2023-2024学年吉林省长春市高新区慧谷学校九年级（上）第二次质检数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市高新区慧谷学校九年级（上）第二次质检数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是
A．B．C．D．
3．的值为
A．1B．C．2D．
4．某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为
A．米B．米C．米D．米
5．如图，的顶点、、均在上，若，则的大小是
A．B．C．D．
6．如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，，则
A．B．C．D．
7．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价（单位：元），且，每天售出商品的利润为（单位：元），则与的函数关系式是
A．B．
C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为
A．3B．C．4D．5
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9．已知的半径为，若，那么点在 ．
10．若一元二次方程无实根，则取值范围是 ．
11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是 ．
12．如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边．，测得边离地面的高度，，求树高是 ．
13．正方形网格中，如图放置，则的值为 ．
14．当或时，代数式的值相等，则当时，代数式的值为 ．
三、计算题（共78分）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）．
16．（6分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）若从中任意摸出一个球，摸出白球的概率为 ；
（2）先摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好一黄一白的概率（要求画树状图或列表）．（设红球为，黄球为，白球为
17．（6分）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．、、、四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图中，画出经过、、这三点的圆的圆心；
（2）在图中，的面积是 ；
（3）在图中，过点作的切线．
18．（7分）河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部3米，因暴雨水位上升，
（1）求抛物线的解析式．
（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为，宽为，暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．
19．（7分）如图，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点，
（1）求证：是的切线；
（2）过点作，交于点，连接，若，，求的半径长．
20．（7分）随着近几年我市私家车日益增多，超速行驶成为引发交通事故的主要原因之一．某中学数学活动小组为开展“文明驾驶、关爱家人、关爱他人”的活动，设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点，在笔直的车道上确定点，使和垂直，测得的长等于21米，在上的同侧取点、，使，．
（1）求、之间的路程（保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为12米秒若测得某校车从到用了2秒，这辆校车是否超速？请说明理由．
21．（8分）利用函数图象探究方程的实数根的个数．
（1）设函数，则这个函数的图象与直线的交点的 坐标（填横或纵）就是方程的实数根．
（2）分类讨论：当时，；当时， ；
（3）在给定的坐标系中，已经画出了当时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图象；
（4）在给定的坐标系中画直线，观察图象可知方程的实数根有 个
（5）深入探究：若关于的方程有3个实数根，则的取值范围是 ．
22．【教材原题】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、．
（1）若，则四边形的周长为 ．
（2）若，且，则四边形的面积为 ．
23．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动．连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结．设点的运动时间为．（1）用含的代数式表示的长．
（2）当点在边上运动时，求证：．
（3）当点在内部时，求的取值范围．
（4）当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）顶点的标为，点、点均在这个抛物线上，点的横标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．
（1） ， ；
（2）当点与点重合时，求点的坐标；
（3）当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵标的差为，求与之间的函数关系式；
（4）矩形的顶点分别为、、，，当点在点左侧且图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小或增大而增大时，直接写出的取值范围．
2023-2024学年吉林省长春市高新区慧谷学校九年级（上）第二次质检数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据抛物线的顶点式判断即可．
解：抛物线的顶点坐标是，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如的顶点坐标为是解题的关键．
2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是
A．B．C．D．
【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】详解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于，则，
即，
解得：，
．
故选：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用 定理、找准对应关系是解题的关键．
3．的值为
A．1B．C．2D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：原式，
故选：．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
4．某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为
A．米B．米C．米D．米
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以计算出书架第七层顶端离地面的高度．
解：由题意可得，
，米，，
，
（米，
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．如图，的顶点、、均在上，若，则的大小是
A．B．C．D．
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
解：，，
，
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，，则
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．
解：．
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质．
