（苏教版2019必修第二册）高一数学《重点难点热点》精讲与精练分层突破 专题强化训练三 多面体和球内外切问题【附答案解析】

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专题强化训练三：多面体和球内外切问题技巧归纳1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq \r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq \s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq \r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq \r(3)a.专题精选强化一、单选题1．（2022·重庆一中高一）长方体长宽高分别为3，4，12，那么该长方体外接球的表面积为（       ）A． B． C． D．2．（2022·广西河池·高一）已知底面为正方形的直棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱的长都为6，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（       ）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一）已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为2的等边三角形，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（       ）A． B． C． D．4．（2023·全国·高一）某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是（       ）A．16 B．8 C．32 D．245．（2023·广东茂名·高一期末）已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（       ）A． B． C． D．6．（2023·福建·泉州科技中学高一期中）已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若该三棱锥的体积是，则球O的表面积是（       ）A． B． C． D．7．（2023·浙江·宁波市北仑中学高一期中）古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（       ）A． B． C． D．8．（2023·安徽滁州·高一期中）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块喝冷饮降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积是（       ）A． B． C． D．9．（2023·浙江宁波·高一期末）古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（       ）A． B． C． D．10．（2023·黑龙江·哈师大附中高一期末）矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为（       ）A． B． C． D．11．（2023·河北省唐县第一中学高一期中）在三棱锥中，平面是腰为3的等腰直角三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为（       ）A． B． C． D．12．（2023·河南·高一期末（文））已知正方体的棱长为2，，，，分别为棱，，，的中点，则四面体的外接球的半径为（       ）A．1 B． C．2 D．13．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）设是同一个半径为的球的球面上四点，是以为底边的等腰三角形，且面积为，则三棱锥体积的最大值为（       ）A． B． C． D．14．（2020·江苏宿迁·高一期末）在直三棱柱中，，，，，则其外接球的体积是（       ）A． B． C． D．15．（2023·安徽·东至县第二中学高一期末）某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积为，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为（       ）A．5 B．6 C．7 D．816．（2023·安徽·高一阶段练习）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，其中，，，，且，．则三棱锥外接球的表面积是（       ）A． B． C． D．二、多选题17．