2023-2024学年吉林省长春市净月高新区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市净月高新区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若式子 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x<1B. x>1C. x≤1D. x≥1
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. 2× 3= 6D. 12÷3=2
3.如图，AD/​/BE/​/CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，AB=8，DE=6，EF=9，则BC的长是( )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 9
4.已知关于x的一元二次方程x2−2x−b=0的一个解是x=−1，则方程的另一个解为( )
A. −2B. 2C. −3D. 3
5.如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为α，高为7米.则扶梯AB的长为( )
A. 7sinα米
B. 7sinα米
C. 7tanα米
D. 7tanα米
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB边上一动点，连结CD，将△BCD沿CD折叠，当点B落在AB边B′点时，若AC=2 3，则AB′的长是( )
A. 2B. 3C. 5D. 6
7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G.若AC=3，BC=4，AB=5，P为AB上一动点，则GP的最小值为( )
A. 32B. 43C. 53D. 54
8.如图，在平面直角坐标系中，点A、B都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，延长AB交y轴于点C，作BD⊥x轴于点D，连接CD、AD，并延长AD交y轴于点E.若AB=2BC，△DCE的面积是4.5，则k的值为( )
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算： 3⋅ 6=______．
10.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个不相等实数根，则m的取值范围是______ ．
11.在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同.从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是______ ．
12.如图，在平面直角坐标中，△ABC与△DEF是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为______．
13.如图，已知点D、E分别是AB、AC边上的点，且△ADE∽△ABC，相似比为1：3，AG⊥BC交DE于点F，则AF：AG= ______ ．
14.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图①)，可以发现数学的研究对象一一抛物线.在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA、OB的交点.点C为抛物线的顶点，点A、B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称.OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A、B两点之间的距离是4分米.分别延长AO、BO交抛物线于点F、E，则雨伞撑开时的最大直径EF的长为______ 分米．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.解方程：x2+2x−1=0．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：| 3−1|−2cs30°．
17.(本小题6分)
在一次试验中，每个电子元件
的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A，B之间电流能够通过的概率．
18.(本小题7分)
2023年杭州亚运会吉祥物是由琮琮、莲莲、宸宸共同组成“江南忆”组合.三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱.经统计，某商店7月份“江南忆”钥匙扣的销售量为256件，9月份的销售量为400件.求该款钥匙扣7月份到9月份销售量的月平均增长率．
19.(本小题7分)
如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形.(保留作图痕迹)
(1)如图1，在△ABC中，tanB= ______ ；
(2)如图2，在AC边上取一点D，使得tan∠ABD=12；
(3)如图3，在AC边上找一点E，使得S△ABE：S△BEC=3．
20.(本小题7分)
如图，在平行四边形ABCD中，连接DB，点F在BC边上，连接DF并延长，交AB的延长线于点E，且∠EDB=∠A．
(1)求证：△BDF∽△BCD；
(2)如果BC=7，BF=4，求BD的长．
21.(本小题8分)
在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一座高为3m的观景台DE，已知∠DCE=30°，点E、C、A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.求塔AB的高度.【参考数据：tan27°=0.5， 3=1.7】.
22.(本小题9分)
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
(1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
(2)【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD=6，CD=4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF= ______ ．
(3)【拓展提升】在平行四边形ABCD中，AB=14，点E是CD的中点，过点A作∠ABC平分线的垂线，垂足为点F，连结EF，若EF=3，则BC= ______ ．
