湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 计算的值为， 已知，则， 已知，若，则等内容，欢迎下载使用。

考试范围：必修第一册 第一章-第四章
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解.
【详解】由集合，
集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故.
故选：B.
2. 命题“，都有”的否定为（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，都有D. ，都有
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定知识即可求解.
【详解】由“，使得”的否定为“，使得”，故A正确.
故选：A.
3. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以的两根是或2，由韦达定理可得：，
所以可转化为，解得或.
所以原不等式的解集为，
故选：B.
4. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.
【详解】因为函数在区间上单调递减，
所以，解得
故选：D
5. 是定义在上的函数，那么下列函数：①；②；③中，满足性质“存在两个不等实数，使得”，的函数个数为（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，使得．
【详解】对于①，，故①符合；
对于②，假设存在不相等，使得，
即，则，
得，这与矛盾，故②不符合；
对于③，，故③符合.
故选：C.
【点睛】方法点睛：证明存在性命题，只需找到满足条件的特殊值即可，反之需要证明不存在，一般考虑反证法，先假设存在，推出矛盾即可.
6. 计算的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数运算法则、换底公式、对数恒等式运算即可.
【详解】
.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数和对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为幂函数在上单调递增，，所以，即，
因为对数函数在单调递减，，所以，即，
所以，
故选：C.
8. 设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需，
依题意，方程有6个不同的实数解，
令，则有两个不相等的实数根，
且，令，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：B
【点睛】含有绝对值的指数函数图象（如，且，）的画法如下：先画出的图象，然后向下平移个单位，得到的图象，然后保留轴上方的图象，轴下方的图象关于轴对称向上翻折，从而得到的图象.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，若，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为1
C. 的最小值为8D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】对于，由，即，
当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确；
对于，因为，
当且仅当时，取到最小值，所以B错误；
对于C，因为，所以，
当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；
对于，当且仅当，且，
即时，取等号，所以正确.
故选：ACD.
10. 已知函数满足对任意x，，恒有，且当时，，．则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是定义在R上的奇函数
C. 上单调递增
D. 若对任意，恒成立，则实数m的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】利用赋值法计算判断A；赋值得，结合定义判断函数的奇偶性判断B；利用定义作差判断函数的单调性判断C；根据不等式恒成立，结合以及一次函数的性质求解判断D.
【详解】函数，对任意x，，恒有，
对于A，令，则，A正确；
对于B，令，则，有，
，令，则有，是上的奇函数，B正确；
对于C，，则，而当时，，则有，
因此，则有，
即函数上单调递减，C错误；
对于D，由选项BC知，在上单调递减，且是上的奇函数，当时，，
又对所有的恒成立，
即对恒成立，
令函数，因此对恒成立，
于是，解得或或，
所以实数m的取值范围是，D错误.
故选：AB
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，
①若，总有成立，则；
②若，总有成立，则；
③若，使得成立，则；
④若，使得成立，则.
11. 已知函数，且，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. 函数的图象关于点对称D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】由，解得，从而判断A；根据奇函数的定义判断B；通过判断是否成立判断C；判断出函数在R上单调递增，将原不等式转化为，求解后判断D.
【详解】解：因为，所以，解得，故A错误；
所以，
因为，
所以是奇函数，故B正确；
因为，
所以函数的图象不关于点对称，故C错误；
因为，
易知在R上单调递增，
所以，解得，
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：如果，则函数关于点中心对称.
12. 设常数，函数，若方程有三个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的取值范围为D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】画出函数的图象，判断的取值范围；利用对数函数的性质和对数的运算性质得到，和；由，可得或3或18，从而可解不等式.
【详解】由解析式可得的图象如图所示，
有三个不等实根等价于与有三个不同交点，
由图象可知，A正确；
由，得，
即，B正确；
，则，C错误；
令，可得或3或18，
由图知不等式的解集为，D正确．
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是__________．
【答案】且且
【解析】
【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由元素的互异性，可知，
解得:且且.
故答案为：且且
14. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.
【详解】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
15. 若，则方程在内的所有实根之和为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，直接求出在上的解析式，再联立方程，求出所有实根，即可求出结果.