（2023·浙江宁波·高一期中）已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（       ）A．四面体表面积为 B．四面体的高C．四面体体积为 D．四面体的内切球半径为18．（2023·江苏·无锡市第一中学高一期中）一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为，则这个圆锥体积与球体积的比值为（       ）A． B． C． D．19．（2023·福建·福州三中高一期中）在棱长为2的正方体中，M在线段上运动，则下列命题中正确的是（       ）A．多面体是正四面体 B．多面体的表面积是C．的最小值是 D．多面体外接球的体积是20．（2023·湖南邵阳·高一期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．已知三棱锥中，平面，且，则下列说法正确的是（       ）A．三棱锥是“鳖臑”B．三棱锥的外接球的表面积为C．三棱锥的内切球的半径为D．三棱锥的表面积为21．（2023·山东青岛·高一期末）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则（       ）A．B．四面体的表面积为C．四面体的外接球的体积为D．过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为22．（2023·广东·深圳市南头中学高一期中）已知正四棱锥的底面边长为1，且侧棱长为，点，分别为侧棱，上的动点，则下列结论中，正确的为（       ）A．为等边三角形B．正四棱锥的侧面积为C．若，则平面D．正四棱锥的外接球表面积为23．（2023·湖南省邵东市第三中学高一期中）已知正方体的各棱长均为2，下列结论正确的是（       ）A．该正方体外接球的直径为B．该正方体内切球的表面积为C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为D．该正方体外接球的体积为24．（2023·浙江·高一期末）如图，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为达BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（       ）A．AP⊥EFB．点P在平面AEF内的射影为△AEF的垂心C．二面角A﹣EF﹣P的余弦值为D．若四面体P﹣AEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24π三、填空题25．（2023·重庆·高一期末）将一个边长为的正三角形沿其中线折成一个直二面角，则所得三棱锥的外接球的体积为_________.26．（2023·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，则四棱锥外接球的表面积是____________.27．（2023·重庆市育才中学高一期中）在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点在平面ABCD内的投影为AB的中点，，若和的面积分别为1和，则四棱锥的外接球的表面积为_________.28．（2023·河北邢台·高一阶段练习）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的体积为_________________．29．（2023·河北邯郸·高一期中）已知三棱锥中，，，该三棱锥的外接球半径为5，则三棱锥的体积最大值为___________.30．（2023·广东惠州·高一期中）在三棱锥中，已知平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．参考答案：1．A【解析】【分析】先利用长方体的棱长，求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据球的表面积公式即可求出球的表面积．【详解】解：长方体长宽高分别为3，4，12，所以长方体的体对角线为，所以长方体外接球的直径，故外接球的表面积为．故选：A2．B【解析】【分析】分析出该四棱柱为正方体，得到该球为正方体的外接球，直接求出球的表面积.【详解】由题意该四棱柱为正方体，所以该球为正方体的外接球，所以球半径，所以该球的表面积为.故选：B.3．B【解析】【分析】先求出球的半径，再由几何关系结合勾股定理得出点到平面的距离，最后由体积公式得出三棱锥的体积的最大值.【详解】设球的半径为，则要使得三棱锥的体积的最大，需在过中心的垂直于平面的线上设点到平面的距离为，中心到点的距离为此时，即，解得或即三棱锥的体积的最大值为故选：B4．C【解析】【分析】由题意知该四棱锥是正四棱锥，如图四棱锥，设底面正方形的边长为，高为，由题意可知半径为的球是正四棱锥的内切球时，该四棱锥的表面积最小，利用等体积法求出与的关系，再将四棱锥的表面积表示成关于的函数，由基本不等式即可求解.