7．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价（单位：元），且，每天售出商品的利润为（单位：元），则与的函数关系式是
A．B．
C．D．
【分析】当每千克涨价元时，每千克盈利元，每天可销售千克，利用每天售出商品的利润每千克的销售利润日销售量，即可得出与的函数关系式，此题得解．
解：当每千克涨价元时，每千克盈利元，每天可销售千克，
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与的函数关系式是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为
A．3B．C．4D．5
【分析】依据题意，可得，，再由，从而，进而得解．
解：由题意，得，．
，
由两点距离公式可得：．
．
或5．
又，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，根据题意得到关于的方程是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9．已知的半径为，若，那么点在 外 ．
【分析】由题意可得，再根据点与圆的位置关系可求解．
解：，，
，
点在外．
故答案为：外．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握若圆的半径为，点与圆心的距离为，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外是解题的关键．
10．若一元二次方程无实根，则取值范围是 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
解：一元二次方程无实根，
△，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程无实数根”是解题的关键．
11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是 ．
【分析】先利用位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题．
解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，相似比为，
与的面积之比为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12．如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边．，测得边离地面的高度，，求树高是 9 ．
【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．
解：
，
，，，，
，
米，
米．
故答案为：9．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
13．正方形网格中，如图放置，则的值为 ．
【分析】先在的两边上找出两点、，使构成直角三角形，再根据正方形网格的特点及勾股定理求出的长，由锐角三角函数的定义即可求出的值．
解：由图可知连接、两点，此时恰好构成直角三角形，
设正方形网格的边长为1，则，，，
由锐角三角函数的定义可知：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知正方形网格的特点，能在的边上找出两点使恰好构成直角三角形是解答此题的关键．
14．当或时，代数式的值相等，则当时，代数式的值为 2 ．
【分析】根据题意列方程得到，得到，把代入得即可得到结论．
解：当或时，代数式的值相等，
，
，
（不合题意，舍去），，
，
，
把代入得，，
故答案为：2．
【点评】本题考查了代数式的求值，求得是解题的关键．
三、计算题（共78分）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）考查实数的运算能力，绝对值、三角函数、根式的计算是应用的主要内容．
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）
；
（2），
，
或，
，．
【点评】本题考查了解一元二次方程以及实数的运算，掌握因式分解法以及实数运算法则是解答本题的关键．
16．（6分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）若从中任意摸出一个球，摸出白球的概率为 ；
（2）先摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好一黄一白的概率（要求画树状图或列表）．（设红球为，黄球为，白球为
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，两次摸出的球恰好一黄一白的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球，
从中任意摸出一个球，摸出白球的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两次摸出的球恰好一黄一白的结果有4种，
两次摸出的球恰好一黄一白的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17．（6分）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．、、、四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图中，画出经过、、这三点的圆的圆心；
（2）在图中，的面积是 ；
（3）在图中，过点作的切线．
【分析】（1）连接，的中点即为所求；
（2）求出半径，可得结论；
（3）取格点，，连接，的中点，作直线即可（可以证明，推出．
解：（1）如图，点即为所求；
（2），
的面积．
故答案为：；
（3）如图，直线即为所求．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，切线的判定和性质，相似三角形的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
18．（7分）河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽时，水面离桥拱顶部3米，因暴雨水位上升，
（1）求抛物线的解析式．
（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为，宽为，暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入求出值，用其减去1求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即可得出结论．
解：（1）设抛物线的解析式为，
，，
，
解得，，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
，
暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点、、的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）．
19．（7分）如图，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点，
（1）求证：是的切线；
（2）过点作，交于点，连接，若，，求的半径长．
【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答；
（2）根据垂径定理可得，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
是的直径，
，
，
，
的半径长为6．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（7分）随着近几年我市私家车日益增多，超速行驶成为引发交通事故的主要原因之一．某中学数学活动小组为开展“文明驾驶、关爱家人、关爱他人”的活动，设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点，在笔直的车道上确定点，使和垂直，测得的长等于21米，在上的同侧取点、，使，．