23.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，M为BC中点，AB=6，BC=10，tanB=43.动点P从点M出发，沿M−B−A以每秒1个单位的速度向终点A运动.连结PM，过点P作PQ⊥PM，且PQ=2PM，连结QM，点A和点Q始终在直线BC的同侧.设运动的时间为t秒.(t>0)
(1)当点P沿M−B−A运动时，求BP的长(用含t的代数式表示)．
(2)当点Q落在AB边上时，求t的值．
(3)连结AQ，当AQ与平行四边形ABCD的边平行时，直接写出t的值．
24.(本小题12分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)，自变量x与函数值y的部分对应值如表：
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______ ，对称轴为直线______ ．
(2)求抛物线的解析式和m的值．
(3)将抛物线y=ax2+bx+c(x>0)的图象记为G1，将G1绕点O旋转180°后的图象记为G2，G1、G2合起来得到的图象记为G，完成以下问题：
①若直线y=k与函数G有且只有两个交点，直接写出k的取值范围．
②若对于函数G上的两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，当t≤x1≤t+1，x2≥2时，总有y1答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：式子 x−1在实数范围内有意义，则x−1≥0，
解得：x≥1．
故选：D．
直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解： 2与 3无法合并，则A不符合题意；
2 3− 3= 3，则B不符合题意；
2× 3= 2×3= 6，则C符合题意；
12÷3= 123=2 33，则D不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵AD/​/BE/​/CF，
∴AB：BC=DE：FE，
∵AB=8，DE=6，EF=9，
∴8：BC=6：9，
∴BC=12．
故选：C．
由平行线分线段成比例定理得到AB：BC=DE：FE，代入有关数据即可求出BC长．
本题考查平行线分线段成比例，关键是由平行线分线段成比例定理得到AB：BC=DE：FE．
4.【答案】D
【解析】解：设方程的另一个解为t，
根据题意得−1+t=2，
解得t=3．
故选：D．
设方程的另一个解为t，根据根与系数的关系得到−1+t=2，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根方程的另一个解时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
5.【答案】B
【解析】解：设扶梯的长度为x米，
根据题意，sinα=7x，
解得x=7sinα，
所以扶梯的长度为7sinα米．
故选：B．
设扶梯AB的长度为x米，利用正弦的定义得到sinα=7x，然后求出x即可．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
6.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=2 3，
∴BC=AC 3=2 3 3=2，AB=2BC=4，∠B=90°−∠A=60°，
由折叠得：BD=B′D，∠CDB=∠CDB′=90°，
∴∠BCD=90°−∠B=30°，
∴BD=12BC=1，
∴BD=B′D=1，
∴AB′=AB−BD−B′D=2，
故选：A．
在Rt△ABC中，利用含30°角的直角三角形的性质可得BC=2，AB=4，∠B=60°，然后再利用折叠的性质可得BD=B′D，∠CDB=∠CDB′=90°，从而可得∠BCD=90°−∠B=30°，再在Rt△BCD中，利用含30°角的直角三角形的性质可得BD=1，从而可得BD=B′D=1，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了翻折变化(折叠问题)，含30°角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，过点G作GH⊥AB于点H．
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，
由作图过程可知：BG平分∠ABC，GC⊥BC，GH⊥AB，
∴GH=GC，
设GH=GC=x，则有12×5⋅x+12×4⋅x=12×4×3，
∴x=43，
∴GH=43，
∵P为AB上一动点，
则GP的最小值为43，
故选：B．
过点G作GH⊥AB于点H.证明GH=GC，利用面积法求出GH即可．
本题考查了作图−基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
8.【答案】C
【解析】解：过点B作BG⊥y轴点G，AH⊥y轴于点H，
设点B(m,n)，k=mn，
则BG/​/AH，则△CGB∽△CHA，
则BGAH=CGCH=BCAC，即mAH=13，
即AH=3m，
则k=mn=3m⋅yA，则yA=13n，
则点A(3m,13n)，则点D(m,0)，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=−2n3m(x−m)+n，
则点C(0,4n3)，
由点A、D的坐标得，直线AB的表达式为：y=n6mx−n6，
则点E(0,−n6)，则CE=32n，
∵△DCE的面积=12CE⋅xD=12×32n×m=4.5，
则mn=6=k，
故选：C．
过点B作BG⊥y轴点G，AH⊥y轴于点H，证明△CGB∽△CHA，得到mAH=13，即AH=3m，求出点A(3m,n)，则C(0,4n3)，点E(0,−n6)，利用由△DCE的面积即可求解．
本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学思想．
9.【答案】3 2
【解析】解： 3× 6
= 3×6
=3 2．
故答案为：3 2．
直接利用二次根式乘法运算法则求出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
10.【答案】m<14
【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=12−4m>0，
解得，m<14．
故答案为：m<14．
根据一元二次方程根的判别式知识求解，方程有两个不相等实根，Δ>0即可求解．
本题考查一元二次方程根的判别式知识．由根的判别式构建关于参数的不等式是解题的关键．
11.【答案】710
