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2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第1讲 直线与圆
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这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第1讲 直线与圆，共8页。试卷主要包含了已知圆C，已知点P，圆M，已知圆O等内容，欢迎下载使用。
A组 固法热练
1．(2023·沈阳三模)若圆x2＋y2－2x－2ay＋a2＝0截直线x－2y＋1＝0所得弦长为2，则a＝( C )
A．－1B．0
C．1D．2
【解析】 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－a)2＝1，圆心为C(1，a)，圆的半径为r＝1．因为圆x2＋y2－2x－2ay＋a2＝0截直线x－2y＋1＝0所得弦长为2，所以直线x－2y＋1＝0过圆心C，则1－2a＋1＝0，解得a＝1．
2．(2023·张家港期中)已知点P在圆x2－2eq \r(,3)x＋y2－2y＝0上，则点P到x轴的距离的最大值为( B )
A．2B．3
C．eq \r(,3)D．eq \r(,3)＋2
【解析】 圆x2－2eq \r(,3)x＋y2－2y＝0，即圆(x－eq \r(,3))2＋(y－1)2＝4，圆心为(eq \r(,3)，1)，半径为r＝2，得点P到x轴的距离的最大值为d＝r＋1＝2＋1＝3．
3．(2023·烟台期末)过直线2x－y＋1＝0上一点P作圆(x－2)2＋y2＝4的两条切线PA，PB，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，则点P的横坐标为( D )
A．0B．eq \f(3,5)
C．±eq \f(3,5)D．±eq \f(\r(,15),5)
【解析】 如图，过直线2x－y＋1＝0上一点P作圆(x－2)2＋y2＝4的两条切线PA，PB，设圆心C(2,0)，连接AC，CB，PA⊥AC，PB⊥BC，可得△PAC≌△PBC，因为eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，所以∠APC＝∠BPC＝45°，所以|PA|＝|AC|＝2，所以|PC|＝eq \r(,22＋22)＝2eq \r(,2)．因为点P在直线2x－y＋1＝0上，所以设P(a,2a＋1)，又C(2,0)，所以|PC|＝eq \r(,a－22＋2a＋12)＝2eq \r(,2)，解得a＝±eq \f(\r(,15),5)．
(第3题)
4．已知圆C：(x＋1)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)和点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，O为坐标原点，若圆C上存在点P满足|PO|＝2|PM|，则r的最大值为( C )
A．4B．5
C．6D．7
【解析】 设P(x，y)，由|PO|＝2|PM|，即eq \r(,x2＋y2)＝2eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2)，化简可得(x－2)2＋y2＝1，圆心(2,0)，半径为1，圆C：(x＋1)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)的圆心为(－1,4)，半径为r，所以只需要圆C和圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，两圆圆心距为eq \r(,2＋12＋0－42)＝5，所以4≤r≤6，所以r的最大值为6．
5．(2023·唐山一模)已知点P(0,4)，圆M：(x－4)2＋y2＝16，过点N(2,0)的直线l与圆M交于A，B两点，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为( B )
A．8eq \r(,2)B．12
C．6eq \r(,5)D．9eq \r(,2)
【解析】 由题意知，圆心M(4,0)，半径r＝4，设AB的中点为D(x，y)，则ND⊥MD，即eq \(ND,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝0．又eq \(ND,\s\up6(→))＝(x－2，y)，eq \(MD,\s\up6(→))＝(x－4，y)，所以(x－2)(x－4)＋y2＝0，即点D的轨迹方程为E：(x－3)2＋y2＝1，圆心E(3,0)，半径为1，所以|PD|的最大值为|PE|＋1＝eq \r(,32＋42)＋1＝6．因为|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝2|eq \(PD,\s\up6(→))|，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为12．
6．(2023·潮州二模)(多选)已知圆M：x2＋y2－4x＋3＝0，则下列说法错误的是( ACD )
A．点(4,0)在圆M内
B．若圆M与圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝9
C．直线x－eq \r(,3)y＝0与圆M相离
D．圆M关于4x＋3y－2＝0对称
【解析】 圆M：x2＋y2－4x＋3＝0可化为(x－2)2＋y2＝1，圆心为O1(2,0)，半径为r1＝1．对于A，因为(4－2)2＋02＞1，所以点(4,0)在圆M外，故A错误；对于B，若圆M与圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0恰有三条公切线，则两圆外切，圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0可化为(x－2)2＋(y－3)2＝13－a，圆心为O2(2,3)，半径为r2＝eq \r(,13－a)，a＜13．因为|O1O2|＝r1＋r2，所以eq \r(,2－22＋0－32)＝1＋eq \r(,13－a)，解得a＝9，故B正确；对于C，O1(2,0)到直线x－eq \r(,3)y＝0的距离为eq \f(|2－\r(,3)×0|,\r(,1＋3))＝1＝r1，则直线x－eq \r(,3)y＝0与圆M相切，故C错误；对于D，显然圆心O1(2,0)不在直线4x＋3y－2＝0上，则圆M不关于4x＋3y－2＝0对称，故D错误．