【详解】因为四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，所以该四棱锥是正四棱锥，如图正四棱锥，当半径为的球是正四棱锥的内切球时，该四棱锥的表面积最小，设正方形的边长为，设，连接，则面，所以正四棱锥的高为，设，正四棱锥的表面积为，由，即为，整理可得：，所以，可得，所以正四棱锥体积为，则，设，可得，所以，当且仅当即，时，等号成立，该四棱锥的表面积最小值是，故选：C.5．C【解析】【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，则根据正四面体的表面积即可得出，从而得出对应的正方体的棱长为1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为，最后根据球的体积公式即可得出结果.【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，所以该正四面体的表面积为，所以，又正方体的面对角线可构成正四面体，若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为，所以球的体积为．故选：C.6．D【解析】【分析】根据题意证求出的长，因为三棱锥放入长方体内，所以长方体的体对角线即为球直径，即为球直径，因此求出的长度结合球的表面积公式即可求出结果.【详解】解：因为，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，又平面ABC，所以PB为三棱锥的高，因为三棱锥的体积，所以，则可将三棱锥放入长方体内，如图长方体的体对角线即为球直径，即为球直径，设球O的半径为r，则，所以球O的表面积．故选：D．7．B【解析】【分析】根据球和圆柱内切可设球的半径为，则圆柱底面半径为，圆柱的高为，再利用面积公式求得半径，即可得解.【详解】根据题意可设球的半径为，则圆柱底面半径为，圆柱的高为，由球的表面积也是圆柱表面积的且圆柱的表面积是，所以球的表面积为，所以，所以，所以求和圆柱的缝隙为.故选：B8．A【解析】【分析】由图形，分别求圆锥的底面半径和高，由圆锥和球的体积求出高脚杯内水的体积.【详解】作，垂足为，则球的半径，此时，水面半径，设加入小球后水面以下的体积为，原来水的体积为，球的体积为.所以水的体积为.故选：A9．B【解析】【分析】首先求出三棱锥的外接球半径，进一步利用等体积法的应用求出内切球的半径，最后利用球的表面积公式求出结果．【详解】解：因为四棱锥为阳马，平面，，，所以设外接球的半径为，所以，故，所以，所以，，所以设内切球的半径为，利用，解得，故，故外接球与内切球的表面积之比为．故选：．10．A【解析】【分析】设的中点为，连接，则由矩形的性质可知，所以可得为四面体外接球的球心，求出的长可得球的半径，从而可求出球的体积【详解】解：设的中点为，连接，因为四边形为矩形，所以，，所以为四面体外接球的球心，因为，所以，所以，所以面体外接球的半径为，所以该四面体外接球的体积为，故选：A11．A【解析】【分析】把三棱锥都可以扩充为一个长方体，且三棱锥的外接球即为长方体的外接球.求出长方体的体对角线即为外接球的直径，即可求出表面积.【详解】如图所示，在三棱锥中，平面是腰为3的等腰直角三角形，所以三棱锥都可以扩充为一个长方体，且三棱锥的外接球即为长方体的外接球.其中长方体的底面为边长为3的正方形，高为，设外接球的半径为R，所以，所以外接球的表面积为：.故选：A12．B【解析】【分析】根据正方体的性质可得选项.【详解】如下图所示：设正方体的中心为，由正方体的棱长为2，得到、、，的距离均为，故所求四面体的外接球的半径为．故选：B．13．D【解析】【分析】首先计算外接圆的半径，再利用图形得到点的位置，即可求三棱锥体积的最大值.【详解】设，则，得，中，，得,再根据正弦定理可知，得，如图，点是外接圆的圆心，点是四面体外接球的球心，当点和在一条直线上时，此时三棱锥的体积最大，，，此时 故选：D14．B【解析】【分析】首先在中利用余弦定理求出的长，进一步可判断为直角三角形，根据直角三角形和直棱柱的性质即可求出球心和半径，由体积公式即可求解.【详解】在中，，，，由余弦定理可得：，所以， 所以，可得为直角三角形，所以的中点即为外接圆的圆心，设的中点为，则的中点即为直三棱柱外接球的球心，设外接球的半径为，，，所以，所以外接球的体积是，故选：B.15．C【解析】【分析】利用球的体积公式求出半径，求出正三角形内切圆半径，利用勾股定理求出球心到上底面距离即可得解【详解】设球的半径为R，三棱柱上底面正三角形的内切圆半径为r．由球的体积为可得，解得．因为正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，所以底面正三角形的内切圆半径为，正三棱柱的高为4，设球心为，正三角形的内切圆圆心为，取的中点M，并将这三点顺次连接，则由球的几何知识得为直角三角形，所以，于是该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为．故选：C16．B【解析】【分析】结合长方体外接球的性质可知三棱锥外接球的直径为，进而可得结果.【详解】易得三棱锥外接球的直径为，则，故三棱锥外接球的半径，所以，故选：B.17．