2022年河北省中考数学试卷

这是一份2022年河北省中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）（2022•河北）计算得，则“？”是 C
A．0B．1C．2D．3
【考点】同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂的除法法则列方程解答即可．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
【解答】解：根据同底数幂的除法可得：，
？，
故选：．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法．
2．（3分）（2022•河北）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的 D
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
【考点】角平分线的定义；三角形的角平分线、中线和高；翻折变换（折叠问题）
【分析】根据翻折的性质和图形，可以判断直线与的关系．
【解答】解：由已知可得，
，
则为的角平分线，
故选：．
【点评】本题考查翻折变换、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（3分）（2022•河北）与相等的是 A
A．B．C．D．
【考点】有理数的加减混合运算
【分析】利用有理数的加减法法则，逐个计算得结论．
【解答】解：．，选项的计算结果是；
．，选项的计算结果不是；
．，选项的计算结果不是；
．，选项的计算结果不是．
故选：．
【点评】本题考查了有理数的运算，掌握有理数的加减法法则是解决本题的关键．
4．（3分）（2022•河北）下列正确的是 B
A．B．C．D．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据判断选项；根据判断选项；根据判断选项；根据算术平方根的定义判断选项．
【解答】解：、原式，故该选项不符合题意；
、原式，故该选项符合题意；
、原式，故该选项不符合题意；
、，故该选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键．
5．（3分）（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为，，则正确的是 A
A．B．
C．D．无法比较与的大小
【考点】多边形内角与外角
【分析】利用多边形的外角和都等于，即可得出结论．
【解答】解：任意多边形的外角和为，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，正确利用任意多边形的外角和为解答是解题的关键．
6．（3分）（2022•河北）某正方形广场的边长为，其面积用科学记数法表示为 C
A．B．C．D．
【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】根据正方形的面积边长边长列出代数式，根据积的乘方化简，结果写成科学记数法的形式即可．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握是解题的关键．
7．（3分）（2022•河北）①④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择 D
A．①③B．②③C．③④D．①④
【考点】认识立体图形
【分析】根据组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成直接判断即可．
【解答】解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成，
①④符合要求，
故选：．
【点评】本题主要考查立体图形的拼搭，根据组合后的几何体形状做出判断是解题的关键．
8．（3分）（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是 D
A．B．
C．D．
【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
【解答】解：、，故选项不符合条件；
、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故选项不符合题意；
、不能判断出任何一组对边是平行的，故选项不符合题意；
、有一组对边平行且相等是平行四边形，故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
9．（3分）（2022•河北）若和互为倒数，则的值是 B
A．1B．2C．3D．4
【考点】分式的化简求值
【分析】根据和互为倒数可得，再将进行化简，将代入即可求值．
【解答】解：和互为倒数，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．
10．（3分）（2022•河北）某款“不倒翁”（图的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是 A
A．B．C．D．
【考点】切线的性质；弧长的计算
【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：，，，交于点，如图，
，
，
，
优弧对应的圆心角为，
优弧的长是：，
故选：．
【点评】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧的度数．
11．（2分）（2022•河北）要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是 C
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【考点】作图—基本作图
【分析】根据平行线的性质、三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：方案Ⅰ，，
，
根据两直线平行，内错角相等可知，直线，所夹锐角与相等，
故方案Ⅰ可行，
方案Ⅱ，根据三角形内角和定理可知，直线，所夹锐角与相等，
故方案Ⅱ可行，
故选：．
【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，正确理解两直线夹角的概念是解题的关键．
12．（2分）（2022•河北）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若个人共同完成需天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是 C
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象
【分析】利用已知条件得出与的函数关系式，利用函数关系式即可得出结论．
【解答】解：一个人完成需12天，
一人一天的工作量为，
个人共同完成需天，
一人一天的工作量为，
每人每天完成的工作量相同，
．
，
是的反比例函数，
选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是：．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的图象，利用已知条件得出与的函数关系式是解题的关键．
13．（2分）（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则可能是 C
A．1B．2C．7D．8
【考点】三角形三边关系
【分析】利用凸五边形的特征，根据两点之间线段最短求得的取值范围，利用此范围即可得出结论．
【解答】解：平面内，将长分别为1，5，1，1，的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，
且，
的取值范围为：，
则可能是7．
故选：．
【点评】本题主要考查了组成凸五边形的条件，利用两点之间线段最短得到的取值范围是解题的关键．
14．（2分）（2022•河北）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是 D
A．只有平均数B．只有中位数C．只有众数D．中位数和众数
【考点】算术平均数；中位数；众数
【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．
【解答】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，
追加后5个数据的中位数是5，众数为5，
数据追加后平均数会变大，
集中趋势相同的只有中位数和众数，
故选：．
【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．
15．（2分）（2022•河北）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是斤，则正确的是 B
A．依题意
B．依题意
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤
【考点】一元一次方程的应用
【分析】利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论．
【解答】解：由题意得出等量关系为：
20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量个搬运工的体重，
已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是斤，
，
选项不正确，选项正确；
由题意：大象的体重为斤，
选项不正确；
由题意可知：一块条形石的重量个搬运工的体重，
每块条形石的重量是240斤，
选项不正确；
综上，正确的选项为：．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用题意正确找出等量关系是解题的关键．
16．（2分）（2022•河北）题目：“如图，，，在射线上取一点，设，若对于的一个数值，只能作出唯一一个，求的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是 B
A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
【考点】三角形三边关系；等腰直角三角形
【分析】由题意知，当或时，能作出唯一一个，分这两种情况求解即可．
【解答】解：由题意知，当或时，能作出唯一一个，
①当时，
，，
，
即此时，
②当时，
，，
此时，
即，
综上，当或时能作出唯一一个，
故选：．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，19小题每空1分）
17．（3分）（2022•河北）如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 ．
