2022-2023学年山西省运城市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2022-2023学年山西省运城市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|lnx<2}，B={x|x2−4x−12<0}，则A∩B=( )
A. {x|−2C. {x|02.已知a，b都是实数，则“a12>b12”是“|a|>|b|”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.函数y=sinxln(ex+e−x)在区间[−π,π]上的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
4.设a=lg53，b=e−1，c=lg169⋅lg278，则a，b，c的大小关系为( )
A. c5.若∃λ∈(12,2)，使得3x2−λx−1<0成立，则实数x取值范围是( )
A. (−13,1)B. (−12,1)C. (−12,23)D. (−13,23)
6.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血等饱和度正常范围是95%∼100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0=60%，给氧2小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：时)为( )
(精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)
A. 2.9B. 3.0C. 0.9D. 1.0
7.某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台剧，爵士舞，要求戏曲与爵士舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目，则不同的演出安排方案共有( )
A. 720种B. 3168种C. 1296种D. 5040种
8.已知函数f(1−x)=x+xa+x，若对于任意x1，x2∈(−2,−1)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>−1，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−1]∪[0,+∞)B. (−∞,−3]∪[−2,+∞)
C. (−∞,−3]∪[−2,0)D. (−∞,−3]
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列说法正确的是( )
A. 1a−c>1b−cB. a−c>2bC. a2>b2D. ab+bc>0
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若幂函数f(x)的图像过点A(2,18)，则f(x)=x−3
B. 函数f(x+1)的定义域为[0,1]，则f(2x)的定义域为[2,4]
C. x∈R，若f(x)是奇函数，f(x−1)是偶函数，则f(2024)=0
D. 函数f(x)=lnx−3x的零点所在区间可以是(2,3)
11.直线y=m与函数f(x)=−x2−2x+3,x≤0|2−lnx|,x>0的图像相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为a，b，c，d，则下列结论正确的是( )
A. m∈[3,4]
B. abcd∈[0,e4)
C. c∈(1e2,1e]
D. a+b+c+d∈[e5+1e−2,e6+1e2−2)
12.商场某区域的行走路线图可以抽象为一个2×2的正方体道路网(如图，图中线段均为可行走的通道)，甲、乙两人分别从A，B两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达B，A为止，下列说法正确的是( )
A. 甲从A必须经过C1到达B的方法数共有9种
B. 甲从A到B的方法数共有180种
C. 甲、乙两人在C2处相遇的概率为425
D. 甲、乙两人相遇的概率为1150
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若f(x)满足f(x+1)=2x+3，则f(1)=______.
14.(x+1x)(1+x)5展开式中含x2项的系数是______.(请填具体数值)
15.某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道A类试题，8道B类试题，12道C类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对A，B，C这3类试题的概率分别为12，14，16，则学生甲答对了所选试题的概率为______.
16.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，且当x∈[2,4]时，f(x)=−x2+4x,2≤x≤3x+2x,3四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在①x∈A是x∈B的必要不充分条件；②A∪B=A；③A∩B=⌀这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题：
已知集合A={x|2x+1x−2<0}，集合B={x|a−1(1)当a=2时，求A∪B；
(2)若选___，求实数a的取值范围.
18.(本小题12分)
某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y=cxb(b,c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(e9,e7)≈(0.302,0.388)内时为优等品.现随机抽取7件合格产品，测得数据如下：
(1)现从抽取的7件合格产品中任选4件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的期望；
(2)根据测得数据作了初步处理，得到相关统计量的值如下表：
根据所给统计量，求y关于x的回归方程.
参考公式：回归直线方程y =b x+a 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b =i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−.
19.(本小题12分)
已知f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=3f(x)f(y)，且f(1)=13.
(1)证明.f(x)是偶函数；
(2)求k=12005f(k).
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−(a+4)x+4.
(1)解关于x的不等式f(x)<0；
(2)若关于x的不等式f(x)+ax<0的解集为(m,n)(m>0,n>0)，求4m+n的最小值.
21.(本小题12分)
某中学为宣传传统文化，特举行一次《诗词大赛》知识竞赛.规则如下：两人一组，每一轮竞赛中小组两人分别答两题.若小组答对题数不小于3，则获得“优秀小组”称号.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲同学和乙同学答对每道题的概率分别为p1，p2.