【解析】解：从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是77+3=710，
故答案为：710．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
12.【答案】(2,2)
【解析】解：如图所示：位似中心点P的坐标为(2,2)．
故答案为：(2,2)．
直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
13.【答案】1：3
【解析】解：∵△ADE∽△ABC，
∴∠B=∠ADE，
∴DE/​/BC，
∵AG⊥BC，
∴AF⊥DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴AF：AG=AD：AB，
∵△ADE和△ABC的相似比为1：3，
∴AD：AB=1：3，
∴AF：AG=1：3．
故答案为：1：3．
由相似三角形的性质推出∠B=∠ADE，因此DE/​/BC，由AG⊥BC，得到AF⊥DE，由相似三角形的性质推出AF：AG=AD：AB，而AD：AB=1：3，即可得到AF：AG=1：3．
本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．
14.【答案】10
【解析】解：由题意题意，设抛物线解析式为：y=ax2+1，将A(2,0.6)坐标代入解析式得：4a+1=0.6，
解得：a=−0.1，
抛物线解析式为：y=−0.1x2+1．
又设直线OA解析式为y=kx，将A(2,0.6)坐标代入得，0.6=2k，解得k=0.3，
∴直线OA解析式为：y=0.3x．
联立函数解析式：y=0.3xy=−0.1x2+1，
解得：x=−5y=−1.5或x=2y=0.6(不符合题意舍去)，
∴点F坐标为(−5.−1.5)．
又抛物线的对称轴是y轴，
∴点E的坐标为(5,−1.5)．
∴EF=5−(−5)=10．
故答案为：10．
依据题意，设抛物线解析式为：y=ax2+1，，A(2,0.6)，求出抛物线解析式，然后求出直线OA解析式，可得与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段EF长．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
15.【答案】解：方程变形得：x2+2x=1，
配方得：x2+2x+1=2，即(x+1)2=2，
开方得：x+1=± 2，
解得：x1=−1+ 2，x2=−1− 2．
【解析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16.【答案】解：原式= 3−1−2cs30°
= 3−1−2× 32
=−1
【解析】先计算绝对值，三角函数的值，再计算加减．
本题考查实数的运算，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是掌握实数的混合运算法则，记住特殊角的三角函数值．
17.【答案】解：画树状图如下：

由树状图知，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，
∴A、B之间电流能够正常通过的概率为．
【解析】画树状图，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；正确画出树状图是解题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：设该款钥匙扣7月份到9月份销售量的月平均增长率为x，
由题意得：256(1+x)2=400，
解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍去)，
答：该款钥匙扣7月份到9月份销售量的月平均增长率为25%．
【解析】设该款钥匙扣7月份到9月份销售量的月平均增长率为x，根据某商店7月份“江南忆”钥匙扣的销售量为256件，9月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】1
【解析】解：(1)由勾股定理得，AC=AB= 32+12= 10，BC= 22+42=2 5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴tanB=ACAB=1．
故答案为：1．
(2)由(1)可知，AC=AB，∠BAC=90°，
如图2，取AC的中点D，连接BD，
则tan∠ABD=ADAB=12ACAB=12，
则点D即为所求．
(3)如图3，取格点M，N，使CM=1，AN=3，CM/​/AN，连接MN交AC于点E，
则△CME∽△ANE，
∴AECE=ANCM=3，
∵S△ABE=12AE⋅AB，S△BEC=12EC⋅AB，
∴S△ABE：S△BEC=3，
则点E即为所求．
(1)利用勾股定理可得AC=AB，∠BAC=90°，则tanB=ACAB=1．
(2)取AC的中点D，结合三角函数的定义可知，点D即为所求．
(3)取格点M，N，使CM=1，AN=3，CM/​/AN，连接MN交AC于点E，可得△CME∽△ANE，则AECE=ANCM=3，进而可得S△ABE：S△BEC=3，即点E为所求．
本题考查作图—应用与设计作图、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握解直角三角形、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠EDB=∠A，
∴∠EDB=∠C，
∵∠DBF=∠CBD，
∴△BDF∽△BCD；
(2)解：∵△BDF∽△BCD，
∴BCBD=BDBF，
∴BD2=BC⋅BF=7×4=28，
∴BD=2 7．
【解析】(1)利用平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
(2)利用相似三角形的性质解答即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，∠DCE=30°，∠DEC=90°，
DE=3m，
∴CE= 3DE=3 3m，
∵BA⊥EA，
在Rt△ABC中，∠BCA=45°，AB=h m，
∴AC=ABtan45∘=h m，
∴AE=EC+AC=(3 3+h)m，
过点D作DF⊥AB于点F，
由题意得：DE=FA=3m，DF=EA=(3 3+h)m，
∵AB=h m，
∴BF=AB−AF=(h−3)m，
在Rt△BDF中，∠BDF=27°，
∴BF=DF⋅tan27°=0.5(33+h)m，
∴h−3=0.5(3 3+h)，
∴h=3 3+6=11.1，
∴AB=11.1m，
∴塔AB的高度约为11.1m．
