(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题01 平面向量的概念及线性运算（重难点突破）原卷版+解析

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题01 平面向量的概念及线性运算（重难点突破）原卷版+解析，共26页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，题型突破，课堂训练等内容，欢迎下载使用。


二、考点梳理
考点一 向量的有关概念
考点二 向量的线性运算
三、题型突破
重难点题型突破1 平面向量的概念
例1．（1）、（2021·浙江·杭州市富阳区场口中学高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
（2）、（2021·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与共线，与共线，则与也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量与不共线，则与都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
【变式训练1-1】、（2020·全国·高三专题练习（文））给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③若 (λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若，则共线．
其中错误的命题的个数为
A．1B．2
C．3D．4
【变式训练1-2】、（2021·全国·高一课时练习）下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
重难点题型突破2 平面向量的线性运算
例2．（1）、（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有________．（填序号）
①；②；③与共线；④．
（2）．（2020·全国·高一课时练习）（多选题）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练2-1】、（2022·湖南·高一课时练习）如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设则________.(用，表示)
【变式训练2-2】、（2021·全国·高一课时练习）（多选题）已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
重难点题型突破3 共线向量或平行向量
例3．（1）、（2021·天津二中高三阶段练习）已知，是不共线的非零向量，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
（2）．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:
①都是单位向量;
②∥∥
③与相等的向量有3个;
④与共线的向量有3个;
⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.
其中正确的是____.(填序号)
【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】、（2022·全国·高一专题练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
（1）有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________；
（2）存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________.
例4．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，F）为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量：
（1）与相等的向量；
（2）与的相反向量；
（3）与的模相等的向量．
【变式训练4-1】、（2022·湖南·高一课时练习）如图，．．求证：，且．
四、课堂训练（30分钟）
1．（2020·天津·静海一中高一阶段练习）给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②若向量满足，则
③若，，，是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件；
④的充要条件是且.
其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2020·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则与可能共线D．若，则一定不与共线
3．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）在五边形中（如图），下列运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全国·高一课时练习）如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有_____个.
5．（2020·全国·高一课时练习）下列命题中，正确的是______（填序号）.
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
6．（2021·福建·福州第十五中学高一阶段练习）（多选题）下列命题中正确的是
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．若与满足，且与同向,则
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
7．（2021·全国·高二课时练习）[多选题]下列命题是真命题的是（ ）．
A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量
B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量
C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上
8．（2020·全国·高一课时练习）一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
9．（2022·湖南·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
专题01 平面向量的概念及线性运算
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 向量的有关概念
考点二 向量的线性运算
三、题型突破
重难点题型突破1 平面向量的概念
例1．（1）、（2021·浙江·杭州市富阳区场口中学高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【解析】
【分析】
A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断.
【详解】
A.和长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
（2）、（2021·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与共线，与共线，则与也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量与不共线，则与都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
【答案】C
【解析】
【分析】
根据共线向量（即平行向量）的定义即可求解.
【详解】
解：对于A： 可能是零向量，故选项A错误；
对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；
对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；
对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误．
故选：C.
【变式训练1-1】、（2020·全国·高三专题练习（文））给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③若 (λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若，则共线．
其中错误的命题的个数为
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【解析】
【详解】
①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．
②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误，当时，不论λ为何值，.
④错误，当λ=μ=0时，，此时，与可以是任意向量．
故选C．
【变式训练1-2】、（2021·全国·高一课时练习）下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可.
【详解】
由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；
故选：C
重难点题型突破2 平面向量的线性运算
例2．（1）、（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有________．（填序号）
①；②；③与共线；④．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
利用正方形的几何性质结合相等向量、共线向量的定义判断可得出结论.
【详解】
对于①，与方向相同，长度相等，则，则①正确；
对于②，因为、、三点共线，则，则②正确；
对于③，，则与共线，则③正确；
对于④，、方向不相同，故，则④错误.
故答案为：①②③.
（2）．（2020·全国·高一课时练习）（多选题）在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据向量的三角形法则、四边形法则，逐一分析选项即可.
【详解】
对于A：在四边形ABCD中，，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，需牢记向量的三角形法则与四边形法则，属基础题.
【变式训练2-1】、（2022·湖南·高一课时练习）如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设则________.(用，表示)
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的加减法运算求解即可
【详解】
故答案为：
【变式训练2-2】、（2021·全国·高一课时练习）（多选题）已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
作出示意图，由点是的重心，为的中点，得到是的中点，结合向量的线性运算法则和三角形重心的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
如图所示，因为点是的重心，为的中点，可得是的中点，
由，所以A正确；
由为的中点，根据向量的平行四边形法则，可得，
又由是的重心，根据重心的性质，可得，所以，
即，所以B正确；
根据三角形重心的性质，可得，所以C不正确；
由重心的性质，可得，
所以D正确.
故选：ABD.