(1)若p1=45，p2=34，求在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率；
(2)若p1+p2=54，且每轮竞赛结果互不影响.如果甲、乙同学想在此次竞赛活动中获得6次“优秀小组”称号，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
22.(本小题12分)
已知f(x)=ex−1+e1−x+x2−2x+a，
(1)证明：f(x)关于x=1对称；
(2)若f(x)的最小值为3
(ⅰ)求a；
(ⅱ)不等式f(m(ex+e−x)+1)>f(ex−e−x)恒成立，求m的取值范围
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由lnx<2，得0所以A={x|0由x2−4x−12<0，得(x+2)(x−6)<0，解得−2所以B={x|−2所以A∩B={x|0故选：C.
先解不等式求出两集合，再求两集合交集即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由a12>b12能推出a>b>0，则|a|>|b|，是充分条件，
反之，不能推出，比如a=−2，b=−1，故不是必要条件，
故“a12>b12”是“|a|>|b|”的充分不必要条件．
故选：A.
根据充分必要条件的定义以及不等式，指数幂的性质判断即可．
本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：对于函数f(x)=sinxln(ex+e−x)，
∵f(x)+f(−x)=sinxln(ex+e−x)+sin(−x)ln(e−x+ex)=sinxln(ex+e−x)−sinxln(ex+e−x)=0，
故f(x)为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；
又∵f(π2)=sinπ2ln(eπ2+e−π2)=ln(eπ2+e−π2)，且eπ2>e,e−π2>0，
故f(π2)=ln(eπ2+e−π2)>ln(e+0)=1，C错误；
故选：A.
根据函数奇偶性排除B、D，再取特值x=π2排除C.
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵lg53>lg5 5=12，1e<12，lg169⋅lg278=12lg23⋅lg32=12，
∴b故选：D.
根据对数函数的单调性得出a>12，根据对数的换底公式及对数的运算可求出c=12，并得出b<12，从而可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了对数函数的单调性，对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，3x2−λx−1<0，变形可得λx>3x2−1，
分3种情况讨论：
当x=0时，①式为0>−1，恒成立，
当x>0时，①式为λ>3x2−1x，
若∃λ∈(12,2)，使得3x2−λx−1<0成立，则有3x2−1x<2，
由于x>0，解可得0当x<0时，①式为λ<3x2−1x，
若∃λ∈(12,2)，使得3x2−λx−1<0成立，则有3x2−1x>12，
由于x<0，解可得−12综合可得：−12故选：B.
根据题意，原式变形可得λx>3x2−1，分x=0、x>0和x<0三种情况讨论，求出x的取值范围，综合可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要t−2小时，
由题意可得60e2K=80，60eKt=90，
则e2k=43,ekt=32，
则(e2k)t=94，即(43)t=94，
则t=lg4394=ln9−ln4ln4−ln3=2ln3−2ln22ln2−ln3≈2.9，
则给氧时间至少还需要0.9小时．
故选：C.
依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：若三天演出节目为2，2，2，则安排方法有(24C62C−3C42)×(A22)3=576，
若三天演出节目为3，2，1，则安排方法有(23C63C−23C41C−C43)×A33A22A33=3168，
若三天演出节目为4，1，1，则安排方法有(C64−C42)×A44A33=1296，
所以总方案有576+3168+1296=5040.
故选：D.
根据每天演出节目的数目进行分类讨论，而后求出总的方案数．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，函数f(1−x)=x+xa+x，则f(x)=f[1−(1−x)]=1−x+1−xa+1−x=2−x+ax−(a+1)，
设g(x)=f(x)+x，则g(x)=2+ax−(a+1)，
设−2−1⇔f(x1)−f(x2)<−1×(x1−x2)⇔f(x1)+x1即g(x1)又由g(x)=2+ax−(a+1)，必有{a<0a+1⩽−2或a+1⩾−1，解可得a≤−3或−2≤a<0，
即a的取值范围为(−∞,−3]∪[−2,0).
故选：C.