【解析】根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质得CE= 3DE=3 3m，过点D作DF⊥AB，垂足为F，设AB=hm，根据题意得：DF=EA=(3 3+h)m，DE=FA=3m，则BF=(h−3)m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22.【答案】 10 4或10
【解析】(1)证明：如图①，在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ADAB=AEAC=12，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，DEBC=ADAB=12，
∴DE/​/BC，DE=12BC．
(2)解：如图②，连接AR，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵点R是CD的中点，CD=4，
∴DR=12CD=2，
∵AD=6，
∴AR= AD2+DR2= 62+22=2 10，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF=12AR= 10，
故答案为： 10．
(3)解：延长AD交∠ABC平分线于点G，延长FE交AB于点H，如图③，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AB=CD=14，
∴∠G=∠CBG，
∴∠G=∠ABG，
∴AG=AB=14，
∵AF⊥BG，
∴BF=FG，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴CEDE=BFFG=1，
∴EF//BC//AG，
∴FHAG=BFBG=12，
∴FH=12AG=7，
∵EF=3，
∴EH=FH−EF=7−3=4，
∵EF/​/BC，AB/​/CD，
∴四边形BCEH是平行四边形，
∴BC=EH=4；
如图④，
同理可得：FH=12AG=7，
∵EF=3，
∴EH=FH+EF=7+3=10，
∵EH//BC，AB/​/CD，
∴四边形BCEH是平行四边形，
∴BC=EH=10；
综上所述，BC=4或10，
故答案为：4或10．
(1)利用两边对应成比例和一个公共角证明△ADE∽△ABC，即可证明结论；
(2)连接AR，利用勾股定理求得AR，再根据三角形中位线定理即可求解；
(3)分点F在平行四边形ABCD内部和外部两种情况，延长AD交∠ABC平分线于点G，延长FE交AB于点H，由平行四边形的性质和角平分线的性质易得∠G=∠ABG，于是AG=AB=14，根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BG，BF=FG，于是由三角形中位线定理FH=12AG=7，进而求出EH，即可得到BC的值．
本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵BC=10，M是BC中点，
∴BM=12BC=5，
∵点P的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t，
当点P在BM上运动时，PM=t，
∴BP=5−t，
当点P在BA上运动时，BM+BP=t，
∴BP=t−5，
综上，BP=5−t(0(2)如图1，当Q在AB边上时，

在Rt△QPM中，
MP=t，PQ=2t，
在Rt△QPB中，tanB=43，
∴QPBP=43，
∴BP=32t，
∵BM=MP+BP=5，
∴t+32t=5，
∴t=2；
(3)由题意可知，当点Q在直线AB或直线AD上时，AQ与平行四边形ABCD的边平行，
分三种情况：①当点Q在线段AB上时，由(2)可得t=2；
②当点Q在DA延长线上时，如图2，

过A作AN⊥BC于N，
∵AB=6，tanB=43，AN=PQ=2t，
∴BN=32t，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AN2+BN2=AB2，
∴(2t)2+(32t)2=62，
解得：t=125，
③当点Q在BA延长线上时，如图3，

∵BP=t−5，tanB=43，
∴PM=43(t−5)，
在Rt△BPM，由勾股定理得：BP2+PM2=BM2，
∴(t−5)2+[43(t−5)]2=52，
解得：t=8，
综上所述，当AQ与平行四边形ABCD的边平行时，t的值为2或125或8．
【解析】(1)根据点P的运动路线分点P在BM上和在BA上两种情况分别用含t的代数式表示出BP的长即可；
(2)根据∠B的正切值在直角三角形BPQ中构建边角关系得到关于t的等式即可求出t值；
(3)分点Q在AB上，点Q在DA延长线上和点Q在BA延长线上三种情况进行讨论分别求出t值即可．
本题是四边形综合题，主要考查平行四边形的性质，锐角三角函数的意义，勾股定理以及分类讨论思想，深入理解题意是解决问题的关键．
24.【答案】开口向上 x=1
【解析】解：(1)由表格数据知，其对称轴为直线x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
故抛物线开口向上，
故答案为：开口向上，x=1；
(2)设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+k，代入(0,−2)、(3,1)得：y=(x−1)2−3，
将(1,m)代入上式，得：m=−3；
(3)①如下图，从图象看，当k的值为−3或3或−2≤k≤2时，直线y=k与函数G有且只有两个交点，
②当点P在y轴右侧和点Q(x=2)之间以及在点R的左侧时，总有y1当点P在y轴右侧和点Q(x=2)之间时，
则t+1<2且t>0，
即0当点P在点R的左侧时，
根据函数的对称性，y轴右侧抛物线的表达式为：y=−x2−2x+2，
当x=2时，y=(x−1)2−3=−2，
当y=2=−x2−2x+2，
则xR=−1− 5(正值已舍去)；
则t+1即t<−2− 5，
综上，0(1)由表格数据，根据函数的图象和性质即可求解；
(2)用待定系数法即可求解；
(3)①画出函数图象，观察函数图象即可求解；②当点P在y轴右侧和点Q(x=2)之间以及在点R的左侧时，总有y1本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形的旋转、解不等式，熟悉函数的图象和性质以及数形结合和分类求解是解题的关键．猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．
根据画出的图形，可以猜想：
DE/​/BC，且DE=12BC．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
x
0
1
2
3
…
y
−2
m
−2
1
…