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2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第2讲 直线与椭圆
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这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第2讲 直线与椭圆，共7页。试卷主要包含了已知曲线C，已知椭圆C，已知F1，F2分别是椭圆C等内容，欢迎下载使用。
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 若曲线C是椭圆，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＞0，,3a＋2＞0，,4a≠3a＋2，))解得a＞0，且a≠2，故“a＞0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．
2．(2023·清远期末)古希腊的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.8米且离心率为eq \f(\r(,5),3)的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为( C )
A．1 356元B．341元
C．339元D．344元
【解析】 设镜子对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为am，bm，因为长轴长为1.8m且离心率为 eq \f(\r(,5),3)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝1.8，,\r(,1－\f(b2,a2))＝\f(\r(,5),3)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0.9，,b＝0.6，)) 所以eq \f(S,π)＝0.9×0.6，即S＝0.54π，所以0.54π×200≈339元．
3．已知椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，△PF1F2的面积为( B )
A．1B．eq \r(,3)
C．2D．2eq \r(,3)
【解析】 根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，则|PF1|＋|PF2|＝4≥2eq \r(,|PF1|·|PF2|)＝2eq \r(,q)⇒q≤4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，此时三角形是等腰三角形，易知b＝1，c＝eq \r(,3)，所以△PF1F2的面积为eq \f(1,2)·2c·b＝eq \f(1,2)·2eq \r(,3)·1＝eq \r(,3)．
4．(2023·如皋二模)已知圆C的方程为x2＋y2＝16，直线l为圆C的切线，记A(－2,0)，B(2,0)两点到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足|PA|＝d1，|PB|＝d2，则动点P的轨迹方程为( B )
A．x2＋y2＝4B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
C．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,12)＝1D．y2＝4x
(第4题)
【解析】 如图，分别过点A，O，B作直线l的垂线，垂足分别为A1，O1，B1，则AA1∥OO1∥BB1，d1＝|AA1|，d2＝|BB1|，切点为O1，因为A(－2，0)，B(2，0)，所以O是AB的中点，所以OO1是梯形ABB1A1的中位线，所以|OO1|＝eq \f(|AA1|＋|BB1|,2)＝eq \f(d1＋d2,2)．又因为圆C的方程为x2＋y2＝16，r＝4，所以|OO1|＝r＝4，所以d1＋d2＝8，即|PA|＋|PB|＝8，所以动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为8的椭圆，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则2a＝8，c＝2，所以b2＝a2－c2＝12，所以动点P的轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1．
5．(2023·沈阳一模)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F作倾斜角为120°的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OFPQ，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( B )
A．eq \f(1,2)B．eq \r(,3)－1
C．eq \f(\r(,3),2)D．eq \f(\r(,2),2)
【解析】 设点P(x0，y0)，y0＞0，在▱OFPQ中，PQ∥OF，而点P，Q均在椭圆上，由椭圆对称性得Q(－x0，y0)，令椭圆半焦距为c，F(c,0)，由OQ∥FP得eq \f(y0,－x0)＝eq \f(y0,x0－c)＝tan120°＝－eq \r(,3)，解得x0＝eq \f(c,2)，y0＝eq \f(\r(,3)c,2)，而eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，因此eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1，即eq \f(c2,a2)＋eq \f(3c2,a2－c2)＝4，又离心率e＝eq \f(c,a)，则e2＋eq \f(3e2,1－e2)＝4，整理得e4－8e2＋4＝0，而0＜e＜1，则有e2＝4－2eq \r(,3)，解得e＝eq \r(,3)－1，所以该椭圆的离心率为eq \r(,3)－1．
6．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1内一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是( BCD )