根据题意，求出函数f(x)的解析式，设g(x)=f(x)+x，可得g(x)的解析式，由函数单调性的定义分析可得g(x)在区间(−2,−1)上为增函数，结合反比例函数的性质可得关于a的不等式，解可得答案．
本题考查函数单调性的性质以及应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，∵a>b>c，
∴a−c>b−c>0，
∴1a−c<1b−c，A错误；
对于B，∵a>b>c，a+b+c=0，
∴a>0，c<0，
∴b+c=−a<0，a−b>0，
∴a−b>b+c，即a−c>2b，B正确；
对于C，∵a−b>0，a+b=−c>0，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)>0，即a2>b2，C正确；
对于D，ab+bc=b(a+c)=−b2≤0，D错误．
故选：BC.
根据已知等式可确定a>0，c<0，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A：令f(x)=xα，则2α=18，所以α=−3，即f(x)=x−3，故A正确；
对于B：因为函数f(x+1)的定义域为[0,1]，则1≤x+1≤2，
由1≤2x≤2，可得0≤x≤1，
所以f(2x)的定义域为[0,1]，故B错误；
对于C：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)且f(0)=0，
又f(x−1)是偶函数，所以f(x−1)=f(−x−1)，所以f(x−2)=f(−x)=−f(x)，
所以f(x)=−f(x+2)，
所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(2024)=f(4×506+0)=f(0)=0，故C正确；
对于D：函数f(x)=lnx−3x是定义域为(0,+∞)上的连续函数，
又y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=−3x在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)=lnx−3x在(0,+∞)上单调递增，
又f(2)=ln2−32=ln2−lne32=ln2−ln e3f(3)=ln3−1=ln3−lne>0，
所以f(x)的零点所在区间可以是(2,3)，故D正确．
故选：ACD.
令f(x)=xα代入求出α，即可判断A；
根据抽象函数的定义域求法判断B；
求出函数的周期性，利用周期性计算C；
根据零点存在性定理判断D.
本题考查了求幂函数的解析式、抽象函数的奇偶性、对称性及周期性、函数的零点，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：当m=4，x≤0时，−x2−2x+3=4，解得x=−1；
x>0时，|2−lnx|=4，解得x=e6或x=1e2.
此时y=m和y=f(x)的图象有三个交点，即m=4不成立；
当m=3时，x≤0时，−x2−2x+3=3，解得x=−2或0；
x>0时，|2−lnx|=3，解得x=e5或x=1e.
此时y=m和y=f(x)的图象有四个交点，即m=3成立．
结合图象可得m∈[3,4),故A错误；
由上面的分析可得c∈(1e2,1e],故C正确；
由a+b=−2，|2−lnc|=|2−lnd|，可得lnc+lnd=4，即cd=e4，所以abcd=e4ab，
由于−2由c∈(1e2,1e],a+b+c+d=−2+c+e4c∈[e5+1e−2,e6+1e2−2)，故D正确．
故选：BCD.
分别求得m=3，m=4时，y=m和y=f(x)的交点的横坐标，可判断m的范围和c的范围，可判断AC；由二次函数的性质和对数运算性质可得cd，ab的范围，可判断BD.
本题考查分段函数的运用，以及对勾函数的单调性，考查转化思想和数形结合思想、推理能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A选项，从点A到点C1，需要向上走2步，向前走1步，
从点C1到点B，需要向右走2步，向前走1步，
所以，甲从A必须经过C1到达B的方法数为C32C32=9种，A对；
对于B选项，从点A到点B，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，
所以，甲从A到B的方法数为C62C42C22=90种，B错；
对于C选项，甲从点A运动到点C2，需要向上、前、右各走一步，
再从点C2运动到点B，也需要向上、前、右各走一步，
所以，甲从点A运动到点B，且经过点C2，不同的走法种数为A33A33=36种，
乙从点B运动到点A，且经过点C2，不同的走法种数也为36种，
所以，甲、乙两人在C2处相遇的概率为36×3690×90=425，C对；
对于D选项，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点C1、C2、C3、E、F、G、H，
甲从点A运动到点C1，需要向上走1步，向前走1步，再从点C1运动到点B，需要向前走1步，向右走2步，
所以甲从点A运动到点B且经过点C1的走法种数为(C32)2，
所以甲、乙两人在点C1处相遇的走法种数为(C32)4，
同理可知，甲、乙两人在点C3、E、F、G、H处相遇的走法种数都为(C32)4，
因此，甲、乙两人相遇的概率为6×(C32)4+36290×90=1150，D对．
故选：ACD.