【考点】概率公式
【分析】根据抽到6号赛道的结果数所有可能出现的结果数即可得出答案．
【解答】解：所有可能出现的结果数为8，抽到6号赛道的结果数为1，每种结果出现的可能性相同，
（抽到6号赛道），
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，掌握抽到6号赛道的概率抽到6号赛道的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键．
18．（3分）（2022•河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点，的连线与钉点，的连线交于点，则
（1）与是否垂直？ 是 （填“是”或“否” ；
（2） ．
【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）证明，得出，由，得出，进而得出，即可得出；
（2）先利用勾股定理求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求出的长度．
【解答】解：如图1，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：是；
（2）如图2，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
19．（3分）（2022•河北）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则 4 ；
（2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共个．嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有个黑子，则的值为 ．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】（1）根据嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，列出方程计算即可求解；
（2）根据题意可得乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多的个数，根据题意可以求出，进一步求出的值．
【解答】解：（1）依题意有：，
解得．
故答案为：4；
（2）依题意有：个，
，
．
故答案为：，1．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）（2022•河北）整式的值为．
（1）当时，求的值；
（2）若的取值范围如图所示，求的负整数值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；一元一次不等式的整数解
【分析】（1）把代入代数式中进行计算便可；
（2）根据数轴列出的不等式进行解答便可．
【解答】解：（1）根据题意得，；
（2）由数轴知，，
即，
解得，
为负整数，
．．
【点评】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第（2）题关键是根据数轴列出的不等式．
21．（9分）（2022•河北）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
【考点】扇形统计图；加权平均数；条形统计图
【分析】（1）分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可；
（2）分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可．
【解答】解：由题意得，甲三项成绩之和为：（分，
乙三项成绩之和为：（分，
，
会录用甲；
（2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：
（分，
乙三项成绩之加权平均数为：
（分，
，
会改变（1）的录用结果．
【点评】此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析．
22．（9分）（2022•河北）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为，，请论证“发现”中的结论正确．
【考点】完全平方公式
【分析】写出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，根据完全平方公式，合并同类项法则计算即可求解．
【解答】解：验证：10的一半为5，
，
探究：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：
，
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
【点评】本题考查了完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证．
23．（10分）（2022•河北）如图，点在抛物线上，且在的对称轴右侧．
（1）写出的对称轴和的最大值，并求的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换
【分析】（1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令，转化为方程求出即可；
（2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．
【解答】解：（1）抛物线，
抛物线的顶点为，
抛物线的对称轴为直线，的最大值为4，
当时，，
或7，
点在对称轴的右侧，
，
；
（2）平移后的抛物线的解析式为，
平移后的顶点，
平移前抛物线的顶点，
点移动的最短路程．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型．
24．（10分）（2022•河北）如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆，其中水面截线．嘉琪在处测得垂直站立于处的爸爸头顶的仰角为，点的俯角为．已知爸爸的身高为．
（1）求的大小及的长；
（2）请在图中画出线段，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．
（参考数据：取4，取
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）由，，得，根据，，可得，
（2）过作的垂线交于，交圆于，即可画出线段，表示最大水深，根据，，，可得，在中，即知，设，则，有，解得，从而．
【解答】解：（1）嘉琪在处测得垂直站立于处的爸爸头顶的仰角为，
，，
，
，，
，
，
答：，的长为；
（2）图中画出线段如图：
，，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
，
答：最大水深约为2.6米．
【点评】本题考查解直角三角形及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义、勾股定理并能应用．
25．（10分）（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，．
（1）求所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数中，分别输入和的值，使得到射线，其中．当时，会从处弹出一个光点，并沿飞行；当时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点弹出，试推算，应满足的数量关系；
②当有光点弹出，并击中线段上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光．求此时整数的个数．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）设直线的解析式为，转化为方程组求解；
（2）①把代入函数解析式，可得结论；
②寻找特殊点，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：（1）设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
直线的解析式为；
（2）①由题意直线经过点，
；
②线段上的整数点有15个：，，，，，，，，，，，，，，．
当射线经过，时，，此时，符合题意，
当射线经过，时，，此时，符合题意，
当射线经过，时，，此时，符合题意，
当射线经过，时，，此时，符合题意，
当射线经过，时，，此时，符合题意，
其它点，都不符合题意．
解法二：设线段上的整数点为，则，
，
，
，
，且为整数，也是整数，
，，，
，，
，，
，，
，，
，，
，（不符合题意舍去），
综上所述，符合题意的的值有5个
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（12分）（2022•河北）如图1，四边形中，，，，，，于点．将与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点与重合，点在上，其中，，．
（1）求证：；
（2）从图1的位置出发，先沿着方向向右平移（图，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转（图，当边旋转时停止．
①边从平移开始，到绕点旋转结束，求边扫过的面积；
②如图2，点在上，且．若右移的速度为每秒1个单位长，绕点旋转的速度为每秒，求点在区域（含边界）内的时长；
③如图3，在旋转过程中，设，分别交于点，，若，直接写出的长（用含的式子表示）．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）解直角三角形求出，再根据证明三角形全等即可；
（2）①如图1中，扫过的面积平行四边形的面积扇形的面积；
②如图中，连接．当运动到与重合时，求出，可得结论；
③利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，可得结论．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
在中，，，，
，
，
，，
在和中，
，
；
（2）解：①如图1中，扫过的面积平行四边形的面积扇形的面积．
设交于点．
，，
，
扫过的面积；
②如图中，连接．当运动到与重合时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点在区域（含边界）内的时长；
③如图3中，
在中，，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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