安徽省池州市青阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省池州市青阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组图形一定相似的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似B．所有的等边三角形都相似
C．所有的菱形都相似D．所有的矩形都相似
3．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元B．720元C．1080元D．2160元
4．已知抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下B．与x轴无交点
C．y的最大值为D．对称轴是直线
5．将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，拋物线与直线如图所示，方程的解为（ ）

A．B．
C．D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD是△ABC的高，则tan∠BCD的值是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东方向，则这段河的宽度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
10．如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如果，那么 ．
12．已知锐角中，，，则的长为 ．
13．反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是 ．
14．已知二次函数（为常数，），当时，，则该函数图象的顶点位于 ．
15．如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，作EF∥AB，交BD于点F，已知AB＝1，CD＝2，则EF的长度为 ．

三、解答题
16．计算：．
17．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．
(1)以O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的位似比为1：2；
(2)利用图中网格线的交点用直尺在线段上找到一点D，使．
18．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
19．现要修建一条公路隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求，隧道上距点O水平方向2米及竖直方向6米的A点有一照明灯．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这个隧道中间位置设置双向通行车道，加中间隔离带合计宽度9米，隧道入口对车辆要求限高，请通过计算说明高度不超过米的车辆能否安全通过该隧道？
20．如图，在中，，点D在上，且满足，若，连接．求的度数．
21．如图，在中，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D，E分别在边BC，AC上（点D不与端点B，C重合），并且满足∠ADE＝∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)设BD＝x，CE＝y，请求出当x取何值时，y取最大值？y的最大值是多少？
(3)当△ADE是等腰三角形时，求BD的长．
参考答案：
1．C
【分析】根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．
【详解】关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,
所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),
故选C．
【点睛】本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．
2．B
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
【详解】解：A.任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；
B.任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确；
C.任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；
D.任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误；
故选B．
【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【详解】3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，
故选C．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
根据二次函数顶点式的性质逐项分析即可．
【详解】抛物线化为顶点式为：
，
，则抛物线的开口向下，故A选项不符合题意；
，
与x轴无交点，故B选项不符合题意；
顶点坐标为，即y的最大值为，故C选项不符合题意；
抛物线对称轴为直线，D选项符合题意；
故选：D
5．C
【分析】确定抛物线顶点平移后的坐标即可确定平移后抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，它向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度后的坐标为，而平移不改变图形的大小与形状，所以平移后的抛物线解析式为：；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，抓住顶点的平移是解题的关键．
6．D
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
7．A
【分析】本题主要考查了利用函数图像法解方程，方程的解就是使成立的未知数值，也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图像即得方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴方程的解就是使成立的未知数值，也就是抛物线与直线的交点的横坐标．
∵由图象可知，抛物线与直线相交于点和．
∴方程的解是，．
故选：A．
8．B
【分析】先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．
∴∠A=∠BCD．
∴tan∠BCD=tan∠A=．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
9．B
【分析】作交的延长线于，设，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：作交的延长线于，
设，
，
，
，
，
则，
解得，
答：这段河的宽约为米．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．C
【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cs∠DBC=csA=，即可求出BD．
【详解】∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cs∠DBC=csA=，
∴cs∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