（1）求、之间的路程（保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为12米秒若测得某校车从到用了2秒，这辆校车是否超速？请说明理由．
【分析】（1）与中，先根据锐角三角函数的定义求出及的长，再根据即可得出结果；
（2）先根据汽车从到用时2秒求出其速度，再与已知相比较即可．
解：（1）在中，米，，
（米；
在中，米，，
（米，
米；
（2）这辆校车超速；理由如下：
校车从到用时2秒，
速度为（米秒）米秒，
这辆校车在路段超速．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
21．（8分）利用函数图象探究方程的实数根的个数．
（1）设函数，则这个函数的图象与直线的交点的 横 坐标（填横或纵）就是方程的实数根．
（2）分类讨论：当时，；当时， ；
（3）在给定的坐标系中，已经画出了当时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图象；
（4）在给定的坐标系中画直线，观察图象可知方程的实数根有 个
（5）深入探究：若关于的方程有3个实数根，则的取值范围是 ．
【分析】（1）函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根；
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可，注意的取值范围；
（3）通过描点，连线，画出当时的函数图象即可；
（4）根据两个函数图象交点的个数，找出方程解的个数；
（5）根据两个函数图象相交产生的交点，比较交点横坐标的特征，加以分析即可求得．
解：（1）函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根．
故答案为：横．
（2）当时，，
故答案为：；
（3）当时，，
如图：
（4）如（3）的图象，直线的图象与的图象有三个交点，则可知方程的实数根有 3个．
故答案为3；
（5）根据图象可知当时，，
关于的方程有3个实数根，
即直线的图象与的图象有三个交点，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了方程与函数的关系．函数表达式就可以看成是方程，一元方程，两端都可以看成是函数，两个图象的交点就是方程的解．方程和函数的相互转化，深入的渗透在初中数学的解题过程中，需要同学们加强学习．
22．【教材原题】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、．
（1）若，则四边形的周长为 16 ．
（2）若，且，则四边形的面积为 ．
【分析】【教材原题】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论；
【应用】（1）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案；
（2）由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案．
【解答】【教材原题】证明：如图①，、、分别是、、的中点，
、分别是、的中位线，
，，
，
，
．
【应用】解：（1）如图②，、、、分别是、、、的中点，
，，
，
，
四边形的周长为16，
故答案为：16；
（2）如图③，、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
菱形是正方形，
，
故答案为：16．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
23．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动．连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结．设点的运动时间为．（1）用含的代数式表示的长．
（2）当点在边上运动时，求证：．
（3）当点在内部时，求的取值范围．
（4）当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值．
【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可；
（2）连接，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点的临界值时的值，从而得到的取值范围；
（4）画出符合题意的图形，利用的长度列出关于的方程解答即可．
【解答】（1）解：，，，
，
，
．
四边形为平行四边形，
．
①当时，，
②当时，．
（2）证明：连接，如图，
在中，为对角线的中点，
经过点，，
四边形为平行四边形，
，
．
在和中，
，
，
；
（3）解：①当点与点重合时，如图，
由题意得：为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
②当点落在边上时，如图，
由题意得：为等边三角形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
．
．
在和中，
，
，
，
，
，
，
当点在内部时，的取值范围为：．
（4）①当点在边上运动时，经过点时，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②当点在边上运动时，如果，则，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图，
，
，
．
综上，当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为1或．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线为常数）顶点的标为，点、点均在这个抛物线上，点的横标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．
（1） ， ；
（2）当点与点重合时，求点的坐标；
（3）当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵标的差为，求与之间的函数关系式；
（4）矩形的顶点分别为、、，，当点在点左侧且图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小或增大而增大时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得抛物线的解析式为，即可求解；
（2）根据点与点重合，可求出，即可求解；
（3）根据二次函数图象的性质可得图象的最低点的纵坐标为，然后分两种情况：当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时；当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，即可求解；
（4）首先根据点在点的左侧可得出的取值范围，其次根据点的运动可得出临界条件，当点在上时，当点在抛物线上时，分别求出的值即可得出结论．
解：（1）抛物线顶点的坐标为，
抛物线的解析式为，
，；
故答案为：，；
（2）点与点重合，
，
解得：，
当时，，
点的坐标为；
（3）抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
顶点在图象上，
图象的最低点的纵坐标为，
当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
综上所述，与之间的函数关系式为；
（4）点在点的左侧，
，即，
当点在点的左侧时，即时，如图3，
随着点从右运动时，
①当点在直线上，时，即舍），图象在矩形开始有图象，如图1；
②在点运动的过程中，图象在矩形内的图象随的增大而减小，如图3；
③当点在抛物线上时，图象在矩形没有图象，时，即舍），
当点在点的右侧时，即时，
④随着点的运动，点在抛物线上时，图象在矩形开始有图象，此时，时，即舍），如图4，
⑤随着点继续运动，图象在矩形内图象随的增大而增大，如图5，
综上所述，的取值范围为或．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．