利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可判断A选项；分析可知从点A到点B，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，结合分步乘法计数原理可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；找出两人相遇的位置，求出两人相遇的概率，可判断D选项．
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：令t=x+1，则x=t−1，
所以f(t)=2(t−1)+3=2t+1，
所以f(x)=2x+1，所以f(1)=2×1+1=3，
故答案为：3.
利用换元法求出f(x)，从而可求出f(1).
本题．主要考查了函数值的求解，属于基础
14.【答案】15
【解析】解：由于(x+1x)(1+x)5=(x+1x)(1+5x+10x2+10x3+5x4+x5)，
故它的展开式中含x2项的系数是5+10=15.
故答案为：15.
把(1+x)5按照二项式定理展开，可得(x+1x)(1+x)5展开式中含x2项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
15.【答案】14
【解析】解：设学生选1道A类试题为事件A，学生选1道B类试题为事件B，学生选1道C类试题为事件C，设学生答对试题为事件D，
则P(A)=44+8+12=16，P(B)=84+8+12=13，P(C)=124+8+12=12，P(D|A)=12，P(D|B)=14，P(D|C)=16，
所以P(D)=P(A)⋅P(D|A)+P(B)⋅P(D|B)+P(C)⋅P(D|C)=16×12+13×14+12×16=14.
故答案为：14.
利用全概率公式及条件概率公式计算可得．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
16.【答案】(−∞,−58]∪[516,+∞)
【解析】解：当x∈[2,4]时，f(x)=−x2+4x,2≤x≤3x+2x,3可得f(x)在[2,3]上单调递减，在(3,4]上单调递增，
∴f(x)在[2,3]上的值域为[3,4]，
在(3,4]上的值域为(113,92],
∴f(x)在[2,4]上的值域为[3,92]，
∵f(x+2)=2f(x)，
∴f(x)=12f(x+2)=14f(x+4)=18f(x+6)，
∴f(x)在[−2,0]上的值域为[34,98]，
故当x∈[−4,−2]，x+6∈[2,4]，
∴f(x)在[−4,−2]上的值域为[38,916]，
当a>0时，g(x)为增函数，g(x)=ax+1在[−2,1]上的值域为[−2a+1,a+1]，
∴38≥1−2a916≤1+a，解得a≥516，故a的范围是a≥516；
当a<0时，g(x)为单调递减函数，g(x)=ax+1在[−2,1]上的值域为[a+1,−2a+1]，
∴38≥1+a916≤1−2a，解得a≤−58，故a的范围是a≤−58.
综上可知，a的取值范围是(−∞,−58]∪[516,+∞).
故答案为：(−∞,−58]∪[516,+∞).
求出f(x)在[2,4]上的值域，利用f(x)的性质得出f(x)在[−4,−2]上的值域，再求出g(x)在[−2,1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围．
本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．
17.【答案】解：因为B={x|a−1(1)当a=2时，B={x|1所以A∪B={x|−12(2)若选①x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，
所以，a−1≥−12a+1≤2，解得12≤a≤1，
故a的取值范围为[12,1]；
若选②A∪B=A，则B⊆A，
a−1≥−12a+1≤2，解得12≤a≤1，
故a的取值范围为[12,1]；
若选③A∩B=⌀，
则a+1≤−12或a−1≥2，
解得a≤−32或a≥3，
所以a的取值范围为{a|a≤−32或a≥3}.