7．(2023·菏泽一模)(多选)已知圆O：x2＋y2＝4，则下列说法正确的有( BC )
A．对于∀m∈R，直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0与圆O都有两个公共点
B．圆O与动圆C：(x－k)2＋(y－eq \r(,3)k)2＝4有四条公切线的充要条件是|k|＞2
C．过直线x＋y－4＝0上任意一点P作圆O的两条切线PA，PB(A，B为切点)，则四边形PAOB的面积的最小值为4
D．圆O上存在三点到直线x＋y－2＝0的距离均为1
【解析】 对于A，因为(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，即m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))所以直线恒过定点(3,1)．又因为32＋12＞4，所以定点(3,1)在圆O外，所以直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个，故A错误；对于B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，又因为圆O的圆心O(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(k，eq \r(,3)k)，半径r2＝2，所以|OC|＞r1＋r2，即eq \r(,k2＋\r(,3)k2)＞4，解得|k|＞2，故B正确；对于C，SPAOB＝2S△OAP＝2×eq \f(1,2)×|OA|×|PA|＝2×eq \f(1,2)×|OA|×eq \r(,|OP|2－|OA|2)＝2eq \r(,|OP|2－4)，又因为O到P的距离的最小值为O到直线x＋y－4＝0的距离，即|OP|min＝eq \f(|－4|,\r(,2))＝2eq \r(,2)，所以四边形PAOB的面积的最小值为2eq \r(,2\r(,2)2－4)＝4，故C正确；对于D，因为圆O的圆心O(0，0)，半径r1＝2，则圆心O到直线x＋y－2＝0的距离为d＝eq \f(2,\r(,2))＝eq \r(,2)，所以r1－d＝2－eq \r(,2)＜1，所以圆O上存在两点到直线x＋y－2＝0的距离为1，故D错误．
8．(2023·淮南一模)已知圆O：x2＋y2＝9与圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为__2x＋3y－9＝0__；△ABC的面积为__eq \f(24,13)__．
【解析】 两圆方程相减得4x＋6y＝18，化简得2x＋3y－9＝0，故直线AB的方程为2x＋3y－9＝0．圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0变形得到(x－2)2＋(y－3)2＝4，圆心C(2,3)，半径为2，故圆心C(2,3)到直线AB的距离为d＝eq \f(|4＋9－9|,\r(,4＋9))＝eq \f(4\r(,13),13)，由垂径定理得|AB|＝2×eq \r(,22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(,13),13)))2)＝eq \f(12\r(,13),13)，故△ABC的面积为eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×eq \f(12\r(,13),13)×eq \f(4\r(,13),13)＝eq \f(24,13)．
9．( 2023·武汉武昌三模)已知点A(－2,0)，B(0,2)，动点M满足eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是__0或1 (只写一个即可)__．(写出一个符合题意的整数值)
【解析】 由题设知eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(MB,\s\up6(→))，即点M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1,1)，半径为eq \r(,2)，所以点M的轨迹为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，而(－1,1)到直线y＝x＋2的距离为d＝eq \f(0,\r(,2))＝0，即直线过圆心，所以M到直线y＝x＋2的距离的范围为[0，eq \r(,2)]，所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1．
10．(2023·合肥一检)已知AB为圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝3的一条弦，M为线段AB的中点．若|CM|2＋|OM|2＝3(O为坐标原点)，则实数m的取值范围是__[－eq \r(,2)，eq \r(,2)]__．
【解析】 设M(x，y)，因为圆C的圆心为C(2，m)，所以|CM|2＝(x－2)2＋(y－m)2，|OM|2＝x2＋y2，所以|CM|2＋|OM|2＝(x－2)2＋(y－m)2＋x2＋y2＝2x2－4x＋4＋2y2－2my＋m2．又因为|CM|2＋|OM|2＝3，则2x2－4x＋4＋2y2－2my＋m2＝3，所以x2－2x＋2＋y2－my＋eq \f(m2,2)＝eq \f(3,2)，即(x－1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(m,2)))2＝eq \f(2－m2,4)≥0,2－m2≥0⇒－eq \r(,2)≤m≤eq \r(,2)．