A．椭圆C的焦点坐标为(2,0)，(－2,0)
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线MF1与直线MF2的斜率之积为－eq \f(1,4)
D．|AB|＝eq \f(2\r(,15),3)
【解析】 已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，所以a＝2，b＝c＝eq \r(,2)，所以焦点坐标为F1(－eq \r(,2)，0)，F2(eq \r(,2)，0)，故A错误．长轴长2a＝4，故B正确．kMF1·kMF2＝eq \f(\f(1,2),1＋\r(,2))·eq \f(\f(1,2),1－\r(,2))＝－eq \f(1,4)，故C正确．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x\\al(2,1),4)＋eq \f(y\\al(2,1),2)＝1，eq \f(x\\al(2,2),4)＋eq \f(y\\al(2,2),2)＝1，两式相减并化简得－eq \f(2,4)＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)，eq \f(\f(1,2),1)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－1，即直线AB的斜率为－1，直线AB的方程为y－eq \f(1,2)＝－(x－1)，y＝－x＋eq \f(3,2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x＋\f(3,2)，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1))消去y并化简得6x2－12x＋1＝0，Δ＝120＞0，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝eq \f(1,6)，所以|AB|＝eq \r(,1＋－12)×eq \r(,22－4×\f(1,6))＝eq \f(2\r(,15),3)，故D正确．
7．(多选)已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点P，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，则( BCD )
A．若点P的横坐标为2，则|PF1|＝eq \f(32,5)
B．|PF1|的最大值为9
C．若∠F1PF2为直角，则△PF1F2的面积为9
D．若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5\r(,7),4)，\f(5\r(,7),4)))
【解析】 椭圆的长半轴为a＝eq \r(,25)＝5，半焦距为c＝eq \r(,25－9)＝4，所以F1(－4,0)，F2(4,0)．对于A，当x＝2时，代入椭圆方程得y＝±eq \f(3\r(,21),5)，则|PF1|＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(3\r(,21),5)))2＋2＋42)＝eq \f(33,5)，故A错误；对于B，|PF1|的最大值为a＋c＝9，故B正确；对于C，若∠F1PF2为直角，设|PF1|＝x，则|PF2|＝10－x，x2＋(10－x)2＝82，即x2－10x＋18＝0，则△PF1F2的面积为eq \f(1,2)x(10－x)＝eq \f(18,2)＝9，故C正确；对于D，以原点为圆心，c＝4为半径作圆，则F1F2为圆的直径，当点P在圆内时，∠F1PF2为钝角，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1，,x2＋y2＝16，))消去y得x＝±eq \f(5\r(,7),4)，故点P的横坐标的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5\r(,7),4)，\f(5\r(,7),4)))，故D正确．
8．在平面直角坐标系中，若动点M(x，y)始终满足关系式eq \r(,x2＋y＋22)＋eq \r(,x2＋y－22)＝8，则动点M的轨迹方程为__eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1__．
【解析】 由平面上两点间的距离公式可知，M到(0，－2)与(0,2)的距离之和为8，又(0，－2)与(0,2)两点间的距离为4，且8＞4，所以点M的轨迹是以(0，－2)，(0,2)为焦点的椭圆，其中2a＝8,2c＝4，所以a＝4，c＝2，b2＝12，故点M的轨迹方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1．
9．(2023·深圳一调)若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为__eq \f(1,3)__．
【解析】 由椭圆的性质可知，点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c，所以eq \f(a＋c,a－c)＝2，化简得eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，即离心率e＝eq \f(1,3)．
10．(2023·石家庄一模)已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B是C的上顶点，过F1的直线交C于P，Q两点，O为坐标原点，且△OBF1与△PQF2的周长之比为eq \f(\r(,2)＋1,4)，则椭圆C的离心率为__eq \f(\r(,2),2)__；若|BF1|＝eq \r(,2)，且BF1⊥PQ，则△PQF2的面积为__eq \f(4,3)__．