11．/0.6
【分析】设a=3k，然后用k表示出b，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
设a=3k，则b=2k，
∴，
故答案为；．
【点睛】本题主要考查了比例化简求值，设出中间量、分别表示出a、b成为解答本题的关键．
12．
【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长．
【详解】如图，过点作于点，
设，
，,
，
故答案为：
【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
13．/
【分析】根据反比例函数的图象的一个分支在第二象限，可得，解不等式即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象的一个分支在第二象限，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
14．第一象限
【分析】根据二次函数的对称轴为，及二次函数的图象性质即可得出．
【详解】解：整理可得，
该函数的对称轴为直线x=1，
∴由x=1时，y＞0可得：函数图像的顶点在第一象限；
故答案为：第一象限．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
15．
【分析】由AB∥CD可得出△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可得出，由EF∥CD可得出△BEF∽△BCD，再利用相似三角形的性质可求出EF的长．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴．
∵EF∥AB，
∴EF∥AB∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，即，
∴EF=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，牢记两个相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的综合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，顺次连接、、即可；
（2）如图，，，根据平行线分线段成比例定理即可得到所求的点．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图，点D为所求，
如图，，，
由平行线分线段成比例定理即可得到，，
故点D满足题意．
【点睛】此题考查了位似图形的作图、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握作图步骤和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
18．8+8
【分析】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．
【详解】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH，
∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，
∵AB=32m，
∴AD=CD=16m，BD=AB•cs30°=m，
∴BC=CD+BD=（+16）m，
则BH=BC•sin30°=m，
答：这架无人飞机的飞行高度为m．
【点睛】考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
19．(1)
(2)能安全通过
【分析】(1)设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解；
(2)令，求得y的值，再与比较，即可解答．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
∴可以设抛物线的解析式为，
把点代入，可得，
∴抛物线的解析式为
即；
（2）解：，
根据对称性，令，得﹒
，
高度不超过米的车辆能安全通过该隧道．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
20．36°
【分析】首先证明△CBA∽△CDB，得到△ABD是等腰三角形，然后利用三角形内角和定理列方程即可．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AD2=CD⋅AC，AD=BC，
∴BC2=CD⋅AC，
即，
又∵∠C=∠C，
∴△CBA∽△CDB，
∴∠BDC=∠C=∠ABC，∠A=∠DBC，
∴BD=CB，
∴DB=DA，
∴∠A=∠ABD，
设∠A=∠ABD =x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=2x°，
在△ABC中，由三角形内角和定理得
x+2x+2x=180，
解得x=36，
∴∠ABD=36°．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，用边的关系转化为角的关系是解决问题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，三角函数值相等，引出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）作，根据求出，再根据勾股定理求出，利用等腰三角形的三线合一的性质得到；
（2）作，根据，得出，根据勾股定理得，即可得出；
【详解】（1）如图，过点作于点，
，
，
在中，
，
，
，
则．
（2）如图，过点作于，
，
，
，
22．(1)见解析
(2)当时，有最大值，最大值为；
(3)当x=2或时，△ADE是等腰三角形，
【分析】（1）先判断出∠ADB=∠DEC，即可得出结论；
（2）借助（1）的相似三角形得出比例式即可得出函数关系式，由0＜x＜16，即可得出y的范围；
（3）根据等腰三角形的判定与性质，可得∠ADC与∠DAC的关系，根据三角形的外角的性质，可得∠AED的大小，根据等腰三角形的判定，可得答案；
【详解】（1）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE，∠DEC=180°-∠C-∠CDE，
∴∠ADB=∠DEC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE；
（2）∵BD=x，CE=y，
∴DC=BC-BD=12-x，
由（1）知，△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴
∵，且
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）①当DA=DE时，
∴∠DAE=∠AED，
∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C=∠ADE．
∵∠AED=∠EDC+∠C=∠EDC+∠ADE，
∴∠DAE=∠EDC+∠ADE，
∴∠EAD=∠ADC，
∴CD=AC=10，
∴x=BD=BC-CD=12-10=2，
所以，当x的长为2时，△ADE是等腰三角形，
②当AE=DE时，△ADE是等腰三角形，即∠DAE=∠ADE=∠B
又∠ACD=∠BCA，
∴△ADC∽△BAC，
∴，
∴DC•BC=AC2，
∴DC=，
∴x=BD=12-DC=12-；
综上所述：当x=2或时，△ADE是等腰三角形，
【点睛】本题主要考查了等腰三角形、相似三角形的性质和判定，明确等边对等角和等角对等边，相似三角形常用的判定是：两角对应相等的两个三角形相似，在几何证明中常利用相似得比例式求边的长度；同时又运用了同角的余角求角相等；本题还运用了分类讨论的思想，尤其动点形成的三角形是直角三角形或等腰三角形时，要根据具体问题分情况进行讨论．