当m＝eq \r(,2)时，M表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(,2),2)))，圆C：(x－2)2＋(y－eq \r(,2))2＝3，因为M为线段AB的中点，所以M在圆内，即(1－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)－\r(,2)))2＝eq \f(3,2)＜3，满足题意；当m＝－eq \r(,2)时，M表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(,2),2)))，圆C：(x－2)2＋(y＋eq \r(,2))2＝3，则(1－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,2),2)＋\r(,2)))2＝eq \f(3,2)＜3，满足题意；当－eq \r(,2)＜m＜eq \r(,2)时，M在以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(m,2)))为圆心，eq \f(\r(,2－m2),2)为半径的圆T上，且(1－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)－m))2＝1＋eq \f(m2,4)＜1＋eq \f(2,4)＝eq \f(3,2)＜3，所以圆T的圆心在圆C的内部，且eq \r(,1－22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(m,2)))2)＜eq \r(,3)－eq \f(\r(,2－m2),2)，即圆T与圆C内含，故圆T上所有的点落在圆C内，符合题意．故－eq \r(,2)≤m≤eq \r(,2)，所以实数m的取值范围是[－eq \r(,2)，eq \r(,2)]．
11．已知圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，直线l：kx－y－4k＝0，当k＝eq \f(\r(3),3)时，直线l与圆O恰好相切．
(1) 求圆O的方程；
【解答】 (1) 当k＝eq \f(\r(3),3)时，圆心O到直线l的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－4×\f(\r(3),3))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＋12))＝2，则r＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4．
(2) 若l被圆O截得的弦长为2，求l的方程；
【解答】 设圆心O到直线l的距离为d，则弦长为2eq \r(4－d2)＝2，所以d＝eq \r(3)，即eq \f(|－4k|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \f(\r(39),13)，所以l的方程为y＝±eq \f(\r(39),13)(x－4)．
(3) 若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在点P使得eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0，求k的取值范围．
【解答】 ①当直线l与圆O有公共点，即－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3)时，当点P与点M(或N)重合时满足eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0，符合题意．②当直线l与圆O无公共点时，即k＜－eq \f(\r(3),3)或k＞eq \f(\r(3),3)．由eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0可知，P在以MN为直径的圆上，设MN中点为Q(x0，y0)，则圆Q的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝1，由已知，圆Q与圆O有公共点，则1≤eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))≤3，只需O到直线l的距离d＝eq \f(|－4k|,\r(k2＋1))≤3，所以－eq \f(3\r(7),7)≤k＜－eq \f(\r(3),3)或eq \f(\r(3),3)＜k≤eq \f(3\r(7),7)．综上，k的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(7),7)，\f(3\r(7),7)))．
12．如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为50m．
(1) 建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
【解答】 以线段AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可得B(250,0)，H(0，100)，D(a,50)，a＞0，则圆心E在y轴上，设E(0，h)，设所求的圆的方程为x2＋(y－h)2＝r2，把点B，H的坐标代入，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2502＋0－h2＝r2，,0＋100－h2＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝\r(,2502＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(525,2)))2)，,h＝－\f(525,2)，))故要求的圆的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(525,2)))2＝2502＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(525,2)))2．
(2) 求桥面在圆拱内部分CD的长度．(eq \r(,2)≈1.41，eq \r(,3)≈1.73，结果精确到0.1m)
【解答】 把点D的坐标代入圆的方程，可得a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50＋\f(525,2)))2＝2502＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(525,2)))2，求得a＝eq \r(,3 3750)＝75eq \r(,6)≈75×1.73×1.41≈75×2.44≈183(m)，故CD的长度为2a＝366m．
B组 抓分题天天练
13．在∠A＝90°的等腰直角三角形ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(AF,\s\up6(→))＋μeq \(CE,\s\up6(→))，则λ＝( A )
A．－eq \f(2,3)B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(4,3)D．－1
