2022-2023学年山西省阳泉市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山西省阳泉市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数(m2−2m)+mi是纯虚数，则实数m的值为( )
A. 0B. 2C. 3D. 0或2
2.柜子里有三双不同的鞋，从中任取两只，取出的鞋都是一只脚的概率是( )
A. 13B. 15C. 25D. 45
3.对于两个不共线的向量a和b，下列命题中正确的是( )
A. |a⋅b|>|a|⋅|b|
B. |a+b|≥|a|+|b|
C. 若a和b同向，且|a|>|b|，则a>b
D. 若|a|=|b|，则向量a+b平分a和b的夹角
4.菱形ABCD中，AB=2，A=60∘，若AM=12AC,DN=13DB，则|NA+NB+NC+ND|=( )
A. 23B. 43C. 53D. 73
5.关于事件的相互独立性，下列命题不正确的是( )
A. 若A，B，C三个事件两两相互独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
B. 若事件A和B相互独立，则A和B−也相互独立
C. 一个必然事件和任意一个事件都相互独立
D. 若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立
6.已知复数z1=m+(4−m2)i,z2=2csθ+(λ+3sinθ)i,(m,λ,θ∈R)，且z1=z2，则λ的取值范围是( )
A. [−916,1]B. [−916,7]C. [−916,+∞)D. [1,7]
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
7.下列命题不正确的是( )
A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C. 所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥
D. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列命题正确的是( )
A. A1B⊥平面A1DCB1
B. 平面A1BC1⊥平面A1DCB1
C. B1D⊥平面A1BC1
D. A1B与平面A1DCB1所成的角是30∘
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.已知向量a=(3,−2),b=(1,−m),c=(2,1)，b−a与c共线，则m=______ .
10.一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量(单位：kg)，结果如下：83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，
94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104.
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求)，则每天应该进______ 千克的苹果.
11.如图，圆锥PO的底面直径和高均是1，过PO的中点O′作平行与底面的截面，再挖掉一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的表面积是______ .
12.如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ，m是DE方向的单位向量.请你利用所学向量知识，补充完整以下θ与△ABC的边和角之间的关系式：acs(B−θ)+bcs(A+θ)=______ .
四、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题12分)
近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，对人群的心血管安全构成威胁.国际上常用身体质量指数BMI=体重(kg)身高2(m2)来衡量人体胖瘦程度是否健康.某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民的体检数据，得到相应的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的中位数；
(2)现利用分层抽样的方法，从样本[16,20),[24,28)两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的BMI值不在同一组的概率.
14.(本小题14分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinAsinB−cs(A−B)= 22.
(1)求角C的大小；
(2)已知b=4，△ABC的面积为6，求sinB的值.
15.(本小题14分)
如图，平面ABCD与平面BDEF交于BD，DE⊥平面ABCD，EF//平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且DE=EF= 22AB.
(1)求证：BF//平面AEC；
(2)求证：DF⊥平面AEC.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为复数(m2−2m)+mi是纯虚数，所以m2−2m=0m≠0，解得m=2.
故选：B.
根据复数的概念列方程求解即可得实数m的值．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设三双不同的鞋分别为(a1,a2)，(b1,b2)，(c1,c2)，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，
从中任取两只有(a1,a2)，(b1,b2)，(c1,c2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,c1)，
(a1,c2)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,c1)，(a2,c2)，(b1,c1)，(b1,c2)，(b2,c1)，(b2,c2)，共15种，
其中取出的鞋都是一只脚的有(a1,b1)，(a1,c1)，(a2,b2)，(a2,c2)，(b1,c1)，(b2,c2)，共6种，
所以取出的鞋都是一只脚的概率是615=25.
故选：C.
设三双不同的鞋分别为(a1,a2)，(b1,b2)，(c1,c2)，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，利用列举法可得从中任取两只的情况和取出的鞋都是一只脚的情况，再根据古典概型概率公式计算可得答案．
本题主要考查古典概型及其概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：A选项，a和b是不共线的两个向量，故a和b均为非零向量，
故⟨a,b⟩≠0和⟨a,b⟩≠π，
又a⋅b=|a|⋅|b|cs⟨a,b⟩，
所以|a⋅b|=|a|⋅|b|⋅|cs⟨a,b⟩|<|a|⋅|b|，故A错误；
B选项，不妨设a,b是互相垂直的两个单位向量，
则|a+b|= 2<|a|+|b|=2，故B错误；
C选项，两个向量不能比较大小，故C错误；
D选项，由向量加法法则可知，
a+b是以a,b为邻边的平行四边形的对角线，
如右图所示，若|a|=|b|，则平行四边形为菱形，
故向量a+b平分a和b的夹角，D正确．
故选：D.