ABCD【解析】【分析】由正四面体的定义和性质,结合勾股定理和面积、体积公式，计算可得结论.【详解】四面体的四个面都是边长为2的正三角形，可得该四面体的表面积为故A正确；由正四面体的高和侧棱与侧棱在底面的射影组成一个直角三角形， 可得高, 故B正确;正四面体的体积为故C正确;设四面体内切球的半径为r,由可得，故D正确.故选： ABCD18．AB【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，由圆锥的底面面积与球面面积比值为，得到r与R的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比.【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，∵圆锥的底面面积与球面面积比值为，∴，则；设球心到圆锥底面的距离为d，则，所以圆锥的高为或，设圆锥体积为与球体积为，当时，圆锥体积与球体积的比为，当时，圆锥体积与球体积的比为.故选：AB19．ABD【解析】【分析】利用正四面体的定义判断选项A;利用正四面体的表面积公式即可判断选项B;建立空间直角坐标系,利用二次函数的性质求解最值,即可判断选项C;由正方体的外接球即为正四面体的外接球进行分析,即可判断选项D.【详解】对于A：在棱长为2的正方体中,因为，所以多面体是正四面体，故选项A正确；对于B：因为四面体是棱长为的正四面体，故其表面积是.故选项B正确；对于C：以D为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示，则所以，显然当x=1时，两个根号同时取得最小值，故的最小值为.故选项C错误；对于D：正四面体的外接球即为正方体的外接球.因为正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为R,则有，所以,则多面体的外接球的体积是.故选项D正确.故选：ABD20．ABC【解析】【分析】对于A：根据线面垂直的性质可得，，，均是直角三角形，由“鳖臑”的定义可判断；对于B：取MC的中点O，由A选项的解析得，即有点O是三棱锥的外接球的球心，根据球的表面积公式计算可判断；对于C：设三棱锥的内切球的半径为r，根据三棱锥的体积公式可得，可求得判断；对于D：由C的解析得三棱锥的表面积判断.【详解】对于A：因为三棱锥中，平面，所以，又，，所以面，所以，所以是直角三角形，又，，是直角三角形，所以三棱锥是“鳖臑”，故A正确；对于B：取MC的中点O，由A选项的解析得，是直角三角形，所以，所以点O是三棱锥的外接球的球心，因为，所以，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为，故B正确；对于C：设三棱锥的内切球的半径为r，又，，，，，所以，即，解得，故C正确；对于D：由C的解析得三棱锥的表面积为，故D不正确.故选：ABC.21．BCD【解析】【分析】A用非等腰三角形来判断，B求四面体表面积来判断，C求外接球体积来判断，D作出截面并计算出截面面积来判断.【详解】设是的中点，则两两相互垂直，二面角为之二面角，平面，A选项，连接，，，所以三角形不是等腰三角形，而是的中点，所以与不垂直，A选项错误.B选项，，所以三角形和三角形是等边三角形，所以四面体的表面积为，B选项正确.C选项，由于，所以是四面体外接球的球心，外接球的半径为，体积为，C选项正确.D选项，设是中点，是中点，画出图象如下图所示，，四点共面.由于平面，平面，所以平面，，由于，所以平面，所以，而，所以，所以截面面积为.D选项正确.故选：BCD22．AD【解析】【分析】选项A中由三角形三边相等可得为等边三角形；选项B中正四棱锥的侧面积等于侧面一个三角形面积乘以4；选项C中当点不是中点时，由点的位置关于线段的中点对称来说明结果；选项D中先找球心，再利用勾股定理求半径.【详解】依题意作图：由题知，，因为为正方形，且边长为1，所以.所以，为等边三角形.故选项A正确；在中，，，取的中点，连接，则有，，.的面积.所以正四棱锥的侧面积为.故选项B错误；因为为等边三角形，当为的中点时，若，则点也是的中点，此时满足题意.因为，分别为，的中点，所以.因为为正方形，所以.又为正四棱锥，所以平面，又平面，所以.又，在平面内，且相交于点，所以平面.又因为，所以平面当点不是的中点时，若，则点的位置关于的中点对称，如图，点可能在点位置(点满足)，也可能在点(点，关于的中点对称)位置.因为经过一定点作平面的垂线有且只有一条，所以，不可能同时垂直平面.故选项C错误.因为为正四棱锥，所以其外接球球心在上，设球心为，半径为.连接，则有.在中，，由得，，整理得，.所以外接球表面积.故选项D正确.故选：AD.23．ABC【解析】【分析】由正方体的棱长为2，分别求出正方体的外接球，正方体的内切球，与正方体的各棱相切的直径或半径，进一步求解可得：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，可判断A、D选项；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，可判断B选项；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，可判断C选项．