【解析】 以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设B(2,0)，C(0,2)，则F(1,1)，E(1,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2,2)，λeq \(AF,\s\up6(→))＋μeq \(CE,\s\up6(→))＝λ(1,1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＋μ＝－2，,λ－2μ＝2，))所以λ＝－eq \f(2,3)．
(第13题)
14．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且tanα·csβ＝1＋sinβ，则( C )
A．sin(3α－β)＝1B．sin(3α＋β)＝－1
C．sin(2α－β)＝1D．sin(2α＋β)＝－1
【解析】 因为tanα·csβ＝1＋sinβ，所以eq \f(sinα,csα)·csβ＝1＋sinβ，即sinα·csβ＝csα＋sinβ·csα，sinα·csβ－sinβ·csα＝csα，即sin(α－β)＝csα＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2)，0＜eq \f(π,2)－α＜eq \f(π,2)，所以α－β＝eq \f(π,2)－α，即2α－β＝eq \f(π,2)，所以sin(2α－β)＝1，故C正确．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋5n，数列{bn}满足b1＝8，bn＝16bn＋1．
(1) 求证：数列{an}是等差数列．
【解答】 由Sn＝2n2＋5n，得n＝1时，a1＝S1＝2＋5＝7，当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2＋5(n－1)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n2＋5n－2(n－1)2－5(n－1)＝4n＋3．a1＝7适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋3．所以an＋1－an＝4(n＋1)＋3－4n－3＝4，n∈N*，所以{an}是等差数列．
(2) 是否存在常数p，q，使得对一切正整数n都有an＝lgpbn＋q成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，请说明理由．
【解答】 因为bn＝16bn＋1，所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(1,16)，所以数列{bn}是以8为首项，eq \f(1,16)为公比的等比数列，所以bn＝8·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))n－1＝27－4n．要使对一切正整数n都有an＝lgpbn＋q成立，即4n＋3＝lgp27－4n＋q＝(7－4n)lgp2＋q＝－4nlgp2＋7lgp2＋q，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝－4lgp2，,3＝7lgp2＋q，))解得p＝eq \f(1,2)，q＝10．故存在常数p＝eq \f(1,2)，q＝10，使得对一切正整数n都有an＝lgpbn＋q成立．
A组 固法热练
1．(2023·沈阳三模)若圆x2＋y2－2x－2ay＋a2＝0截直线x－2y＋1＝0所得弦长为2，则a＝( C )
A．－1B．0
C．1D．2
【解析】 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－a)2＝1，圆心为C(1，a)，圆的半径为r＝1．因为圆x2＋y2－2x－2ay＋a2＝0截直线x－2y＋1＝0所得弦长为2，所以直线x－2y＋1＝0过圆心C，则1－2a＋1＝0，解得a＝1．
2．(2023·张家港期中)已知点P在圆x2－2eq \r(,3)x＋y2－2y＝0上，则点P到x轴的距离的最大值为( B )
A．2B．3
C．eq \r(,3)D．eq \r(,3)＋2
【解析】 圆x2－2eq \r(,3)x＋y2－2y＝0，即圆(x－eq \r(,3))2＋(y－1)2＝4，圆心为(eq \r(,3)，1)，半径为r＝2，得点P到x轴的距离的最大值为d＝r＋1＝2＋1＝3．
3．(2023·烟台期末)过直线2x－y＋1＝0上一点P作圆(x－2)2＋y2＝4的两条切线PA，PB，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，则点P的横坐标为( D )
A．0B．eq \f(3,5)
C．±eq \f(3,5)D．±eq \f(\r(,15),5)
【解析】 如图，过直线2x－y＋1＝0上一点P作圆(x－2)2＋y2＝4的两条切线PA，PB，设圆心C(2,0)，连接AC，CB，PA⊥AC，PB⊥BC，可得△PAC≌△PBC，因为eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，所以∠APC＝∠BPC＝45°，所以|PA|＝|AC|＝2，所以|PC|＝eq \r(,22＋22)＝2eq \r(,2)．因为点P在直线2x－y＋1＝0上，所以设P(a,2a＋1)，又C(2,0)，所以|PC|＝eq \r(,a－22＋2a＋12)＝2eq \r(,2)，解得a＝±eq \f(\r(,15),5)．
(第3题)
4．已知圆C：(x＋1)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)和点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，O为坐标原点，若圆C上存在点P满足|PO|＝2|PM|，则r的最大值为( C )
A．4B．5
C．6D．7
【解析】 设P(x，y)，由|PO|＝2|PM|，即eq \r(,x2＋y2)＝2eq \r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2)，化简可得(x－2)2＋y2＝1，圆心(2,0)，半径为1，圆C：(x＋1)2＋(y－4)2＝r2(r＞0)的圆心为(－1,4)，半径为r，所以只需要圆C和圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，两圆圆心距为eq \r(,2＋12＋0－42)＝5，所以4≤r≤6，所以r的最大值为6．
