高考数学模拟题分项汇编(第四期) 专题15 函数与导数解答题(原卷版+解析)

这是一份高考数学模拟题分项汇编(第四期) 专题15 函数与导数解答题(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了已知，已知函数.，已知函数，a∈R，已知函数是奇函数.，设函数，，其中为实数.等内容，欢迎下载使用。

（1）若在上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若，试分析，的根的个数.
2．（2021·河北唐山市第十中学高三期中）若．
（1）当．时，讨论函数的单调性；
（2）若，且有两个极值点，，证明．
3．（2021·福建宁德一中高三期中）已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）证明：当时，.
4．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）设函数（）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：.
5．（2021·福建省福州外国语学校高三月考）已知函数，a∈R
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线的方程
（2）若曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.
6．（2021·福建三明一中高三月考）已知函数，其中为奇函数，为偶函数．
（1）求与的解析式；
（2）当时，有解，求实数的取值范围．
7．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数.
（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.
①若恒成立，求的取值范围.
②若仅有两个零点，求的取值范围.
8．（2021·山东德州一中高三期中）已知函数是奇函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若的解集为，求的值.
9．（2021·山东师范大学附中高三月考）设函数，，其中为实数.
（1）若在处的切线方程为，求实数的值；
（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
10．（2021·山东师范大学附中高三月考）已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是以为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式.
11．（2021·湖北石首市第一中学高三月考）已知函数且.
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）求满足f（x）的实数的取值范围.
12．（2021·湖北武汉二中高三期中）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，判断函数的零点个数.
13．（2021·湖南长郡中学高三月考）已知函数，．
（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）．
14．（2021·湖南永州一中高三月考）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有三个极值点、、.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：为定值.
15．（2021·广东深圳福田中学高三月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
16．（2021·广东肇庆一中模拟）已知函数.
（1）若成立，求的值；
（2）若有两个不同的零点，证明：.
17．（2021·江苏海安高级中学高三月考）已知函数，
（1）若在处取极值，求k的值；
（2）若有两个零点，，求证：．
18．（2021·重庆八中高三月考）已知.
（1）当时，求证：函数在上单调递增；
（2）若只有一个零点，求的取值范围.
专题15 函数与导数解答题
1．（2021·河北衡水中学高三月考）已知：
（1）若在上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）若，试分析，的根的个数.
【答案】
（1）
（2）无实根
【解析】
（1）
由于在上递增得：在上恒成立，
即在上恒成立
令，，
则，
故在上递减，于是，
故；
（2），，故在上递增，
又，，
故唯一，使得在上递减，在上递增.
故且
故，
令，
则
故在上递减
当时，由递减知，
故，
即，
从而有在上恒成立.
故时，无实根.
2．（2021·河北唐山市第十中学高三期中）若．
（1）当．时，讨论函数的单调性；
（2）若，且有两个极值点，，证明．
【答案】
（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
（1）当时，
，
令，或，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减
在上单调递增；
当时，，故函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减在单调递增；
（2）证明：当时，．
∵函数有两个极值点，∴方程有两个根，
∴，且，解得，
由题意得
，
令，
则，∴在上单调递减，∴，
∴
3．（2021·福建宁德一中高三期中）已知函数.
（1）求函数在上的最小值；
（2）证明：当时，.
【答案】
（1）当时，；当时，；当时，.
（2）见详解
【解析】
（1）由，得，，
令，得，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增.
①当，即时，函数在上单调递减，因此；
②当时，函数在上单调递增，因此；
③当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，因此.
综上所述，当时，；当时，；当时，.
（2）证明：设，，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故恒成立.
要证，只需证，
因为，所以，
故只需证（因时，左边小于右边，所以可以带等号），即.
令，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故.
因此当时，.
4．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）设函数（）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：.
【答案】
（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增
（2）证明见解析
【解析】
（（1）由，，可得，.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增；
（2）证明：（2）因为函数有两个零点，由（1）得，
此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.
所以，可得.所以.
由（1）可得的极小值点为，则不妨设.
设，，
可得，，
所以在上单调递增，所以，
即，则，，
所以当时，，且.
因为当时，单调递增，所以，即.
设，，则，则，即.
所以，所以.
设，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即
综上，.
5．（2021·福建省福州外国语学校高三月考）已知函数，a∈R
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线的方程
（2）若曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.
【答案】
（1）
（2）或
【解析】
（1）当时，，，
∴，
∴曲线y=f（x）在点(0，f(0))处的切线的方程为.
