（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第27讲 椭圆（讲义+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第27讲 椭圆（讲义+解析），共17页。试卷主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程和几何性质等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1.椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.
其数学表达式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；
(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；
(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
考点和典型例题
1、椭圆的定义及应用
【典例1-1】已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线
【典例1-2】已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-3】已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-5】已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2、椭圆的简单几何性质
【典例2-1】椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-2】椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【典例2-3】已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-4】已知双曲线的左、右顶点为，，焦点在y轴上的椭圆以，为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-5】已知椭圆的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在椭圆上，且满足，点在线段、上，设，将沿翻折，使得平面与平面垂直，要使翻折后的长度最小，则（ ）
A．B．C．D．
3、椭圆的综合应用
【典例3-1】（多选）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（ ）
A．|PQ|的最大值为
B．为定值
C．椭圆上不存在点M，使得
D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为
【典例3-2】（多选）过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
【典例3-3】（多选）已知椭圆的左，右焦点分别为，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，则（ ）
A．的最大值为B．为定值
C．C的焦距是短轴长的2倍D．存在点A，使得
【典例3-4】已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为．
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)椭圆C上是否存在一点P，使得? 若存在，求的面积；若不存在，请说明理由．
【典例3-5】已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
第27讲 椭圆
学校____________ 姓名____________ 班级____________
知识梳理
1.椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.
其数学表达式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；
(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；
(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
考点和典型例题
1、椭圆的定义及应用
【典例1-1】已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线
【答案】C
【详解】
解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，
当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；
当 时，，此时动点 的轨迹是线段．
故选：C．
【典例1-2】已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D
【典例1-3】已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
根据椭圆定义可得，
所以，
由离心率，所以，
由，
所以椭圆C的标准方程为.
故选：B
【典例1-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
【典例1-5】已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由， ，又，解得，
.
故选：A.
2、椭圆的简单几何性质
【典例2-1】椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由，得 ,故，即，故， ，在△中，由余弦定理可得： ，
，化简得
，即，则，，因为 ，所以
解得或（舍），
故选：B.
【典例2-2】椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【详解】
因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，
所以有，
因此双曲线的两条渐近线方程为：，
所以双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，，
故选：D
【典例2-3】已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由题得：，所以
故选：A．
【典例2-4】已知双曲线的左、右顶点为，，焦点在y轴上的椭圆以，为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设所求椭圆的标准方程为，半焦距为，
双曲线的左顶点为，右顶点为，
由于椭圆以，为顶点，则，该椭圆的离心率为，
所以，，解得，所以，椭圆的方程为，
设点，由于，则点，
由于点在椭圆上，点在双曲线上，
所以，，联立得：，解得或，
当，所以，此时点与点重合，不满足题意舍去；
当，所以，所以.
故选：B.
【典例2-5】已知椭圆的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在椭圆上，且满足，点在线段、上，设，将沿翻折，使得平面与平面垂直，要使翻折后的长度最小，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
在椭圆中，，，，，
因为，且点为第一象限内的点，则，可得，
翻折前，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
设，其中，
则，，，
，
所以，，
翻折后，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，
，平面，
平面，，又因为，
，
，则，故当时，即当时，取得最小值，
则在翻折前，在中，为的角平分线，
所以，，即.
故选：A.
3、椭圆的综合应用
【典例3-1】（多选）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（ ）
A．|PQ|的最大值为
B．为定值
C．椭圆上不存在点M，使得
D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为
【答案】BD
【详解】
如图所示：
A. |PQ|的最大值为长轴长2 ，故错误；
B. 易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；
C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；
D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.
故选：BD
【典例3-2】（多选）过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
【答案】AC
【详解】
A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确；
B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误；
C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；
D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误.
故选：AC．
【典例3-3】（多选）已知椭圆的左，右焦点分别为，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，则（ ）
A．的最大值为B．为定值
C．C的焦距是短轴长的2倍D．存在点A，使得
【答案】ABD
【详解】
解：由题意，，
所以，，所以A正确，C错误；
由椭圆的对称性知，，所以B正确；
当A在y轴上时，，则为钝角，所以存在点A，使得，所以D正确.
故选：ABD.
【典例3-4】已知椭圆的两焦点分别为和，短轴的一个端点为．
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)椭圆C上是否存在一点P，使得? 若存在，求的面积；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)
由焦点坐标知，由短轴端点知，所以，
故所求椭圆标准方程为.
(2)
假设椭圆C上存在一点，使得，
则，即，
联立，得，此方程无解.
故椭圆上不存在点P，使得.
【典例3-5】已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.
【解析】
(1)
依题意，，
又
椭圆的标准方程为.
(2)
由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，
由得，，
直线OP的斜率，
直线的斜率，令得点坐标为，
直线的方程为，即，
直线恒过定点.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2