【解析】(1)把a=2代入求出集合A，B，然后结合集合并集运算即可求解；
(2)根据所选条件，结合集合的交集，并集的性质可分别求解．
本题主要考查了集合的交集，并集运算及集合包含关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)易知抽取的7件合格产品中有3件优等品，
则ξ的所有取值为0，1，2，3，
此时P(ξ=0)=C44C74=135，P(ξ=1)=C31C43C74=1235，P(ξ=2)=C32C42C74=1835，P(ξ=3)=C33C41C74=435，
则E(ξ)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；
(2)因为合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y=cxb，
对等式两边同时取对数，可得lny=lnc+blnx，
因为i=17(lnxi)=28.8，i=17(lnyi)=21.0，
所以lnx−=17i=17(lnxi)=4，lny−=17i=17(lnyi)=3，
可得b =i=17(lnxilnyi)−7lnx−lny−i=17(lnxi)2−7(lnx−)2=84.2−7×4×3112.5−7×16=0.4，
此时lnc=lny−−b lnx−=3−0.4×4=1.4，
则lny=1.4+0.4lnx，
故y =e1.4+0.4lnx.
【解析】(1)由题意，得到ξ的所有取值，求出相对应的概率，代入期望公式中即可求解；
(2)对y=cxb两边同时取对数，得到lny=lnc+blnx，结合表中数据和公式进行求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望以及线性回归方程，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】(1)证明：f(x)的定义域为R，令x=1，y=0，得f(1+0)+f(1−0)=3f(1)f(0)，所以f(0)=23，
令x=0，得f(0+y)+f(0−y)=3f(0)f(y)，所以f(−y)=f(y)，所以f(x)是偶函数．
(2)解：令y=1，得f(x+1)+f(x−1)=3f(x)f(1)=f(x)①，
所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②，
由①，②知，f(x+2)+f(x−1)=0，
所以f(x+3)+f(x)=0，即f(x+3)=−f(x)，
所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，所以f(x)的周期是6.
由②式得，f(2)+f(0)=f(1)，所以f(2)=−13，
同理f(3)+f(1)=f(2)，所以f(3)=−23，
又由周期性和偶函数可得：f(4)=f(−2)=f(2)=−13，
f(5)=f(−1)=f(1)=13，f(6)=f(0)=23，
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0，
所以k=12005f(k)=337k=16f(k)+f(1)+f(2)+f(3)=−23.
【解析】(1)根据赋值法得f(0)=23，令x=0，即可得到函数为偶函数；
(2)根据赋值法可得f(x+2)+f(x)=f(x+1)，由此可得函数的周期性，结合周期性即可求解．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数的周期性，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=ax2−(a+4)x+4=(x−1)(ax−4)<0，
所以当a=0时，解得：x>1；
当a<0时，解得x<4a或x>1；
当0当a=4时，不等式无解；
当a>4时，解得：4a综上所述，当a=0时，不等式f(x)>0的解集为{x|x>1}；
当a<0时，不等式的解集为{x|x<4a或x>1}；
当0当a=4时，不等式的解集为⌀；
当a>4时，不等式的解集为{x|4a(2)因为f(x)+ax<0，即ax2−4x+4<0的解集为(m,n)(m>0,n>0)，
所以关于x的方程ax2−4x+4=0有两个不等的正根m，n，
所以Δ=16−16a>0m+n=4a>0mn=4a>0，解得0则1m+1n=m+nnm=1，
所以4m+n=(4m+n)(1m+1n)=5+nm+4mn，
因为m>0，n>0，所以nm+4mn≥2 nm⋅4mn=4，
当且仅当nm=4mn且1m+1n=1，即m=32，n=3时，等号成立，
此时a=89，符合条件，则4m+n≥9，
综上，当且仅当a=89，m=32，n=3时，4m+n取得最小值9.