【解析】 设|F1F2|＝2c，由题意，△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝4a．因为a2＝c2＋b2，所以△OBF1的周长为a＋b＋c，所以eq \f(a＋b＋c,4a)＝eq \f(\r(,2)＋1,4)，整理得b＝eq \r(,2)a－c，所以a2－c2＝b2＝(eq \r(,2)a－c)2，化简得2c2－2eq \r(,2)ac＋a2＝0，所以2e2－2eq \r(,2)e＋1＝0，解得e＝eq \f(\r(,2),2)．因为|BF1|＝eq \r(,2)，所以a＝eq \r(,2)，所以b＝c＝1，即椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，焦点F1(－1，0)，F2(1,0)，所以直线BF1的斜率为1．因为BF1⊥PQ，所以直线PQ的斜率为－1，即直线PQ的方程为y＝－x－1．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝－x－1，))得3x2＋4x＝0，即x＝0或x＝－eq \f(4,3)．不妨设P(0，－1)，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(1,3)))，所以△PQF2的面积为eq \f(1,2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋1))＝eq \f(4,3)．
11．(2023·如东期末)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点P．
(1) 若Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(3\r(,3),5)))，|BP|＝eq \f(16,5)，求椭圆C的方程；
【解答】 由B(0，b)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(3\r(,3),5)))，|BP|＝eq \f(16,5)，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(3\r(,3),5)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))2，解得b＝eq \r(,3)．又点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(3\r(,3),5)))在椭圆上，则eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(,3),5)))2,b2)＝1，解得a＝2，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2) 若直线AB与直线AP的斜率之比是－2，求△BOF与△APF的面积之比．
【解答】 依题意，令F(c,0)，直线BF：eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,c)＋\f(y,b)＝1，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2c,a2＋c2)，－\f(b3,a2＋c2)))，直线AB的斜率kAB＝eq \f(b,a)，直线AP的斜率kAP＝eq \f(\f(－b3,a2＋c2),\f(2a2c,a2＋c2)－－a)＝eq \f(－b3,2a2c＋a3＋ac2)，则eq \f(2b3,2a2c＋a3＋ac2)＝eq \f(b,a)，即2b2＝2ac＋a2＋c2，有2(a2－c2)＝(a＋c)2，得a＝3c，b＝2eq \r(,2)c，于是得点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9c,5)，－\f(8\r(,2)c,5)))，S△APF＝eq \f(1,2)|AF|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(8\r(,2)c,5)))＝eq \f(16\r(,2)c2,5)，S△BOF＝eq \f(1,2)|OF||OB|＝eq \r(,2)c2, 所以△BOF与△APF的面积之比是eq \f(\r(,2)c2,\f(16\r(,2),5)c2)＝eq \f(5,16)．
12．已知椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(,6),3)，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(,2),3)，\f(\r(,3),3)))在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的标准方程；
【解答】 由椭圆C的离心率为eq \f(\r(,6),3)，可得eq \f(c,a)＝eq \r(,1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(,6),3)，可得a2＝3b2．设椭圆C：eq \f(y2,3b2)＋eq \f(x2,b2)＝1，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(,2),3)，\f(\r(,3),3)))代入方程，可得b2＝1，故椭圆C的方程为eq \f(y2,3)＋x2＝1．
(2) 过点N(2,0)的直线与椭圆C交于A，B两点，求S△AOB的最大值．
【解答】 设lAB：x＝ny＋2且A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ny＋2，,y2＋3x2＝3，))整理得(3n2＋1)y2＋12ny＋9＝0，由Δ＞0，可得n2－1＞0，且y1＋y2＝－eq \f(12n,3n2＋1)，y1y2＝eq \f(9,3n2＋1)．又由原点到lAB的距离h＝eq \f(|0－0－2|,\r(,1＋n2))＝eq \f(2,\r(,1＋n2))，由圆锥曲线弦长公式得|AB|＝eq \r(,1＋n2)|y1－y2|，所以S△AOB＝eq \f(1,2)eq \r(,1＋n2)|y1－y2|eq \f(2,\r(,1＋n2))＝|y1－y2|＝eq \r(,y1＋y22－4y1y2)＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12n,3n2＋1)))2－\f(36,3n2＋1))＝eq \r(,\f(36n2－1,3n2＋12))．令t＝n2－1＞0，可得S△AOB＝eq \r(,\f(36t,3t＋42))＝eq \f(6,\r(,9t＋24＋\f(16,t)))≤eq \f(\r(,3),2)，当且仅当t＝eq \f(4,3)，即n2＝eq \f(7,3)时，S△AOB取到最大值为eq \f(\r(,3),2)．