5．(2023·唐山一模)已知点P(0,4)，圆M：(x－4)2＋y2＝16，过点N(2,0)的直线l与圆M交于A，B两点，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为( B )
A．8eq \r(,2)B．12
C．6eq \r(,5)D．9eq \r(,2)
【解析】 由题意知，圆心M(4,0)，半径r＝4，设AB的中点为D(x，y)，则ND⊥MD，即eq \(ND,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝0．又eq \(ND,\s\up6(→))＝(x－2，y)，eq \(MD,\s\up6(→))＝(x－4，y)，所以(x－2)(x－4)＋y2＝0，即点D的轨迹方程为E：(x－3)2＋y2＝1，圆心E(3,0)，半径为1，所以|PD|的最大值为|PE|＋1＝eq \r(,32＋42)＋1＝6．因为|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝2|eq \(PD,\s\up6(→))|，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为12．
6．(2023·潮州二模)(多选)已知圆M：x2＋y2－4x＋3＝0，则下列说法错误的是( ACD )
A．点(4,0)在圆M内
B．若圆M与圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝9
C．直线x－eq \r(,3)y＝0与圆M相离
D．圆M关于4x＋3y－2＝0对称
【解析】 圆M：x2＋y2－4x＋3＝0可化为(x－2)2＋y2＝1，圆心为O1(2,0)，半径为r1＝1．对于A，因为(4－2)2＋02＞1，所以点(4,0)在圆M外，故A错误；对于B，若圆M与圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0恰有三条公切线，则两圆外切，圆x2＋y2－4x－6y＋a＝0可化为(x－2)2＋(y－3)2＝13－a，圆心为O2(2,3)，半径为r2＝eq \r(,13－a)，a＜13．因为|O1O2|＝r1＋r2，所以eq \r(,2－22＋0－32)＝1＋eq \r(,13－a)，解得a＝9，故B正确；对于C，O1(2,0)到直线x－eq \r(,3)y＝0的距离为eq \f(|2－\r(,3)×0|,\r(,1＋3))＝1＝r1，则直线x－eq \r(,3)y＝0与圆M相切，故C错误；对于D，显然圆心O1(2,0)不在直线4x＋3y－2＝0上，则圆M不关于4x＋3y－2＝0对称，故D错误．
7．(2023·菏泽一模)(多选)已知圆O：x2＋y2＝4，则下列说法正确的有( BC )
A．对于∀m∈R，直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0与圆O都有两个公共点
B．圆O与动圆C：(x－k)2＋(y－eq \r(,3)k)2＝4有四条公切线的充要条件是|k|＞2
C．过直线x＋y－4＝0上任意一点P作圆O的两条切线PA，PB(A，B为切点)，则四边形PAOB的面积的最小值为4
D．圆O上存在三点到直线x＋y－2＝0的距离均为1
【解析】 对于A，因为(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，即m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))所以直线恒过定点(3,1)．又因为32＋12＞4，所以定点(3,1)在圆O外，所以直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个，故A错误；对于B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，又因为圆O的圆心O(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(k，eq \r(,3)k)，半径r2＝2，所以|OC|＞r1＋r2，即eq \r(,k2＋\r(,3)k2)＞4，解得|k|＞2，故B正确；对于C，SPAOB＝2S△OAP＝2×eq \f(1,2)×|OA|×|PA|＝2×eq \f(1,2)×|OA|×eq \r(,|OP|2－|OA|2)＝2eq \r(,|OP|2－4)，又因为O到P的距离的最小值为O到直线x＋y－4＝0的距离，即|OP|min＝eq \f(|－4|,\r(,2))＝2eq \r(,2)，所以四边形PAOB的面积的最小值为2eq \r(,2\r(,2)2－4)＝4，故C正确；对于D，因为圆O的圆心O(0，0)，半径r1＝2，则圆心O到直线x＋y－2＝0的距离为d＝eq \f(2,\r(,2))＝eq \r(,2)，所以r1－d＝2－eq \r(,2)＜1，所以圆O上存在两点到直线x＋y－2＝0的距离为1，故D错误．
8．(2023·淮南一模)已知圆O：x2＋y2＝9与圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为__2x＋3y－9＝0__；△ABC的面积为__eq \f(24,13)__．
【解析】 两圆方程相减得4x＋6y＝18，化简得2x＋3y－9＝0，故直线AB的方程为2x＋3y－9＝0．圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0变形得到(x－2)2＋(y－3)2＝4，圆心C(2,3)，半径为2，故圆心C(2,3)到直线AB的距离为d＝eq \f(|4＋9－9|,\r(,4＋9))＝eq \f(4\r(,13),13)，由垂径定理得|AB|＝2×eq \r(,22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(,13),13)))2)＝eq \f(12\r(,13),13)，故△ABC的面积为eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×eq \f(12\r(,13),13)×eq \f(4\r(,13),13)＝eq \f(24,13)．