【解析】(1)f(x)=ax2−(a+4)x+4=(x−1)(ax−4)<0，可分a<0、a=0、04五种情况讨论，即可解得不等式f(x)<0的解集；
(2)由二次不等式解的性质，结合韦达定理及判别式得到0本题主要考查了含参二次不等式的求解及利用基本不等式求解最值，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)记甲、乙获得“优秀小组”为事件A，则事件A包含三种情况：
①甲答对两道，乙答对一道；②甲答对一道，乙答对两道；③甲、乙都答对两道；
∴P=(45)2C21⋅34⋅14+C21⋅45⋅15⋅(34)2+(45)2(34)2=3950；
(2)由(1)可知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：
P=(1−P2)+C21P1.(1−P1)⋅P22+P12.P22
=2P1P2(P1+P2)−3(P1P2)2，
∵P1+P2=54，
∴P=52P1.P2−3(P1P2)2，
又P1P2≤(P1+P22)2=2564，当且仅当P1=P2时取等，
又∵0≤P1≤1，0≤P2≤1，P1+P2=54，∴14≤P1≤1，
∴P1P2=P1(54−P1)=−(P1−58)2+2564，
∴P1P2=[14,2564]，
令t=P1P2∈[14,2564]，则P=−3t2+52t，∴Pmax=P(512)=2548，
设他们小组在n轮竞赛中获得“优秀小组”的次数为ξ，
则ξ∼B(n,2548)，则E(ξ)=2548n，
由E(ξ)=2548n≥6，即2548n≥6，解得n≥11.52，
∵n∈N*，∴nmin=12，
即至少要进行12轮比赛．
【解析】(1)根据获“优秀小组”的标准，对甲、乙答对问题的情况进行分类，最后求出概率；
(2)求出每轮竞赛中获得“优秀小组”的概率及范围，再利用二项分布的期望建立不等式，求出竞赛轮数的最小值．
本题考查相互独立事件和互斥事件的相关概率计算公式，第一问属于基础题，第二问运用了转化与化归思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)证明：因为f(x)=ex−1+e1−x+x2−2x+a，
所以 f(2−x)=e2−x−1+e1−(2−x)+(2−x)2−2(2−x)+a=e1−x+ex−1+x2−2x+a，
所以f(x)=f(2−x)，
所以f(x)关于x=1对称．
(2)(ⅰ)任取x1，x2∈(1,+∞)，且x1f(x1)−f(x2)=ex1−1+e1−x1+x12−2x1−(ex2−1+e1−x2+x22−2x2)
=(ex1−1−ex2−1)+(e1−x1−e1−x2)+(x12−x22)−2(x1−x2)
=(ex1−1−ex2−1)(ex1−1ex2−1−1)ex1−1ex2−1+(x1−x2)(x1+x2−2)，
∵1∴0∴ex1−1>1,ex2−1>1,ex1−1−ex2−1<0,ex1−1ex2−1−1>0，
x1−x2<0，x1+x2−2>0，
∴f(x1)所以f(x)在[1,+∞)上单调递增，
又f(x)关于x=1对称，
则在(−∞,1]上单调递减．
所以f(x)min=f(1)=1+a=3，
所以a=2.
(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)
(ⅱ)不等式f(m(ex+e−x)+1)>f(ex−e−x)恒成立等价于|(m(ex+e−x)+1)−1|>|ex−e−x−1|恒成立，
即|m|>|ex−e−x−1|ex+e−x=|ex−e−x−1ex+e−x|恒成立，
即|m|>(|ex−e−x−1ex+e−x|)max
令F(x)=ex−e−x−1ex+e−x，则F(x)=e2x−ex−1e2x+1=1−ex+2e2x+1，
令ex+2=n，n∈(2,+∞)，则ex=n−2，
则g(n)=1−nn2−4n+5=1−1n−4+5n，
因为n∈(2,+∞),n−4+5n≥2 5−4，n= 5取等号，
则g(n)∈[− 52,1),
所以|g(n)|∈[0, 52]，
所以|m|> 52，
即m∈(−∞,− 52)∪( 52,+∞).
【解析】(1)代入验证f(x)=f(2−x)即可求解，
(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a=2，分离参数，将恒成立问题转化为|m|>(|ex−e−x−1ex+e−x|)max，构造函数F(x)=ex−e−x−1ex+e−x，结合不等式的性质即可求解最值．
本题考查函数性质的综合运用，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．尺寸x(mm)
28
38
48
58
68
78
88
质量y(g)
14.9
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比yx
0.532
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
i=17xi
i=17yi
i=17xiyi
i=17xi2
i=17(lnxilnyi)
i=17(lnxi)
i=17(lnyi)
i=17(lnxi)2
406
143.1
8797.8
26348
84.2
28.0
21.0
112.5