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 若曲线C是椭圆，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＞0，,3a＋2＞0，,4a≠3a＋2，))解得a＞0，且a≠2，故“a＞0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．
2．(2023·清远期末)古希腊的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.8米且离心率为eq \f(\r(,5),3)的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为( C )
A．1 356元B．341元
C．339元D．344元
【解析】 设镜子对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为am，bm，因为长轴长为1.8m且离心率为 eq \f(\r(,5),3)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝1.8，,\r(,1－\f(b2,a2))＝\f(\r(,5),3)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0.9，,b＝0.6，)) 所以eq \f(S,π)＝0.9×0.6，即S＝0.54π，所以0.54π×200≈339元．
3．已知椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，△PF1F2的面积为( B )
A．1B．eq \r(,3)
C．2D．2eq \r(,3)
【解析】 根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，则|PF1|＋|PF2|＝4≥2eq \r(,|PF1|·|PF2|)＝2eq \r(,q)⇒q≤4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，此时三角形是等腰三角形，易知b＝1，c＝eq \r(,3)，所以△PF1F2的面积为eq \f(1,2)·2c·b＝eq \f(1,2)·2eq \r(,3)·1＝eq \r(,3)．
4．(2023·如皋二模)已知圆C的方程为x2＋y2＝16，直线l为圆C的切线，记A(－2,0)，B(2,0)两点到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足|PA|＝d1，|PB|＝d2，则动点P的轨迹方程为( B )
A．x2＋y2＝4B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
C．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,12)＝1D．y2＝4x
(第4题)
【解析】 如图，分别过点A，O，B作直线l的垂线，垂足分别为A1，O1，B1，则AA1∥OO1∥BB1，d1＝|AA1|，d2＝|BB1|，切点为O1，因为A(－2，0)，B(2，0)，所以O是AB的中点，所以OO1是梯形ABB1A1的中位线，所以|OO1|＝eq \f(|AA1|＋|BB1|,2)＝eq \f(d1＋d2,2)．又因为圆C的方程为x2＋y2＝16，r＝4，所以|OO1|＝r＝4，所以d1＋d2＝8，即|PA|＋|PB|＝8，所以动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为8的椭圆，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则2a＝8，c＝2，所以b2＝a2－c2＝12，所以动点P的轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1．
5．(2023·沈阳一模)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F作倾斜角为120°的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OFPQ，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( B )
A．eq \f(1,2)B．eq \r(,3)－1
C．eq \f(\r(,3),2)D．eq \f(\r(,2),2)
【解析】 设点P(x0，y0)，y0＞0，在▱OFPQ中，PQ∥OF，而点P，Q均在椭圆上，由椭圆对称性得Q(－x0，y0)，令椭圆半焦距为c，F(c,0)，由OQ∥FP得eq \f(y0,－x0)＝eq \f(y0,x0－c)＝tan120°＝－eq \r(,3)，解得x0＝eq \f(c,2)，y0＝eq \f(\r(,3)c,2)，而eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，因此eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1，即eq \f(c2,a2)＋eq \f(3c2,a2－c2)＝4，又离心率e＝eq \f(c,a)，则e2＋eq \f(3e2,1－e2)＝4，整理得e4－8e2＋4＝0，而0＜e＜1，则有e2＝4－2eq \r(,3)，解得e＝eq \r(,3)－1，所以该椭圆的离心率为eq \r(,3)－1．
6．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1内一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是( BCD )
A．椭圆C的焦点坐标为(2,0)，(－2,0)
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线MF1与直线MF2的斜率之积为－eq \f(1,4)