9．( 2023·武汉武昌三模)已知点A(－2,0)，B(0,2)，动点M满足eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是__0或1 (只写一个即可)__．(写出一个符合题意的整数值)
【解析】 由题设知eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(MB,\s\up6(→))，即点M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1,1)，半径为eq \r(,2)，所以点M的轨迹为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，而(－1,1)到直线y＝x＋2的距离为d＝eq \f(0,\r(,2))＝0，即直线过圆心，所以M到直线y＝x＋2的距离的范围为[0，eq \r(,2)]，所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1．
10．(2023·合肥一检)已知AB为圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝3的一条弦，M为线段AB的中点．若|CM|2＋|OM|2＝3(O为坐标原点)，则实数m的取值范围是__[－eq \r(,2)，eq \r(,2)]__．
【解析】 设M(x，y)，因为圆C的圆心为C(2，m)，所以|CM|2＝(x－2)2＋(y－m)2，|OM|2＝x2＋y2，所以|CM|2＋|OM|2＝(x－2)2＋(y－m)2＋x2＋y2＝2x2－4x＋4＋2y2－2my＋m2．又因为|CM|2＋|OM|2＝3，则2x2－4x＋4＋2y2－2my＋m2＝3，所以x2－2x＋2＋y2－my＋eq \f(m2,2)＝eq \f(3,2)，即(x－1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(m,2)))2＝eq \f(2－m2,4)≥0,2－m2≥0⇒－eq \r(,2)≤m≤eq \r(,2)．当m＝eq \r(,2)时，M表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(,2),2)))，圆C：(x－2)2＋(y－eq \r(,2))2＝3，因为M为线段AB的中点，所以M在圆内，即(1－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)－\r(,2)))2＝eq \f(3,2)＜3，满足题意；当m＝－eq \r(,2)时，M表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(,2),2)))，圆C：(x－2)2＋(y＋eq \r(,2))2＝3，则(1－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,2),2)＋\r(,2)))2＝eq \f(3,2)＜3，满足题意；当－eq \r(,2)＜m＜eq \r(,2)时，M在以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(m,2)))为圆心，eq \f(\r(,2－m2),2)为半径的圆T上，且(1－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)－m))2＝1＋eq \f(m2,4)＜1＋eq \f(2,4)＝eq \f(3,2)＜3，所以圆T的圆心在圆C的内部，且eq \r(,1－22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(m,2)))2)＜eq \r(,3)－eq \f(\r(,2－m2),2)，即圆T与圆C内含，故圆T上所有的点落在圆C内，符合题意．故－eq \r(,2)≤m≤eq \r(,2)，所以实数m的取值范围是[－eq \r(,2)，eq \r(,2)]．
11．已知圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，直线l：kx－y－4k＝0，当k＝eq \f(\r(3),3)时，直线l与圆O恰好相切．
(1) 求圆O的方程；
【解答】 (1) 当k＝eq \f(\r(3),3)时，圆心O到直线l的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－4×\f(\r(3),3))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＋12))＝2，则r＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4．
(2) 若l被圆O截得的弦长为2，求l的方程；
【解答】 设圆心O到直线l的距离为d，则弦长为2eq \r(4－d2)＝2，所以d＝eq \r(3)，即eq \f(|－4k|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \f(\r(39),13)，所以l的方程为y＝±eq \f(\r(39),13)(x－4)．
(3) 若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在点P使得eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0，求k的取值范围．
【解答】 ①当直线l与圆O有公共点，即－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3)时，当点P与点M(或N)重合时满足eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0，符合题意．②当直线l与圆O无公共点时，即k＜－eq \f(\r(3),3)或k＞eq \f(\r(3),3)．由eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0可知，P在以MN为直径的圆上，设MN中点为Q(x0，y0)，则圆Q的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝1，由已知，圆Q与圆O有公共点，则1≤eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))≤3，只需O到直线l的距离d＝eq \f(|－4k|,\r(k2＋1))≤3，所以－eq \f(3\r(7),7)≤k＜－eq \f(\r(3),3)或eq \f(\r(3),3)＜k≤eq \f(3\r(7),7)．综上，k的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(7),7)，\f(3\r(7),7)))．
