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    (人教A版2019必修第一册)高考数学(精讲精练)必备 第11练 导数与函数的极值、最值(原卷版+解析)

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    这是一份(人教A版2019必修第一册)高考数学(精讲精练)必备 第11练 导数与函数的极值、最值(原卷版+解析),共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    学校____________ 姓名____________ 班级____________
    一、单选题
    1.函数在上的极大值点为( )
    A.0B.C.D.
    2.函数有( )
    A.极大值点3B.极小值点3
    C.极大值点1D.极小值点1
    3.设,若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    4.已知函数,a为实数,,则在上的最大值是( )
    A.B.1C.D.
    5.若函数在区间上存在最小值,则实数的取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    6.设 ,若为函数的极小值点,则( )
    A.B.C.D.
    7.已知函数,,若≥恒成立,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    8.函数满足:对,都有,则函数的最小值为( )
    A.-20B.-16C.-15D.0
    二、多选题
    9.已知函数,下列结论中正确的是( )
    A.函数在时,取得极小值-1;
    B.对于,恒成立;
    C.若,则;
    D.若对于恒成立,则a的最大值为.
    10.已知函数的导函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.时,取得最大值D.时,取得最小值
    11.已知函数,则( )
    A.在上单调递增
    B.是的极大值点
    C.有三个零点
    D.在上最大值是
    12.已知函数有两个极值点和,且,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    三、解答题
    13.已知函数.
    (1)求的图象在点处的切线方程;
    (2)求在上的最大值与最小值.
    14.已知函数.
    (1)若,求曲线在点处的切线方程;
    (2)若在处取得极值,求的单调区间及其最大值与最小值.
    15.已知函数,其中.
    (1)求的最小值;
    (2)证明:.
    16.已知函数,.
    (1)当时,若为的极大值点,求a的取值范围;
    (2)证明:当时,.
    第11练 导数与函数的极值、最值
    学校____________ 姓名____________ 班级____________
    一、单选题
    1.函数在上的极大值点为( )
    A.0B.C.D.
    【答案】C
    【详解】
    函数的导数为,令得,
    又因为,所以,
    当时,,当时,,
    所以函数在上单调递增,在上单调递减,
    所以使得函数取得极大值的的值为.
    故选:C.
    2.函数有( )
    A.极大值点3B.极小值点3
    C.极大值点1D.极小值点1
    【答案】A
    【详解】
    ∵,
    ∴,
    当时,单调递增;当时,单调递减.
    ∴在处取得极大值,即只有一个极值点,且是极大值点,
    故选:.
    3.设,若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】
    由题意可知,不等式在上恒成立,
    则对上恒成立,
    设,,
    则,令,解得,
    所以当,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    当时,取极大值,即为最大值,最大值为,
    所以,,
    所以的取值范围为
    故选:B
    4.已知函数,a为实数,,则在上的最大值是( )
    A.B.1C.D.
    【答案】A
    【详解】
    解:,





    令,则或,
    当或时,,即函数在和上单调递增;
    当时,,函数在上单调递减;
    所以在处取得极大值,在处取得极小值,又,,
    故函数在区间上的最大值为,
    故选:A.
    5.若函数在区间上存在最小值,则实数的取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【详解】
    由函数,可得,
    且在区间上存在最小值,
    即在区间上存在,
    使得且,,
    设,即满足,且,
    可得,解得,
    即实数的取值范围是.
    故选:D.
    6.设 ,若为函数的极小值点,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】

    若 , 是开口向下的抛物线,x=m是极小值点,
    必有 ,即 ,
    若 , 是开口向上的抛物线,x=m是极小值点,
    必有,即;
    故选:C.
    7.已知函数,,若≥恒成立,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】

    令,
    则,令,,
    ∵,∴p(x)在(0,+)上单调递增,
    ∵,
    ∴当时,,,单调递减;
    当时,,,单调递增;
    ∴,
    ∴≥恒成立,则.
    故选:C.
    8.函数满足:对,都有,则函数的最小值为( )
    A.-20B.-16C.-15D.0
    【答案】B
    【详解】
    解:因为函数满足:对,都有,
    所以,即,
    解得,
    所以,
    则,


