区域着色是否相同分类讨论，再利用加法原理求解．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
14.【答案】π12
【解析】解：因为f(x)=x+cs2x，x∈(0,π)，
所以f′(x)=1−2sin2x，
令f′(x)=1−2sin2x=0，
∴sin2x=12，
由于x∈(0,π)，
故2x∈(0,2π)，
则2x=π6或2x=5π6，
故x=π12或x=5π12，
当00，
f(x)在(0,π12)和(5π12,π)上单调递增，
当π12f(x)在(π12,5π12)上单调递减，
故x=π12为f(x)的极大值点．
故答案为：π12.
求得函数导数，令其等于0，结合极值点的判断，即可得答案．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】147152
【解析】解：根据题意，记事件A1表示“放入水果分选机的苹果为大果”，事件A2表示“放入水果分选机的苹果为小果”，事件B表示“水果分选机筛选的苹果为‘大果’”，
则P(A1)=35，P(A2)=25，P(B|A1)=1−0.02=4950，P(B|A2)=0.05=120，
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=35×4950+25×120=76125，
所以P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=35×4950=147250，
所以P(A1|B)=P(A1B)P(B)=14725076125=147152.
故答案为：147152.
根据题意，结合条件概率公式求解即可．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
16.【答案】−e
【解析】解：作出f(x)的函数图象如图所示：
∵存在实数a∴a+b=−2e，
∴af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c−2e)lnc，
由图可知，2−e2设g(x)=(x−2e)lnx，其中x∈(e2−e2,e2],
g′(x)=lnx+1−2ex，显然g′(x)在x∈(e2−e2,e2]上单调递增，
∵g′(e2−e2)=2−e2+1−2ee2−e2<0，g′(e2)=3−2e>0，
∴g′(x)在∈(e2−e2,e2]上存在唯一一个零点，不妨设为x0，
在g(x)在(e2−e2,x0)上单调递减，在(x0,e2]上单调递增，
且g′(x0)=lnx0+1−2ex0=0，解得x0=e.
则g(x)在(e2−e2,e2]上的最小值为g(x0)=(x0−2e)lnx0=−elne=−e.
故答案为：−e.
作出f(x)的函数图象，由题意可得a+b=−2e，得到af(a)+bf(b)+cf(c)=(c−2e)lnc，求出c的范围，设g(x)=(x−2e)lnx，其中x∈(e2−e2,e2],再由导数求最值得答案．
本题考查分段函数的图象与性质，考查数形结合思想，训练了利用导数求最值，是中档题．
17.【答案】解：(1)年投资额x与年销售量y的散点图如图：
(2)y =eb x+a ，则lny =b x+a ，
记z =lny ，则z =b x+a ，z−=−0.7+0+0.4+1.1+1.75=0.5，
x−=3，b =1×(−0.7)+2×0+3×0.4+4×1.1+5×1.7−5×3×0.555−5×32=0.59，
a =0.5−0.59×3=−1.27，
∴z =lny =0.59x−1.27，可得y =e0.59x−1.27.
【解析】(1)直接由表格中的数据画出散点图；
(2)求出z−，再求得b 与a 的值，结合对数的运算性质求得非线性回归方程．
本题考查经验回归方程是求法，考查化归与转化思想，是中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=13x3+ax2−2x−1，
∴f′(x)=x2+2ax−2，
则f(0)=−1，f′(0)=−2，
故函数f(x)在x=0处的切线方程为：
y+1=−2x，即2x+y+1=0.
(2)f′(x)=x2+2ax−2，
由题意f′(1)=1+2a−2=0，解得：a=12，
故f(x)=13x3+12x2−2x−1，
f′(x)=x2+x−2=(x−1)(x+2)，
令f′(x)>0，解得：x>1或x<−2，
令f′(x)<0，解得：−2故f(x)在(−∞,−2)递增，在(−2,1)递减，在(1,+∞)递增，
故f(x)极大值=f(−2)=73，f(x)极小值=f(1)=−136，
若方程f(x)−m=0有3个不同的实数解，
则−136即m的取值范围是(−136,73).
