（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第20练 数列综合（原卷版+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第20练 数列综合（原卷版+解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．数列的前项和，首项为1．对于任意正整数，都有，则（ ）
A．B．C．D．
2．数列的前n项和为，且，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
3．已知数列满足，，记的前项和为，的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
4．若数列满足：若，则，则称数列为“等同数列”．已知数列满足，且，若“等同数列”的前项和为，且，，，则（ ）
A．4711B．4712C．4714D．4718
5．已知数列，的通项公式分别为，，现从数列中剔除与的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列，则数列的前150项之和为（ ）
A．23804B．23946C．24100D．24612
6．已知数列中，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则n的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．119B．C．D．
10．已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和，若对任意，且，总有恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
11．已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．数列满足，，则前40项和为________．
14．设数列的前n项和为，已知，则_________.
四、解答题
15．已知是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
16．定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．
(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)若，求的前n项和，并证明：．
第20练 数列综合
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．数列的前项和，首项为1．对于任意正整数，都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题设时，是首项为1，公比为2的等比数列，故且，
所以，则，
故时，是首项为14，公差为-2的等差数列，故且，
所以.
故选：C．
2．数列的前n项和为，且，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【详解】
∵，故
故
.
故选：D.
3．已知数列满足，，记的前项和为，的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为，，
所以当为奇数时，，，即当为奇数时，；当为偶数时，.
所以
所以，
所以
.
故选：B.
4．若数列满足：若，则，则称数列为“等同数列”．已知数列满足，且，若“等同数列”的前项和为，且，，，则（ ）
A．4711B．4712C．4714D．4718
【答案】D
【详解】
由得，则，
故,所以，，，
所以，所以，因为，
所以，解得，同理得，
，，…，故数列是以3为周期的数列，
所以，
故选:D．
5．已知数列，的通项公式分别为，，现从数列中剔除与的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列，则数列的前150项之和为（ ）
A．23804B．23946C．24100D．24612
【答案】D
【详解】
因为，，，故数列的前项中包含的前项，故数列的前150项包含的前项排除与公共的8项.
记数列，的前项和分别为，，
故选：D.
6．已知数列中，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题得，，又，
所以.所以，可得.所以数列是递增数列.
又，所以，所以
，所以，又，所以，所以，所以.
故选：A.
7．已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
因为，故数列为等比数列，又，所以；
则；
所以.
故选：D.
8．如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则n的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【详解】
解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为，第2代“勾股树”中，正方形的个数为，…，
以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，即，
所以，
因为，所以数列为递增数列，
又，，
所以n的最小值为9．
故选：C．
9．已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．119B．C．D．
【答案】B
【详解】
由余弦函数的性质知，，
又，
所以
．
故选：B．
10．已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和，若对任意，且，总有恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】
，
当 时， ，解得
当 时，
整理得： ，又 各项均为正数

是以 为首项，公差 的等差数列

令
令




的最小值为
故选：B
二、多选题
11．已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】
，A正确；
对于，有，两式相加得，C正确；
由知，则，B错误；
由偶数项均为可得为偶数时，，则
，则，D正确.
故选：ACD.
12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】
由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又满足上式，所以，故A错误；
则，
得，故B正确；
有，故C正确；
由，
得，
故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．数列满足，，则前40项和为________．
【答案】
【详解】
当时，，
故
，
当时，，
所以，
所以，
当时，；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
故
，
故前40项和为，
故答案为：
14．设数列的前n项和为，已知，则_________.
【答案】960
【详解】
由，
当n为奇数时，有；当n为偶数时，，
∴数列的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则
，
故答案为：960.
四、解答题
15．已知是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
变形为，
因为，
所以，故；
(2)
当为奇数时，，
当为偶数时，，
则
16．定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．
(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
(2)若，求的前n项和，并证明：．
【答案】(1)，，
(2)，证明见解析
【解析】(1)
由题意得，
，
，
，
，
…
，
由等比数列的前n项和公式可得，，
所以的通项公式．
(2)
由于，
所以，
则，
因为，所以，所以，
又随n的增大而减小，
所以当时，取得最大值，故．