（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第13讲 三角函数的概念及诱导公式（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
3.任意角的三角函数
定义：设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上的任一点，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝eq \r(x2＋y2)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
4.三角函数线
(1)正弦线与余弦线
如图所
示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，eq \(OM,\s\up6(→))为角α的余弦线.类似地，eq \(MP,\s\up6(→))称为角α的正弦线.
(2)正切线
如图所示，设角α的终边或终边的反向延长线与直线x＝1交于点T，则eq \(AT,\s\up6(→))可以直观地表示tan α，因此eq \(AT,\s\up6(→))称为角α的正切线.
5.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
6.三角函数的诱导公式
7.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β.
(2)cs(α∓β)＝cs αcs β±sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
8.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α.
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
9.函数f(x)＝asin x＋bcs x(a，b为常数)，可以化为f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(x)＝eq \r(a2＋b2)·cs(x－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
10.半角公式
(1)Seq \f(α,2)：sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))，sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,2)；
(2)Ceq \f(α,2)：cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)；
(3)Teq \f(α,2)：taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))(无理形式)，tan2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,1＋cs α)；taneq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)(有理形式).
考点和典型例题
1、三角函数的概念
【典例1-1】（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（ ）
A．4B．8C．10D．16
【典例1-2】（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2022·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-4】（2022·北京房山·二模）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则( )
A．B．C．D．
【典例1-5】（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知角的终边上有一点，则的值是（ ）
A．B．C．或D．不确定
2、同角关系式和诱导公式
【典例2-1】（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（ ）
A．B．C．-3D．3
【典例2-3】（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2-4】（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2-5】（2022·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
3、三角恒等变换的综合应用
【典例3-1】（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2022·湖北·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3-3】（2022·全国·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上的一点，将角终边逆时针旋转得到角的终边，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3-4】（2022·广东·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3-5】（2022·广东汕头·三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
角α的弧度数公式
α＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
180°＝π rad；eq \f(n,180)＝eq \f(α,π)(n为角度数，α为弧度数)
弧长公式
弧长l＝αr
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2
公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
2kπ＋α(k∈Z)
－α
π－α
π＋α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
eq \f(3π,2)＋α
eq \f(3π,2)－α
正弦
sin α
－sin α
sin α
－sin α
cs α
cs α
－cs α
－cs α
余弦
cs α
cs α
－cs α
－cs α
sin α
－sin α
sin α
－sin α
正切
tan α
－tan α
－tan α
tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
第13讲 三角函数的概念及诱导公式
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
3.任意角的三角函数
定义：设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上的任一点，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝eq \r(x2＋y2)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
4.三角函数线
(1)正弦线与余弦线
如图所
示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，eq \(OM,\s\up6(→))为角α的余弦线.类似地，eq \(MP,\s\up6(→))称为角α的正弦线.
(2)正切线
如图所示，设角α的终边或终边的反向延长线与直线x＝1交于点T，则eq \(AT,\s\up6(→))可以直观地表示tan α，因此eq \(AT,\s\up6(→))称为角α的正切线.
5.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
6.三角函数的诱导公式
7.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β.
(2)cs(α∓β)＝cs αcs β±sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
8.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α.
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
9.函数f(x)＝asin x＋bcs x(a，b为常数)，可以化为f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(x)＝eq \r(a2＋b2)·cs(x－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
10.半角公式
(1)Seq \f(α,2)：sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))，sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,2)；
(2)Ceq \f(α,2)：cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)；
(3)Teq \f(α,2)：taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))(无理形式)，tan2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,1＋cs α)；taneq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)(有理形式).
考点和典型例题
1、三角函数的概念
【典例1-1】（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（ ）
A．4B．8C．10D．16
【答案】A
【详解】
如图，弧长为，弧长为，因为圆心角为，，，则母线.
故选：A.
【典例1-2】（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设圆锥的底面半径为，高为，则由题意可得，
解得，
所以，
所以圆锥的体积为
，
故选：C
【典例1-3】（2022·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，
在中，，所以，，
所以在直角三角形中，，所以，所以，而，
所以，所以.
故选：A.
【典例1-4】（2022·北京房山·二模）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
∵是第一象限角，∴，，
∵角的终边关于y轴对称，∴．
故选：D．
【典例1-5】（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知角的终边上有一点，则的值是（ ）
A．B．C．或D．不确定
【答案】B
【详解】
角的终边上点，则，
于是得，
所以.
故选：B
2、同角关系式和诱导公式
【典例2-1】（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，，，，，
，所以.
故选：C
【典例2-2】（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（ ）
A．B．C．-3D．3
【答案】C
【详解】
，
分子分母同除以，
，
解得：
故选：C
【典例2-3】（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
，则，
故选：B．
【典例2-4】（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为，
所以，
故选：B.
【典例2-5】（2022·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
，
故选：A
3、三角恒等变换的综合应用
【典例3-1】（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
依题意，由三角函数的定义可知，
.
故选：D.
【典例3-2】（2022·湖北·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
因为，所以
又，所以，所以
所以
故选：D
【典例3-3】（2022·全国·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上的一点，将角终边逆时针旋转得到角的终边，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题可知，所以，
则
.
故选：A．
【典例3-4】（2022·广东·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为，所以．
故选：B．
【典例3-5】（2022·广东汕头·三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，，，
所以，，
.
故选：A
角α的弧度数公式
α＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
180°＝π rad；eq \f(n,180)＝eq \f(α,π)(n为角度数，α为弧度数)
弧长公式
弧长l＝αr
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2
公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
2kπ＋α(k∈Z)
－α
π－α
π＋α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
eq \f(3π,2)＋α
eq \f(3π,2)－α
正弦
sin α
－sin α
sin α
－sin α
cs α
cs α
－cs α
－cs α
余弦
cs α
cs α
－cs α
－cs α
sin α
－sin α
sin α
－sin α
正切
tan α
－tan α
－tan α
tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限