    当或时,,
    当时,,
    所以的最小值为,
    故选:B
    二、多选题
    9.已知函数,下列结论中正确的是( )
    A.函数在时,取得极小值-1;
    B.对于,恒成立;
    C.若,则;
    D.若对于恒成立,则a的最大值为.
    【答案】BCD
    【详解】
    因为,所以,
    所以,所以不是函数的极值点,故A错;
    若,则,
    所以函数在区间上单调递减;
    因此,故B正确;
    令,则,
    因为在上恒成立,
    所以在上恒成立,
    因此函数在上单调递减;
    又,所以,
    即,所以,故C正确;
    因为函数在上单调递减;
    所以时,函数也单调递减,
    因此在上恒成立;
    在上恒成立,即a的最大值为,故D正确.
    故选:BCD.
    10.已知函数的导函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.时,取得最大值D.时,取得最小值
    【答案】AB
    【详解】
    由图象可知:当时,;当时,;
    在,上单调递增,在上单调递减;
    对于A,,,A正确;
    对于B,,,B正确;
    对于C,由单调性知为极大值,当时,可能存在,C错误;
    对于D,由单调性知,D错误.
    故选:AB.
    11.已知函数,则( )
    A.在上单调递增
    B.是的极大值点
    C.有三个零点
    D.在上最大值是
    【答案】BCD
    【详解】
    解:因为
    所以,
    令,解得或,
    与随的变化情况如下表:
    因此函数在,上单调递增,在上单调递减,故错误;
    是的极大值点,故正确;
    因为,,,,
    由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点,故正确;
    当的定义域为时,
    在,上单调递减,在,上单调递增,
    又, ,
    所以在,上的最大值是4,故正确.
    故选:.
    12.已知函数有两个极值点和,且,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】ACD
    【详解】
    已知,则,
    令,则
    考虑函数,则,
    当时,,即在上单调递减;
    当时,,即在上单调递减;
    当时,,即在上单调递增;
    故的图象大致如图:
    依题意,若有两个极值点,则,即,因此选项D正确;
    由图易知,,,故选项A正确;
    又,故,因为,
    所以,故选项C正确;
    因为,即,
    故,即.
    由于,,所以,从而,故选项B错误.
    故答案为:ACD.
    三、解答题
    13.已知函数.
    (1)求的图象在点处的切线方程;
    (2)求在上的最大值与最小值.
    【答案】(1);(2)最大值与最小值分别为与.
    【解析】(1)因为,所以
    所以.
    所以的图象在点处的切线方程为,即.
    (2)由(1)知
    令,则;令,则.
    所以在上单调递减,在上单调递增.所以
    又,所以.
    所以在上的最大值与最小值分别为与.
    14.已知函数.
    (1)若,求曲线在点处的切线方程;
    (2)若在处取得极值,求的单调区间及其最大值与最小值.
    【答案】(1);
    (2)的单调递增区间为,,单调递减区间为;最大值为,最小值为.
    【解析】(1)
    当时,定义域为,,
    ,,故在点处的切线方程为:,即;
    (2)
    由题意得:,,故,此时,经检验,符合要求,
    ,令时,,,令得:或
    ,令得:,的单调递增区间为,,单调递减区间为;又当时,恒成立,当时,恒成立,故,,即最大值为,最小值为.
    15.已知函数,其中.
    (1)求的最小值;
    (2)证明:.
    【解析】(1)
    , 令,解得,
    由为增函数知,当时,,当时,,所以在上递减,在上递增,
    所以的最小值为.
    (2)
    令,则,由时,,时,,
    可知在上递减,在上递增,所以当时,取最小值.
    故,即对.
    故,故
    而对,,
    故原式得证.
    16.已知函数,.
    (1)当时,若为的极大值点,求a的取值范围;
    (2)证明:当时,.
    【解析】(1)
    ∵,
    ∴,
    由,可得或,
    当时,,函数在R上单调递增,函数无极值,故不符合题意,
    当时,,单调递增,,单调递减,
    所以为的极大值点;
    综上,的取值范围为;
    (2)
    由上可知,,
    由,可得,
    当时,,函数在上单调递增,
    ∴,
    当时,,单调递减,,单调递增,
    ∴,
    综上,当时,.
    2
    0
    0
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    极小值
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