（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第17讲 复数（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.复数的有关概念
(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部.
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示.
(5)复数的模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝eq \r(a2＋b2).当b＝0时，|z|＝eq \r(a2)＝|a|.
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
(3)由复数加、减法的几何意义可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
考点和典型例题
1、复数的概念及几何意义
【典例1-1】（2022·江西萍乡·三模（理））在复平面内，复数所对应的点关于虚轴对称，若，则复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
因为对应的点为，所对应的点关于虚轴对称，
所以对应的点为，所以.
故选：B.
【典例1-2】（2022·江西师大附中三模（理））对任意复数，为虚数单位，是z的共轭复数，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2022·浙江·效实中学模拟预测）设是虚数单位，复数为实数，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．
【典例1-4】（2022·广东广州·三模）若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【典例1-5】（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）设i是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【典例1-6】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-7】（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【典例1-8】（2022·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是______ ．
【典例1-9】（2021·上海市七宝中学模拟预测）若纯虚数满足，则实数等于_________.
【典例1-10】（2022·天津和平·二模）复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为___________.
2、复数的运算
【典例2-1】（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知，是z的共轭复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-2】（2022·江西师大附中三模（文））已知是虚数单位，则的虚部是（ ）
A．B．C．1D．
【典例2-3】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-4】（2022·全国·模拟预测）已知复数，i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2-5】（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数，是的共轭复数，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【典例2-6】（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数=（ ）
A．B．C．D．
【典例2-7】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-8】（2022·吉林长春·模拟预测（理））若，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【典例2-9】（2022·上海·模拟预测）若（i是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个复数根，则_________．
【典例2-10】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）著名数学家棣莫佛（De mivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.已知，根据这个公式可知______.满足条件(a，b为实数)
复数的
分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
第17讲 复数
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.复数的有关概念
(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部.
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示.
(5)复数的模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝eq \r(a2＋b2).当b＝0时，|z|＝eq \r(a2)＝|a|.
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
(3)由复数加、减法的几何意义可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
考点和典型例题
1、复数的概念及几何意义
【典例1-1】（2022·江西萍乡·三模（理））在复平面内，复数所对应的点关于虚轴对称，若，则复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
因为对应的点为，所对应的点关于虚轴对称，
所以对应的点为，所以.
故选：B.
【典例1-2】（2022·江西师大附中三模（理））对任意复数，为虚数单位，是z的共轭复数，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
对于A，由，得，
则，故A正确；
对于B，因为，
，所以，故B错误；
对于C，由，得，
所以，故C正确；
对于D，因为，故D正确.
故选：B.
【典例1-3】（2022·浙江·效实中学模拟预测）设是虚数单位，复数为实数，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】
依题意，复数为实数，
所以.
故选：C
【典例1-4】（2022·广东广州·三模）若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【详解】
由得，则，
则复平面内的共轭复数对应的点位于第一象限.
故选：A.
【典例1-5】（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）设i是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】
由题意得，即，
故，其对应的点 在第四象限，
故选：D
【典例1-6】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，
所以，
所以复数的虚部为，
故选：A.
【典例1-7】（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】
由题得，即为复平面的点，故在第三象限.
故选：C．
【典例1-8】（2022·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是______ ．
【答案】2＃＃＋2
【详解】
设复数z在复平面中对应的点为
∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆
表示点到点的距离，结合图形可得
故答案为：．
【典例1-9】（2021·上海市七宝中学模拟预测）若纯虚数满足，则实数等于_________.
【答案】1
【详解】
解：因为，所以，
因为为纯虚数，所以，解得；
故答案为：
【典例1-10】（2022·天津和平·二模）复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为___________.
【答案】
【详解】
由题意得：，
对应的点的坐标为.
故答案为：
2、复数的运算
【典例2-1】（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知，是z的共轭复数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由已知可得，因此，.
故选：B.
【典例2-2】（2022·江西师大附中三模（文））已知是虚数单位，则的虚部是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【详解】
，故其虚部为，
故选：D.
【典例2-3】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
,
所以的虚部为.
故选：A.
【典例2-4】（2022·全国·模拟预测）已知复数，i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
，所以，所以.
故选：A．
【典例2-5】（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数，是的共轭复数，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】B
【详解】
∵，
所以.
故选：B．
【典例2-6】（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为
所以.
故选：A
【典例2-7】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
,
所以复数的共轭复数为.
故选：A.
【典例2-8】（2022·吉林长春·模拟预测（理））若，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】A
【详解】
,,，
所以.
故选：A
【典例2-9】（2022·上海·模拟预测）若（i是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个复数根，则_________．
【答案】##
【详解】
∵实系数一元二次方程的一个虚根为，
∴其共轭复数也是方程的根.
由根与系数的关系知，，
∴ ，.
∴
故答案为：
【典例2-10】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）著名数学家棣莫佛（De mivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.已知，根据这个公式可知______.
【答案】2
【详解】
根据棣莫佛公式，
由，
因为，所以，
故答案为：
满足条件(a，b为实数)
复数的
分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0