（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第28练 双曲线（原卷版+解析）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（ ）
A．B．9C．D．3
5．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点是双曲线的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（ ）
A．8B．C．6D．
8．双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
9．已知方程，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为，则
10．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：、是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为上，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光由到再到所经过的路程为
D．若，直线与相切，则
二、多选题
11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．
B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为
12．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确是（ ）
A．M的离心率为B．M的标准方程为
C．M的渐近线方程为D．直线经过M的一个焦点
三、解答题
13．设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
14．已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
15．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．
第28练 双曲线
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
由题意，的渐近线方程为
故选：C
2．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由题知，所以.
故选：D
3．已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：由双曲线方程可得，点F坐标为，将代入双曲线方程，得，
由于点P在第一象限，所以点P坐标为，
双曲线的渐近线方程为，点P到双曲线的渐近线的距离为．
Q是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为．
故选：B．
4．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（ ）
A．B．9C．D．3
【答案】A
【详解】
的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故
故选：A
5．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点在该双曲线上．
设该双曲线的方程为，
则解得，，
故该双曲线的标准方程是．
故选：D.
6．如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题可得，因为，所以，
则在中，，即，即.
故选：A.
7．已知点是双曲线的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（ ）
A．8B．C．6D．
【答案】A
【详解】
由题意可得．取渐近线，易知点到直线的距离为b，则，所以，联立得．所以C的实轴长为8．
故选：A
8．双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【详解】
根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最大值也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即，，
则
故选：A
9．已知方程，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为，则
【答案】B
【详解】
由题意得，当时，，
即，要表示椭圆，需满足 ，解得且，
故A错误；
若E表示双曲线，则不能为0，
故化为，
则，即或，故B正确；
由B的分析知，时， ，此时c不确定，
故焦距不是定值，C错误；
若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，
当时，，此时 ，
则，解得 ，
当时，，此时 ，
则，解得 ，故D错误，
故选：B
10．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：、是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为上，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光由到再到所经过的路程为
D．若，直线与相切，则
【答案】C
【详解】
在双曲线中，，，则，易知点、，
设，，
对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，
当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，此时，
同理可知当点在第四象限内运动时，，
当点为双曲线的右顶点时，，
综上所述，的取值范围是，A对；
对于B选项，当时，，
，所以，，B对；
对于C选项，，
故过点时，光由到再到所经过的路程为
，C错；
对于D选项，若，由角平分线定理可得，
即，解得，D对.
故选：C.
二、多选题
11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．
B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为
【答案】BC
【详解】
根据双曲线的定义可得：，A错误；
设，则，即
∵，则
∴，B正确；
不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知
若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一
若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一
根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；
不妨P在第一象限，则
∴
则
D不正确；
故选：BC．
12．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确是（ ）
A．M的离心率为B．M的标准方程为
C．M的渐近线方程为D．直线经过M的一个焦点
【答案】ACD
【详解】
根据题意双曲线 的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为 ， 有 ，①， 双曲线的两条渐近线的夹角为 ，
则过一三象限的渐近线的斜率为 或 ， 即 或 ，②
联立①②可得： ， ， 或 ， ， ；
因为 ，所以 ， ， ，故双曲线的方程为
对A，则离心率为 ，故 A 正确 .
对B，双曲线的方程为 ，故 B 错误；
对C，渐近线方程为 ，故 C 正确；
对D，直线 经过 M 的一个焦点 ，所以 D 正确 .
故选： ACD
三、解答题
13．设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
解：抛物线的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为.
(2)
解：依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
14．已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
【答案】(1)(2)2
【解析】(1)
由题设可知，解得
则：．
(2)
设点M的横坐标为
当直线斜率不存在时，则直线：
易知点到轴的距离为﹔
当直线斜率存在时，设：，，，
联立，整理得，
，
整理得
联立，整理得，
则，则，即
则，即
∴此时点到轴的距离大于2；
综上所述，点到轴的最小距离为2．
15．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)
设双曲线C的方程为（），
由题意知，
因为，所以解得
∴双曲线C的方程为
(2)
设直线AB的方程为，，
由，整理得，
则，，得，
直线PA方程为
令，则M（0，），同理N（0，）.
由，可得，
∴0，
0，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
当时，
此时直线AB方程为恒过定点，显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点