【详解】若正方体的棱长为2，则：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，即，故A正确，外接球体积为，故D错误；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故，球的表面积为，故B正确；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，即，球的半径为，故C正确．故本题选：ABC.【点睛】本题考查几何体外接球、内切球问题，由若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，可求出球的半径或直径，属于中等题．24．ABC【解析】【分析】根据线面垂直的判定和性质、垂心的定义，二面角的定义，以及棱锥外接球表面积的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】根据题意，平面，故平面；因为平面，故平面；故可得两两垂直.对：由平面平面，故，故正确；对：过作平面的垂线，连接，延长交于，如下所示：由可知，，又平面平面，故，又平面，故可得：平面，又平面，故可得，即点在三角形底边的垂线上；同理可证，点在三角形底边的垂线上.故点在平面的投影即为三角形的垂心，故正确；对：根据中所求，为三角形的垂线，又，根据三线合一故可得点为中点.又，故三角形为等腰三角形，连接，则根据二面角的定义，显然即为所求二面角.在三角形中，，，又，故.故二面角A﹣EF﹣P的余弦值为，则正确；对：因为两两垂直，故三棱锥P﹣AEF的外接球半径和长宽高分别为的长方体的外接球半径相等.故其外接球半径，故外接球表面积，故错误.综上所述，正确的为.故选：.【点睛】本题综合考查线面垂直的证明以及线面垂直的性质，二面角的角球，棱锥外接球的求解，属综合中档题.25．【解析】【分析】由垂直关系可知所求外接球即为以为长宽高的长方体的外接球，根据长方体外接球半径为体对角线的一半可求得外接球半径，由球的体积公式得到最终结果.【详解】由题意得：，，，，即平面；二面角为直二面角，，则三棱锥的外接球即为以为长宽高的长方体的外接球，又， 三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球体积.故答案为：.26．##【解析】【分析】先根据面面垂直，取△的外接圆圆心G，梯形的外接圆圆心F，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果.【详解】如图，取的中点，的中点，连，，在上取点，使得，由是边长为4的等边三角形，四边形是等腰梯形，，可得，，即梯形的外接圆圆心为F，分别过点、作平面、平面的垂线，两垂线相交于点，显然点为四棱锥外接球的球心，由题可得，，，则四棱锥外接球的半径，故四棱锥外接球的表面积为．故答案为：.27．【解析】【分析】由已知画出图形，可知为等腰直角三角形，再由已知三角形面积求出底面矩形的长与宽，求出矩形对角线长，得出外接球半径即可求出.【详解】如图，在四棱锥中，，，，则为等腰直角三角形，为矩形，，由题可得平面平面，且平面平面，平面，平面，则，设，可得等腰三角形PCD底边CD上的高为，和的面积分别为1和，则，解得，则，设，则为四棱锥的外接球的球心，设球半径为，则，所以四棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.28．【解析】【分析】依题意可得，再将三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再根据长方体的体对角线即为外接球的直径，求出外接球的直径，再根据球的体积公式计算可得；【详解】解：因为平面，所以，．在中，，，所以，则．如图，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设球的半径为，则，解得，所以球的体积为．故答案为：29．27【解析】【分析】由为直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点，所以当三棱锥的外接球球心在线段上时，三棱锥的高最大，此时体积最大，从而可求出答案【详解】解：取中点为，连结，则为外接圆的圆心，所以当三棱锥的外接球球心在线段上时，三棱锥的体积最大，在中，，故三棱锥体积最大值为.故答案为：2730．【解析】【分析】如图，由题意可得平面，为三角形的外心，则三棱锥的外接球的球心在过垂直于平面的直线上，设为点，则外接球的半径为，然后利用已知的数据求出半径，进而可求出表面积【详解】解：因为平面平面，平面平面，，所以平面，设为三角形的外心，连接，则，因为，所以,过作垂直于平面的直线，则三棱锥的外接球的球心在此直线上，设外接球的球心为，连接，设外接球的半径为，则，因为，所以，即，所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：