D．|AB|＝eq \f(2\r(,15),3)
【解析】 已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，所以a＝2，b＝c＝eq \r(,2)，所以焦点坐标为F1(－eq \r(,2)，0)，F2(eq \r(,2)，0)，故A错误．长轴长2a＝4，故B正确．kMF1·kMF2＝eq \f(\f(1,2),1＋\r(,2))·eq \f(\f(1,2),1－\r(,2))＝－eq \f(1,4)，故C正确．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x\\al(2,1),4)＋eq \f(y\\al(2,1),2)＝1，eq \f(x\\al(2,2),4)＋eq \f(y\\al(2,2),2)＝1，两式相减并化简得－eq \f(2,4)＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)，eq \f(\f(1,2),1)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－1，即直线AB的斜率为－1，直线AB的方程为y－eq \f(1,2)＝－(x－1)，y＝－x＋eq \f(3,2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x＋\f(3,2)，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1))消去y并化简得6x2－12x＋1＝0，Δ＝120＞0，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝eq \f(1,6)，所以|AB|＝eq \r(,1＋－12)×eq \r(,22－4×\f(1,6))＝eq \f(2\r(,15),3)，故D正确．
7．(多选)已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点P，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，则( BCD )
A．若点P的横坐标为2，则|PF1|＝eq \f(32,5)
B．|PF1|的最大值为9
C．若∠F1PF2为直角，则△PF1F2的面积为9
D．若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5\r(,7),4)，\f(5\r(,7),4)))
【解析】 椭圆的长半轴为a＝eq \r(,25)＝5，半焦距为c＝eq \r(,25－9)＝4，所以F1(－4,0)，F2(4,0)．对于A，当x＝2时，代入椭圆方程得y＝±eq \f(3\r(,21),5)，则|PF1|＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(3\r(,21),5)))2＋2＋42)＝eq \f(33,5)，故A错误；对于B，|PF1|的最大值为a＋c＝9，故B正确；对于C，若∠F1PF2为直角，设|PF1|＝x，则|PF2|＝10－x，x2＋(10－x)2＝82，即x2－10x＋18＝0，则△PF1F2的面积为eq \f(1,2)x(10－x)＝eq \f(18,2)＝9，故C正确；对于D，以原点为圆心，c＝4为半径作圆，则F1F2为圆的直径，当点P在圆内时，∠F1PF2为钝角，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1，,x2＋y2＝16，))消去y得x＝±eq \f(5\r(,7),4)，故点P的横坐标的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5\r(,7),4)，\f(5\r(,7),4)))，故D正确．
8．在平面直角坐标系中，若动点M(x，y)始终满足关系式eq \r(,x2＋y＋22)＋eq \r(,x2＋y－22)＝8，则动点M的轨迹方程为__eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1__．
【解析】 由平面上两点间的距离公式可知，M到(0，－2)与(0,2)的距离之和为8，又(0，－2)与(0,2)两点间的距离为4，且8＞4，所以点M的轨迹是以(0，－2)，(0,2)为焦点的椭圆，其中2a＝8,2c＝4，所以a＝4，c＝2，b2＝12，故点M的轨迹方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1．
9．(2023·深圳一调)若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为__eq \f(1,3)__．
【解析】 由椭圆的性质可知，点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c，所以eq \f(a＋c,a－c)＝2，化简得eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，即离心率e＝eq \f(1,3)．
10．(2023·石家庄一模)已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B是C的上顶点，过F1的直线交C于P，Q两点，O为坐标原点，且△OBF1与△PQF2的周长之比为eq \f(\r(,2)＋1,4)，则椭圆C的离心率为__eq \f(\r(,2),2)__；若|BF1|＝eq \r(,2)，且BF1⊥PQ，则△PQF2的面积为__eq \f(4,3)__．