【解析】(1)求出函数的导数，计算f(0)，f′(0)，求出切线方程即可；
(2)根据f′(1)=0，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数f(x)的单调区间，求出函数的极值，从而求出m的范围即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
19.【答案】解：(1)由二项展开式可知(a+b)8=r=08C8ra8−rbr,r=0,1,2,⋯,8，
则(a+b+c)8=[c+(a+b)]8=r=08C8r(a+b)rc8−r=r=08C8rk=0rCrkar−kbkc8−r，
其中0≤k≤r≤8，且r，k为自然数，
故T(2,3)的系数为k=3，r=5时C8rCrk的值，即有T(2,33)=C85C53a2b3c3=560a2b3c3，
系数为560.
(2)(a+b+c)n的展开式的通项公式为T(r−k,k,1r−r)=C8rCrkar−kbkcn−r，
其中0≤k≤r≤n，且r，k为自然数．
解释：
由二项展开式可知(a+b)n=r=0nCnran−rbr,r=0,1,2,⋯,n，
则(a+b+c)n=[c+(a+b)]n=r=0nCnr(a+b)rcn−r=r=0nCnk=0rCrkar−kbkcn−r
其中0≤k≤r≤n，且r，k为自然数，
故(a+b+c)n的展开式的通项公式为T(r−k,k,n−r)=CnrCrkar−kbkcn−r，
其中0≤k≤r≤n，且r，k为自然数．
【解析】(1)利用(a+b)8的展开式可得(a+b+c)8=r=08C8rk=0rCrkar−bkc8−r，结合a2b3c3，即可求得答案；
(2)利用二项展开式可知(a+b)n=r=0nCnran−rbr,r=0,1,2,⋯,n，将(a+b+c)n化为[c+(a+b)]n，即可推出结论．
本题考查了二项式展开式和二项式中如何求指定项系数和通项公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)对于有放回抽检，每次抽到蓝色手持便携风扇的概率为120200=35，
设X1表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，
则X1∼B(2,35)，此时X1的取值可能为0，1，2，
则P(X1=0)=C20(1−35)2=425,P(X1=1)=C21×35×25=1225，
P(X1=2)=C22×(35)2=925，
故X1的分布列为：
数学期望为E(X1)=2×35=65；
对于不放回抽检，设X2表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，
设X2表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，X2的取值可能为0，1，2，
则P(X2=0)=C1200C802C2002=158995,P(X2=1)=C1201C801C2002=480995，
P(X2=2)=C1202C800C2002=357995，
故X2的分布列为：
数学期望为E(X2)=0×158995+1×480995+2×357995=65；
(2)样本中蓝色手持便携风扇的比例f10=Y10是一个随机变量，
有放回抽取时，P(|f10−35|≤0.1)=P(5≤Y≤7)
=0.20066+0.25082+0.21499=0.66647，
不放回抽取时，P(|f10−35|≤0.1)=P(5≤Y≤7)
=0.20407+0.25732+0.21769=0.67908，
因为0.66647<0.67908，故在相同误差限制下，采用不放回抽取方式估计的结果更可靠．
【解析】(1)有放回抽取时确定X1∼B(2,35)，根据二项分布的概率计算公式，即可求得答案；不放回抽取时，根据超几何分布的概率计算可求得答案；
(2)对于有放回和不放回抽取时分别计算P(|f10−35|≤0.1)=P(5≤Y≤7)的值，并比较大小，即可得结论．
本题考查了二项分布的概率计算和超几何分布的概率计算，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意，可得列联表如下：
故K2=200×(80×25−75×20)2100×100×155×45≈0.7168<3.841，
故根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断能否认为产品质量与生产线有关联；
(2)根据题意，由(1)的结论，甲生产线生产生产的零件为一等品的概率为80100=45，
乙生产线生产生产的零件为一等品的概率为75100=34，
X可取的值为0、1、2、3、4，
则P(X=0)=(1−45)2×(1−34)2=1400，
P(X=1)=C21×45×(1−45)×(1−34)2+(1−45)2×C21×34×(1−34)=14400，
P(X=3)=C21×45×(1−45)×342+452×C21×34×(1−34)=2150，
P(X=4)=(45)2×(34)2=72200，
则P(X=2)=1−P(X=0)−P(X=1)−P(X=3)−P(X=4)=73400，
故X分分布列为：

【解析】(1)根据题意，分析可得列联表，由此计算K2的值，比较可得结论；
(2)根据题意，分析X可取的值，由此可得X各个值对应的概率，即可得X的分布列．
本题考查随机变量的分布列，涉及独立性检验的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=x−1−alnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=1−ax=x−ax，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，
当0当x>a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增；
(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以对任意x1，x2∈[3,4](x1已知g(x)=xex−1，
可得g′(x)=1−xex−1，
当x∈[3,4]时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以对任意x1，x2∈[3,4](x1g(x2)，
易知当x∈[3,4]时，g(x)>0，
因为f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)>−1g(x1)g(x2)，
所以f(x1)−f(x2)>−g(x1)−g(x2)g(x1)g(x2)，
整理得f(x2)−f(x1)<1g(x2)−1g(x1)，
不妨设h(x)=1g(x)=ex−1x，函数定义域为[3,4]，
可得h′(x)=ex−1(x−1)x2>0，
所以函数h(x)在定义域上单调递增，
则f(x2)−f(x1)即f(x2)−h(x2)所以当x1，x2∈[3,4]时，f(x2)−h(x2)不妨设k(x)=f(x)−g(x)=x−alnx−1−ex−1x，函数定义域为[3,4]，
可得k′(x)=1−ax−ex−1(x−1)x2≤0恒成立，
所以a≥x−ex−1+ex−1x在[3,4]恒成立，
不妨设m(x)=x−ex−1+ex−1x，函数定义域为[3,4]，
可得m′(x)=1−ex−1+ex−1(x−1)x2=1−ex−1[(1x−12)2+34]，
当3≤x≤4时，ex−1[(1x−12)2+34]>34e2>1，
所以m′(x)<0，m(x)单调递减，
则m(x)≤m(3)=3−23e2，
可得a≥3−23e2，
故实数a的最小值为3−23e2.
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，分别讨论当a≤0和a>0这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可；
(2)结合(1)中所得信息，构造函数h(x)=1g(x)=ex−1x，将f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)>−1g(x1)g(x2)转化成f(x2)−h(x2)本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y
0.5
0.7
1
1.2
1.6
X
−1
0
1
P
13
2−a3
a3
Y
0
1
2
P
12
1−a2
a2
年投资额x
1
2
3
4
5
年销售量y
0.5
1
1.5
3
5.5
年销售量y
0.5
1
1.5
3
5.5
z=lny
−0.7
0
0.4
1.1
1.7
k
二项分布概率值
超几何分布概率值
k
二项分布概率值
超几何分布概率值
0
0.00010
0.00007
6
0.25082
0.25732
1
0.00157
0.00124
7
0.21499
0.21769
2
0.01062
0.00922
8
0.12093
0.11827
3
0.04247
0.03974
9
0.04031
0.03726
4
0.11148
0.10995
10
0.00605
0.00517
5
0.20066
0.20407
总计
1
1
尺寸
生产线
[32,33)
[33,34)
[34,35)
[35,36)
[36,37)
[37,38)
[38,39]
甲
2
7
26
32
22
9
2
乙
2
9
25
30
20
10
4
生产线
产品质量
合计
一等品
非一等品
甲
乙
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X1
0
1
2
P
425
1225
925
X2
0
1
2
P
158995
480995
357995
生产线
产品质量
合计
一等品
非一等品
甲
80
20
100
乙
75
25
100
合计
155
45
200
X
0
1
2
3
4
P
1400
7200
73400
2150
72200