A选项，根据向量数量积运算法则得到|a⋅b|<|a|⋅|b|；B选项，可举出反例；C选项，根据向量概念得到C错误；D选项，根据平面向量的加法法则得到答案．
本题考查平面向量的相关概念，线性运算和数量积运算，命题真假的判定，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵菱形ABCD中，AB=2，A=60∘，
且AM=12AC,DN=13DB，
∴△ABD为等边三角形，且MN=DM−DN=12BD−13BD=16BD=13，
∵NA+NB+NC+ND=(NA+NC)+(NB+ND)=2NM+2NM=4NM，
∴|NA+NB+NC+ND|=4|NM|=43.
故选：B.
根据菱形的几何性质结合向量的线性运算求解．
本题考查平面向量的线性运算和模，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：若A，B，C三个事件两两相互独立，
则P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，
P(BC)=P(B)P(C)，
推不出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，A错误；
若事件A和B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，
又P(B)=1−P(B−)，
则P(AB−)=P(A)−P(AB)=P(A)−P(A)P(B)
=P(A)[1−P(B)]=P(A)P(B−)，B正确；
一个必然事件A发生的概率为1，
设任意一个事件B发生的概率为P，
则P(B)=P=P(A)P(B)，C正确；
若P(A)>0，P(B)>0，事件A，B相互独立，
则P(AB)=P(A)P(B)>0，
若A，B互斥，则P(AB)=0，故D正确．
故选：A.
利用事件的独立性质和互斥，即可逐个选项判断．
本题主要考查互斥事件和对立事件相关计算，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：复数z1=m+(4−m2)i,z2=2csθ+(λ+3sinθ)i,(m,λ,θ∈R)，且z1=z2，
所以m=2csθ4−m2=λ+3sinθ，
则λ=4−4cs2θ−3sinθ=4sin2θ−3sinθ=4(sinθ−38)2−916，
因为θ∈R，所以sinθ∈[−1,1]，
当sinθ=38时，λmin=−916，当λ=−1时，λmax=7，
所以λ的取值范围是[−916,7].
故选：B.
利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得λ=4(sinθ−38)2−916，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得λ的取值范围．
本题主要考查了复数相等条件的应用，还考查了二次函数的性质，属于中档题．
7.【答案】ACD
【解析】解：对于A，长方体是四棱柱，但当直四棱柱的底面为菱形时，直四棱柱不是长方体，故A错误；
对于B，有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故B正确；
对于C，如图所示的几何体，所有面都是三角形，但该几何体不是三棱锥，故C错误；
对于D，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条可能与这个平面平行，也可能在这个平面内，故D错误．
故选：ACD.
举出反例可判断AC，根据四棱锥的定义可判断B；根据线面的位置关系可得D.
本题主要考查棱柱的结构特征，空间位置关系的判断，属于基础题．
8.【答案】BCD
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B与A1B1不垂直，A1B1⊂平面A1DCB1，
所以A1B不可能与平面A1DCB1垂直，故A错误；
因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，
B1C，A1B1⊂平面A1DCB1，B1C∩A1B1=B1，所以BC1⊥平面A1DCB1，
又BC1⊂平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面A1DCB1，故B正确；
因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，
B1C，DC⊂平面B1DC，B1C∩DC=C，所以BC1⊥平面B1DC，
又B1D⊂平面B1DC，所以B1D⊥BC1，
同理可证A1C1⊥平面B1DD1，B1D⊂平面B1DD1，所以B1D⊥A1C1，
BC1，A1C1⊂平面A1BC1，BC1∩A1C1=C1，所以B1D⊥平面A1BC1，故C正确；
设BC1∩B1C=M，连接A1M，由B选项可知BM⊥平面A1DCB1，
所以∠BA1M即为A1B与平面A1DCB1所成的角，
因为A1M⊂平面A1DCB1，所以A1M⊥BM，
设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，
则在Rt△A1BM中，A1B= 2,BM= 22，
所以sin∠BA1M=BMA1B=12，又∠BA1M为锐角，所以∠BA1M=30∘，
即A1B与平面A1DCB1所成的角是30∘，故D正确．
故选：BCD.
由A1B与A1B1不垂直可判断A；可证BC1⊥平面A1DCB1可判断B；证B1D⊥BC1，B1D⊥A1C1可判断C；作出A1B与平面A1DCB1所成的角，计算可判断D.
本题线面垂直和面面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9.【答案】3
【解析】解：b−a=(−2,−m+2)，
因为b−a与c共线，
所以2×(−m+2)−(−2)×1=0，解得m=3.
故答案为：3.
利用向量共线的坐标运算求解即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
10.【答案】99.5
【解析】解：过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：
55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，99，100，101，104，107，107，117
∵30×80%=24，
故第80百分位数：99+1002=99.5.
故答案为：99.5.