【详解】因为，
当时，，由，得到，
即，解得或（舍），
当时，，由，得到，
即，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或，
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或，
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或，
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或，
综上所述，方程在内的所有实根之和为，
故答案为：.
16. __________.
【答案】
【解析】
【分析】由对数运算法则和指数运算法则计算出结果.
【详解】.
故答案为：4
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设全集为，，.
（1）求；
（2）若,,求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合运算即可求解；
（2）由得到，借助集合的包含关系即可求解.
【小问1详解】
全集为R，
，
，
所以 .
【小问2详解】
，
因为 ，
所以 ，
由题意知 ，
解得 ，
所以实数的取值范围是.
18. 已知函数，不等式的解集是.
（1）求的解析式；
（2）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式转化为一元二次方程的解求待定系数；
（2）问题转化为一元二次不等式在给定区间内有解，进一步转化为二次函数在给定区间内的值域问题.
【小问1详解】
因为不等式的解集是
所以0，5是方程的两个实数根，
可得.
所以.
【小问2详解】
由，得，即.
令，
由题可知有解，即即可.
当时，，显然不合题意.
当时，图象的对称轴为直线.
①当时，在上单调递减，
所以，解得；
②当时，在上单调递增，
所以，解得.
综上，的取值范围是.
19. 已知定义在上的函数，对于，恒有.
（1）求证：是奇函数；
（2）若是增函数，解关于x的不等式.
【答案】19. 证明见解析
20. 答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用赋值法求出，再令结合奇函数的定义即可判断；
（2）利用单调性，将不等式转化为，然后对进行分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可．
【小问1详解】
取，则，解得，
取，则，
所以，
故为奇函数；
【小问2详解】
不等式，即，
又为上的单调递增函数，
则，即，
当时，不等式的解集为；
当时，解得，不等式的解集为．
当时，解得，不等式的解集为．
20. 汉服文化是反映儒家礼典服制的文化总和，通过祭服、朝服、公服、常服以及配饰体现出来．汉服文化从三皇五帝延续（清代被迫中断），通过连绵不断的继承完善着自己，是一个非常成熟并自成体系的千年文化．在当代，汉服文化正在通过汉服运动这一民间文化运动形式逐渐复兴．近年来，盛行汉服沉浸式体验，人们喜欢身着汉服在充满传统文化特色的古镇游览拍照．近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量H（件）与日租赁价格S（元/件）都是时间t（天）的函数，其中（），．每件汉服的综合成本为10元．
（1）写出该店日租赁利润W与时间t之间的函数关系；
（2）求该店日租赁利润W的最大值．（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本）
【答案】（1）
（2）315
【解析】
【分析】（1）由题意得到，得到函数关系式；
（2）分与两种情况，结合二次函数和对勾函数单调性，求出最大值.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
当时，，
当时，W取得最大值，最大值为，
当时，
，
令，解得，
由对勾函数性质可知在上单调递减，
在上单调递增，
且当时，，
当时，，
由于，
故时，W的最大值为，
因为，所以该店日租赁利润W的最大值为315元．
21. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）4 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据指数的运算性质即可化简计算；
（2）利用换底公式，换成已知对数即可化简求值.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
.
22. 已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设．
（1）求实数，的值；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得，
（2）利用换元法可得满足不等式，即可，再利用二次函数单调性求得实数的取值范围为.
（3）根据题意由方程有四个不同实数解，转化为方程有两个不相等的正实数根，，利用韦达定理即可求得的取值范围为.
【小问1详解】
由可知关于对称，又，
所以函数在上单调递增，可得，即，
解得，.
【小问2详解】
由（1）可知，则不等式，
可化为，所以，
即，令，又，可得，
即，显然函数，为对称轴，
所以在上单调递增，
由题意得，即可，
所以，所以的取值范围为.
【小问3详解】
，所以，
即为，可化为：
，令，即
，所以关于的方程
有四个不同的实数解等价于有两个不相等的
正实数根，，满足，，
解得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】求解不等式恒（能）成立的问题时，一般先通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数的取值范围.