【解析】 设|F1F2|＝2c，由题意，△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝4a．因为a2＝c2＋b2，所以△OBF1的周长为a＋b＋c，所以eq \f(a＋b＋c,4a)＝eq \f(\r(,2)＋1,4)，整理得b＝eq \r(,2)a－c，所以a2－c2＝b2＝(eq \r(,2)a－c)2，化简得2c2－2eq \r(,2)ac＋a2＝0，所以2e2－2eq \r(,2)e＋1＝0，解得e＝eq \f(\r(,2),2)．因为|BF1|＝eq \r(,2)，所以a＝eq \r(,2)，所以b＝c＝1，即椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，焦点F1(－1，0)，F2(1,0)，所以直线BF1的斜率为1．因为BF1⊥PQ，所以直线PQ的斜率为－1，即直线PQ的方程为y＝－x－1．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝－x－1，))得3x2＋4x＝0，即x＝0或x＝－eq \f(4,3)．不妨设P(0，－1)，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(1,3)))，所以△PQF2的面积为eq \f(1,2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋1))＝eq \f(4,3)．
11．(2023·如东期末)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点P．
(1) 若Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(3\r(,3),5)))，|BP|＝eq \f(16,5)，求椭圆C的方程；
【解答】 由B(0，b)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(3\r(,3),5)))，|BP|＝eq \f(16,5)，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(3\r(,3),5)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))2，解得b＝eq \r(,3)．又点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，－\f(3\r(,3),5)))在椭圆上，则eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(,3),5)))2,b2)＝1，解得a＝2，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2) 若直线AB与直线AP的斜率之比是－2，求△BOF与△APF的面积之比．
【解答】 依题意，令F(c,0)，直线BF：eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,c)＋\f(y,b)＝1，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2c,a2＋c2)，－\f(b3,a2＋c2)))，直线AB的斜率kAB＝eq \f(b,a)，直线AP的斜率kAP＝eq \f(\f(－b3,a2＋c2),\f(2a2c,a2＋c2)－－a)＝eq \f(－b3,2a2c＋a3＋ac2)，则eq \f(2b3,2a2c＋a3＋ac2)＝eq \f(b,a)，即2b2＝2ac＋a2＋c2，有2(a2－c2)＝(a＋c)2，得a＝3c，b＝2eq \r(,2)c，于是得点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9c,5)，－\f(8\r(,2)c,5)))，S△APF＝eq \f(1,2)|AF|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(8\r(,2)c,5)))＝eq \f(16\r(,2)c2,5)，S△BOF＝eq \f(1,2)|OF||OB|＝eq \r(,2)c2, 所以△BOF与△APF的面积之比是eq \f(\r(,2)c2,\f(16\r(,2),5)c2)＝eq \f(5,16)．
12．已知椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(,6),3)，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(,2),3)，\f(\r(,3),3)))在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的标准方程；
【解答】 由椭圆C的离心率为eq \f(\r(,6),3)，可得eq \f(c,a)＝eq \r(,1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(,6),3)，可得a2＝3b2．设椭圆C：eq \f(y2,3b2)＋eq \f(x2,b2)＝1，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(,2),3)，\f(\r(,3),3)))代入方程，可得b2＝1，故椭圆C的方程为eq \f(y2,3)＋x2＝1．
(2) 过点N(2,0)的直线与椭圆C交于A，B两点，求S△AOB的最大值．
【解答】 设lAB：x＝ny＋2且A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ny＋2，,y2＋3x2＝3，))整理得(3n2＋1)y2＋12ny＋9＝0，由Δ＞0，可得n2－1＞0，且y1＋y2＝－eq \f(12n,3n2＋1)，y1y2＝eq \f(9,3n2＋1)．又由原点到lAB的距离h＝eq \f(|0－0－2|,\r(,1＋n2))＝eq \f(2,\r(,1＋n2))，由圆锥曲线弦长公式得|AB|＝eq \r(,1＋n2)|y1－y2|，所以S△AOB＝eq \f(1,2)eq \r(,1＋n2)|y1－y2|eq \f(2,\r(,1＋n2))＝|y1－y2|＝eq \r(,y1＋y22－4y1y2)＝eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12n,3n2＋1)))2－\f(36,3n2＋1))＝eq \r(,\f(36n2－1,3n2＋12))．令t＝n2－1＞0，可得S△AOB＝eq \r(,\f(36t,3t＋42))＝eq \f(6,\r(,9t＋24＋\f(16,t)))≤eq \f(\r(,3),2)，当且仅当t＝eq \f(4,3)，即n2＝eq \f(7,3)时，S△AOB取到最大值为eq \f(\r(,3),2)．
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