重难点题型突破3 共线向量或平行向量
例3．（1）、（2021·天津二中高三阶段练习）已知，是不共线的非零向量，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量共线基本定理，可得，即求解即可
【详解】
由可知存在实数，使得，所以从而可得．
故选：A
（2）．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:
①都是单位向量;
②∥∥
③与相等的向量有3个;
④与共线的向量有3个;
⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.
其中正确的是____.(填序号)
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】
根据平面向量的概念几何平面图形的性质逐个分析即可求出结果.
【详解】
①由两菱形的边长都为1，故①正确;②正确;③与相等的向量是，故③错误;④与共线的向量是，故④正确;⑤正确.
故答案为：①②④⑤
【变式训练3-1】、（2021·全国·高一课时练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
方向相同，模长相等的向量为相等向量.
【详解】
AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等.
故选：D
【变式训练3-2】、（2022·全国·高一专题练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
（1）有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________；
（2）存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）通过计算向量的模进行判断即可；
（2）通过判断直线的位置关系来判断两向量是否共线.
【详解】
结合图形可知，（1）；
（2）因为，所以，所以向量共线，
.
故答案：（1） （2）
例4．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，F）为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量：
（1）与相等的向量；
（2）与的相反向量；
（3）与的模相等的向量．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）方向相同且模长相等的向量为相等向量；（2）方向相反且模长相等的向量为相反向量；（3）利用矩形对角线相等，求解与的模相等的向量.
【详解】
（1）方向相同且模长相等的向量为相等向量，故与相等的向量为；
（2）方向相反且模长相等的向量为相反向量，故与的相反向量为；
（3）与的模相等的向量为.
【变式训练4-1】、（2022·湖南·高一课时练习）如图，．．求证：，且．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
用向量数乘和向量之间共线的定义即可.
【详解】
由题意，，，
∴；证毕.
四、课堂训练（30分钟）
1．（2020·天津·静海一中高一阶段练习）给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②若向量满足，则
③若，，，是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件；
④的充要条件是且.
其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
根据平面向量定义及共线的条件，充分必要条件的判断，可判断四个选项.
【详解】
对于①，因为向量可以平移，所以相等向量的坐标相同，所以①正确；
对于②，若向量满足，因为方向向量不确定，所以不一定正确，故②错误；
对于③，，，，是不共线的四点，若“”，由平行四边形判定定理“一组对边平行且相等，则四边形为平行四边形”可知“四边形为平行四边形”；若“四边形为平行四边形”，由平行四边形性质可知“对边平行且相等”，所以“”，即“”是“四边形为平行四边形”的充要条件，故③正确；
对于④，若，则且；若且，则或，故④错误.
综上可知，正确的为①③
故选：B
【点睛】
本题考查了平面向量的定义，共线条件及充分必要条件的判断，属于基础题.
2．（2020·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则与可能共线D．若，则一定不与共线
【答案】C
【解析】
利用共线向量、模的计算公式，即可得出.
【详解】
因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误；
两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；
无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.
故选：C
【点睛】
本题考查了共线向量、模的计算公式，考查了理解能力，属于基础题．
3．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）在五边形中（如图），下列运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答.
【详解】
A，，正确；
B，，不正确；
C，，不正确；
D，， 不正确.
故选：A.
4．（2021·全国·高一课时练习）如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有_____个.
【答案】24
【解析】
【分析】
每个小正方中有两个符合条件，找到正方形个数即可.
【详解】
由题意知，的格点图中包含12个小正方形，每个小正方形的对角线长为
与平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.
故答案为：24.
5．（2020·全国·高一课时练习）下列命题中，正确的是______（填序号）.
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
【答案】③
【解析】
利用向量的概念、共线对选项进行逐一判断，可分析处正确的选项.
【详解】
解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量.
②不正确，若与中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故这两个向量的方向不一定相同或相反.
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小，而向量的模均为实数，可以比较大小.
故答案为：③
【点睛】
本题考查向量的概念和共线的定义，属于基础题.
6．（2021·福建·福州第十五中学高一阶段练习）（多选题）下列命题中正确的是
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．若与满足，且与同向,则
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】AD
【解析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A正确；
向量共线包括同向和反向，故B不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C不正确；
根据相等向量的概念知，D正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．
7．（2021·全国·高二课时练习）[多选题]下列命题是真命题的是（ ）．A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量
B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量
C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上
【答案】AD
【解析】
【分析】
向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．
【详解】
A 项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，
则向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；
B项为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，
则，的方向不确定，不能判断与是否共线；
C项为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，
所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；
D项为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，
且与是共线向量，所以A，B，C三点共线．
故选：AD．
8．（2020·全国·高一课时练习）一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【答案】（1）（2）；约为北偏东53°
【解析】
（1）根据题意画出示意图，根据路程的定义求出巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）根据位移的定义，利用勾股定理、锐角三角函数的定义，求出位移的大小及方向.
【详解】
解：（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即.
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为.
由于，故方向约为北偏东53°.
【点睛】
本题考查了路程和位移的计算，考查了勾股定理的应用，考查了数学计算能力.
9．（2022·湖南·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
根据平面向量加减的运算法则，化简各线性表达式即可.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb