湖南省常德市澧县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份湖南省常德市澧县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了已知，且，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．某园林公司从外地购进某种树苗，为了解该种树苗的移植成活率，现对购进的第一批树苗进行随机抽样并统计，结果如图所示．

若该公司第二批还需种植成活2700棵该种树苗，根据统计结果，则第二批树苗购买量较为合理的是（ ）
A．2430棵B．2700棵C．3000棵D．3140棵
4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．B． C．D．
5．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（ ）步而见木．

A．205B．215C．305D．315
6．如图，在中，弦相交于点P，若，，则的大小是（ ）

A．B．C．D．
7．已知，且，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．已知抛物线与轴有且只有一个公共点，则 ．
10．已知是一元二次方程的两根，则 ．
11．已知，则＝ ．
12．已知函数是二次函数，则m＝ ．
13．如图，若反比例函数的图像经过点A，轴于B，且的面积为3，则k的值为 ．
14．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为，则夹角的正弦值为 ．
15．江南水乡苏州现存100多座石拱桥，已知（如图）一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，则水面宽 ．
16．如图，在四边形中，，平分交于，且，．如果的面积为2，那么四边形的面积是 ．

三、解答题（共10小题，满分72分）
17．计算：．
18．解方程：
19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)根据图象，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
20．某商场经销A玩具，购进时的单价是60元．按照要求，销售时单件利润率不得超过．根据市场调查，销售单价定为80元时，每天可以卖出200件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出20件．求销售单价定为多少时，该商场每天销售A玩具可以获利2500元．
21．安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．

(1)宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
(2)该市约有万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；
(3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
22．如图，是的外接圆，，平分交于E，过B作的延长线于D．

(1)若，求证：；
(2)若，，求的长度．
23．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长. （结果精确到，参考数据：）
24．2023年5月8日，国产大飞机商业首航完成，12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？
25．如图,在矩形ABCD中，，，动点M以的速度从A点出发,沿向点B运动,同时动点N以的速度从点D出发,沿DA向点A运动，设运动的时间为秒（）．
(1)当为何值时，的面积等于矩形面积的？
(2)是否存在某一时刻,使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由．
26．已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；
（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可.形如：y＝()或或的函数是反比例函数．
【详解】A. ，是反比例函数，不符合题意；
B. ，是反比例函数，不符合题意；
C. ，不是反比例函数，符合题意；
D. ，是反比例函数，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．
2．A
【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解．
【详解】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小，
∴点和中，，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查用样本估计总体，观察统计图确定第一批树苗的平均成活率，并作为第二批树苗的成活率，则可计算第二批大致的购买量．关键是观察统计图，成活率在附近摆动，则确定出样本的成活率．
【详解】解：观察统计图知，第一批树苗的平均成活率为，
则第二批应购买的树苗为：（棵）
故较为合理的购买量为3000棵，
故选：C．
4．B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案．
【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：里，里，里，
如图，
，，，经过点，
，，
，，
，
，
里，里，里，
，
里，
1里步，
步，
出南门315步而见木，
故选：D．
6．A
【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形外角的性质得到的大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A
【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等和三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
7．C
【分析】根据题意画出图形，设，，求出，即可求解．
【详解】解：如图，

∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及到勾股定理，熟记公式是关键．
8．B
【分析】根据上图可知正方形的边长为a+b，下图长方形的长为a+b+b，宽为b，并且它们的面积相等，由此可列出（a+b）2=b(a+b+b)，解方程即可求得结论．
【详解】解：根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，
则（a+b）2=b(a+b+b)，即a2﹣b2+ab=0，
∴，
解得：，
∵＞0，
∴，
∴当a=1时，，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．
9．1
【详解】试题解析：∵抛物线与轴有且只有一个公共点，
∴Δ=b2-4ac=22-4×1×m=4-4m=0,
解得：m=1.
10．
【分析】本题考查利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，涉及一元二次方程根与系数的关系，通分，代数式求值等知识，读懂题意，将所求代数式与根与系数的关系联系起来是解决问题的关键
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的等比性质：如果，且那么，是解题的关键．
根据比例的等比性质求解即可．
【详解】解：，且，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】根据二次函数的定义得出且，求出即可．
【详解】解：函数是二次函数，
且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是能熟记二次函数的定义即：表示形式为．
13．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，结合图像的分布计算即可．
【详解】设，
则，，
∵的面积为3，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据三角形面积确定反比例函数比例系数k，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．##
【分析】利用网格求出和的长，同时得到，再利用正弦的定义计算即可．
【详解】解：连接，
如图，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，则，由垂径定理可得，求出，再利用勾股定理计算出，即可得解，熟练掌握垂径定理及勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，则，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是延长，交于点，证明，可知，，可求出，根据知且相似比为，根据相似三角形性质可得，利用可得．
【详解】解：延长，交于点，

平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
根据题意，先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，绝对值，最后合并，整理，得到答案．
【详解】解：
．
18．
【分析】把常数项12移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-8的一半的平方．
【详解】解：移项得：
配方得：
即
开平方得：
解得：
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
19．(1)，
(2)或
【分析】（1）先将代入求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得，
反比例函数表达式为；
在的图象上，
，
解得，
，
将，代入，
得：，
解得：，
一次函数的表达式为．
（2）解：由（1）知与的图象交于点，，
由图可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，并且熟练运用数形结合思想．
20．单价定为65元时，该商场每天销售A玩具可以获利2500元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设销售单价定为x元，则每件的销售利润为元，利用该商场每天销售A玩具获得的利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设销售单价定为x元，则每件的销售利润为元，每天可以卖出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
销售时利润不超过，
，
不符合题意，舍去．
．
答：单价定为65元时，该商场每天销售A玩具可以获利2500元．
21．(1)宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多，占抽取人数的
(2)万人
(3)小明分析数据的方法不合理，见解析
【分析】本题考查了统计与分析，旨在考查学生的数据处理能力．
（1）根据统计表中的数据即可求解；
（2）计算出样本中“都不戴”安全帽的人数占比即可求解；
（3）应从“都不戴”安全帽的人数占比去分析数据．
【详解】（1）解：宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多，占抽取人数的．
（2）解：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数约为：（万人）．
（3）解：小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电动车“都不戴”安全帽的百分比：
．
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：，
∵．
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
22．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．
（1）根据等边对等角，圆周角相等即可证明；
（2）先利用勾股定理得出，再根据角平分线以及圆周角定理证明是等腰直角三角形，问题随之得解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵在中，，，，
∴，是的直径，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
23．21
【分析】过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E，
由题意得：（米），（米），，
∴，
∵，
∴，
在中， （米），
在中，（米），
∴（米），
∴（米），
∴小李到古塔的水平距离即的长约为21米．
24．消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米
【分析】本题考查二次函数与实际问题，根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题．
【详解】解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，
根据题意得，，将其代入得：，解得，
，
经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的，
经过点，的抛物线的顶点为，
经过点，的抛物线的解析式为，
将代入，得，，
消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米．
25．(1)或
(2)或
【分析】（1）由的面积等于矩形面积的，可得，即可求得或
（2）与相似，分为两种情况讨论即可得到或
【详解】（1）由题意可知:，
∴
∵的面积等于矩形面积的
∴
解之得:，
∴或时，的面积等于矩形面积的
（2）存在．理由如下：
∵与相似
∴分为两种情况：
①当时
∴，即
解得：
②当时
∴，即
解得：
综上所述,当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似
【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题和平行四边形的动点问题，熟练掌握相似三角形的性质和矩形的性质是解决问题的关键
26．（1）（2）P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）（3）M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）
【详解】试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线x=﹣1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
试题解析：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4），
当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），
将A、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）PQ=2AO=8，
又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，
PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，
当x=﹣5时，y=×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣）；
﹣1+4=3，即Q（3，﹣）；
P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）；
（3）∠MCO=∠CAB=45°，
①当△MCO∽△CAB时，，即，
CM=．
如图1，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=，
当x=﹣时，y=﹣+4=，
∴M（﹣，）；
当△OCM∽△CAB时，，即，解得CM=3，
如图2，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=3，
当x=﹣3时，y=﹣3+4=1，
∴M（﹣3，1），
综上所述：M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）．
考点：二次函数综合题