利用百分位数的定义进行求解．
本题主要考查百分位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】2+ 5π4
【解析】解：根据题意，剩下几何体的表面积等于圆锥的表面积与挖去圆柱的侧面积之和，
圆锥PO的底面直径和高均是1，其底面积S1=π×(12)2=π4，
则该圆锥的母线长为 1+14= 52，故圆锥的侧面积S3=π×12× 52= 5π4；
挖去圆柱的高为12，底面半径为14，则其侧面积S2=2π×14×12=π4，
故剩下几何体的表面积S=S1+S2+S3=π4+ 5π4+π4=2π+ 5π4.
故答案为：2π+ 5π4.
根据题意，剩下几何体的表面积等于圆锥的表面积与挖去圆柱的侧面积之和，分别求出圆锥的底面积、侧面积与挖去圆柱的侧面积，相加可得答案．
本题考查组合体的表面积计算，注意圆柱、圆锥的表面积计算公式，属于基础题．
12.【答案】ccsθ
【解析】解：由题知m=DE|DE|且|m|=1，
∴m与AC的夹角为π−(θ+A)，m与CB的夹角为π−(B−θ)，m与AB的夹角为π−θ，
∵AC+CB=AB，
∴m⋅(AC+CB)=m⋅AB，
即m⋅AC+m⋅CB=m⋅AB，
即|m||AC|cs[π−(θ+A)]+|m||CB|cs[π−(B−θ)]=|m||AB|cs(π−θ)，
∴−bcs(A+θ)−acs(B−θ)=−ccsθ，
即bcs(A+θ)+acs(B−θ)=ccsθ.
故答案为：ccsθ.
由题知m=DE|DE|且|m|=1，然后m⋅AC+m⋅CB=m⋅AB，再根据向量的数量积的运算性质化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数的性质，涉及到向量的运算性质，还考查了计算能力，属于中档题．
13.【答案】解：(1)依据频率分布直方图意义，得(0.01+a+0.1+0.08+0.02)×4=1，
即4a=0.16，∴a=0.04，
∵[12,20)的频率之和为0.2，而[20,24)的频率为0.4，
∴满足频率恰为0.5的位置为20+0.30.4×4=23；
(2)由频率直方图知[16,20)的频数为16，[24,28)的频数为32，按照分层抽样抽取6人，
则在[16,20)抽取2人，编号为1，2.在[24,28)抽取4人，编号为3，4，5，6，
从6人随机抽取2人，样本空间为：
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}，
设事件A=“从6人抽取2人的BMI数值不在同一组”，
则A={(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
故P(A)=815，
∴两人的BMI值不在同一组的概率为815.
【解析】(1)依据频率分布直方图意义求出a，可得满足频率恰为0.5的位置；
(2)求出按照分层抽样在[16,20)、[24,28)抽取的人数，利用列举法和古典概型概率计算公式可得答案．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
14.【答案】解：(1)由题意得2sinAsinB−cs(A−B)=sinAsinB−csAcsB=−cs(A+B)= 22，
即cs(A+B)=− 22，则csC=cs[π−(A+B)]= 22，
又C∈(0,π)，则C=π4；，
(2)由题意得S△ABC=12absinC= 2a=6，解得a=3 2，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=18+16−2×3 2×4× 22=10，即c= 10，
由正弦定理得bsinB=csinC，即4sinB= 10 22，解得sinB=2 55.
【解析】(1)根据两角和与差的三角函数，可得cs(A+B)=− 22，即可得出答案；
(2)首先根据面积公式求a，再根据余弦定理和正弦定理，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】证明：(1)根据题意，设AC与BD交于点O，连接OE，
四边形ABCD为正方形，则BD= 2AB，则OD= 22AB，
又由EF//平面ABCD，且平面ABCD与平面BDEF交于BD，则EF//BD，
而EF= 22AB，
则EF//OB，且EF=OB，
故四边形EFBO为平行四边形，则有EO//BF，
又EO⊂平面AEC且BF⊄平面AEC，
则有BF//平面AEC；
(2)根据题意，DE⊥平面ABCD，则DE⊥AC，
而四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD，
则有AC⊥面BDAEF，故AC⊥DF，
由(1)的结论，EF//OB，且EF=OB，而OD=OB，
则有EF//OD，且EF=OD，
又由EF⊥DO且EF=DE，故四边形EDOF为正方形，
则有DF⊥OE，
又由OE∩AC=O，且OE⊂平面AEC，AC⊂平面AEC，
则有DF⊥平面AEC.
【解析】(1)根据题意，设AC与BD交于点O，连接OE，易得四边形EFBO为平行四边形，则有EO//BF，由线面平行的判定定理可得证明；
(2)根据题意，先证明AC⊥面BDAEF，可得AC⊥DF，结合(1)的结论，可得四边形EDOF为正方形，则有DF⊥OE，由线面垂直的判定定理分析可得证明．
本题考查空间直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的证明，属于基础题．