12．如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为50m．
(1) 建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
【解答】 以线段AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可得B(250,0)，H(0，100)，D(a,50)，a＞0，则圆心E在y轴上，设E(0，h)，设所求的圆的方程为x2＋(y－h)2＝r2，把点B，H的坐标代入，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2502＋0－h2＝r2，,0＋100－h2＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝\r(,2502＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(525,2)))2)，,h＝－\f(525,2)，))故要求的圆的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(525,2)))2＝2502＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(525,2)))2．
(2) 求桥面在圆拱内部分CD的长度．(eq \r(,2)≈1.41，eq \r(,3)≈1.73，结果精确到0.1m)
【解答】 把点D的坐标代入圆的方程，可得a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50＋\f(525,2)))2＝2502＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(525,2)))2，求得a＝eq \r(,3 3750)＝75eq \r(,6)≈75×1.73×1.41≈75×2.44≈183(m)，故CD的长度为2a＝366m．
B组 抓分题天天练
13．在∠A＝90°的等腰直角三角形ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(AF,\s\up6(→))＋μeq \(CE,\s\up6(→))，则λ＝( A )
A．－eq \f(2,3)B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(4,3)D．－1
【解析】 以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设B(2,0)，C(0,2)，则F(1,1)，E(1,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2,2)，λeq \(AF,\s\up6(→))＋μeq \(CE,\s\up6(→))＝λ(1,1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＋μ＝－2，,λ－2μ＝2，))所以λ＝－eq \f(2,3)．
(第13题)
14．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且tanα·csβ＝1＋sinβ，则( C )
A．sin(3α－β)＝1B．sin(3α＋β)＝－1
C．sin(2α－β)＝1D．sin(2α＋β)＝－1
【解析】 因为tanα·csβ＝1＋sinβ，所以eq \f(sinα,csα)·csβ＝1＋sinβ，即sinα·csβ＝csα＋sinβ·csα，sinα·csβ－sinβ·csα＝csα，即sin(α－β)＝csα＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2)，0＜eq \f(π,2)－α＜eq \f(π,2)，所以α－β＝eq \f(π,2)－α，即2α－β＝eq \f(π,2)，所以sin(2α－β)＝1，故C正确．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋5n，数列{bn}满足b1＝8，bn＝16bn＋1．
(1) 求证：数列{an}是等差数列．
【解答】 由Sn＝2n2＋5n，得n＝1时，a1＝S1＝2＋5＝7，当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2＋5(n－1)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n2＋5n－2(n－1)2－5(n－1)＝4n＋3．a1＝7适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋3．所以an＋1－an＝4(n＋1)＋3－4n－3＝4，n∈N*，所以{an}是等差数列．
(2) 是否存在常数p，q，使得对一切正整数n都有an＝lgpbn＋q成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，请说明理由．
【解答】 因为bn＝16bn＋1，所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(1,16)，所以数列{bn}是以8为首项，eq \f(1,16)为公比的等比数列，所以bn＝8·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))n－1＝27－4n．要使对一切正整数n都有an＝lgpbn＋q成立，即4n＋3＝lgp27－4n＋q＝(7－4n)lgp2＋q＝－4nlgp2＋7lgp2＋q，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝－4lgp2，,3＝7lgp2＋q，))解得p＝eq \f(1,2)，q＝10．故存在常数p＝eq \f(1,2)，q＝10，使得对一切正整数n都有an＝lgpbn＋q成立．
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