（2）由得，，
当时，，函数在R上单调递增，
此时，
所以当时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；
当时，令得，，
∴单调递增，单调递减，
∴当时，函数有极大值，
若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，
则，解得，
综上所述，当或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点.
6．（2021·福建三明一中高三月考）已知函数，其中为奇函数，为偶函数．
（1）求与的解析式；
（2）当时，有解，求实数的取值范围．
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】
（1）因为， ①
所以，
又因为为奇函数，为偶函数，所以，，
所以， ②
联立①②得，解得．
（2）
有解，即有解，
令，
设，则，
因为，且在上为单调递增函数，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，所以，
故实数的取值范围为．
7．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数.
（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.
①若恒成立，求的取值范围.
②若仅有两个零点，求的取值范围.
【答案】
（1）单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）选择①时，；选择②时，
【解析】
（1）定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）①选择若恒成立，
若恒成立，即，整理为，即
设函数，则上式为：
因为恒成立，所以单调递增，所以
所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1，解得：
故当时，恒成立.
②选择若仅有两个零点，
即有两个根，整理为，即
设函数，则上式为：
因为恒成立，所以单调递增，所以=
所以只需有两个根，令，.
，当时，，当时，，故在处取得极大值，，
要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为
8．（2021·山东德州一中高三期中）已知函数是奇函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若的解集为，求的值.
【答案】
（1）；
（2）4.
【解析】
（1）是奇函数，
则，即，
即，则，
得，解得：或，
当时，，此时无意义，不符合题意；
当时，是奇函数，符合题意；
所以，
若，则，即，解得：，
所以时，的取值范围为.
（2）由于，解得：，
所以的定义域为，
若，即，得，
变形得，即，
，
则可得方程的两根分别为和，
由题可知的解集为，
即方程的两个根为和，
所以得，，解得：，
所以.
9．（2021·山东师范大学附中高三月考）设函数，，其中为实数.
（1）若在处的切线方程为，求实数的值；
（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
【答案】
（1）
（2）2，答案见解析
【解析】
（1）由题，因为切线方程为，即切线斜率为，
，∴.
（2）由题在上恒成立，
∴在上恒成立，∴，
由得，
令，则的零点个数等价于和的交点个数，
则，
当时，，递增，
当时，，递减，
∴时，最大值为，
又时，；时，，
据此作出的大致图象，
由图知：当或时，的零点有1个；当时，的零点有2个.
10．（2021·山东师范大学附中高三月考）已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是以为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）因为，所以
所以，可得.
由得.
因为，所以，解得：.
由可得：，所以的取值范围为
（2）当时，有，
当时，，
因此.
11．（2021·湖北石首市第一中学高三月考）已知函数且.
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）求满足f（x）的实数的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．
【解析】
（1）根据题意，，
则有，解可得，
则函数的定义域为，
又由，
则是奇函数；
（2）由得
①当时，，解得；
②当时，，解得；
当时x的取值范围是；
当时x的取值范围是．
12．（2021·湖北武汉二中高三期中）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，判断函数的零点个数.
【答案】
（1）答案见解析
（2）两个
【解析】
（1）
函数的定义域为，，
当时，，，当且仅当时，，
在单调递增；
当时，或，
，在，单调递增，在单调递减；
当时，或，，
在，单调递增，在单调递减；
综上所述：当时，在单调递增；
当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在，单调递增，在单调递减；
（2），，
，
设，，
所以在单调递增，
，，
∴，，，
当时，，当时，，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，，
设， ，
∴在单调递减，∴，∴在成立，
∵在单调递减，在单调递增， ∴，
取，设，
，
∴，，∴，，
取，设
，
∴ ，∴，
∴，，∴，，
∴在定义域内有两个零点.
13．（2021·湖南长郡中学高三月考）已知函数，．
（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）由题意，在上恒成立．
即在上恒成立．
令，则，
所以在上单调递增．
于是，所以．
（2）当时，设公切线在上的切点为，
则切线方程为：．
设公切线在上的切点为，
则切线方程为：，
，
又，．
令．．
又在上单调递减，而，，
满足，即，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
，
．
14．（2021·湖南永州一中高三月考）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有三个极值点、、.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：为定值.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）（i）；（ii）证明见解析.
【解析】
（1）当时，，该函数的定义域为，
，且，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
所以，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）（i）因为，该函数的定义域为，
则，
令，则函数在上有三个零点、、.
，且.
①当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，
又因为，此时函数有且只要一个零点，不合乎题意；
②当时，设，则.
若，即当时，对任意的，且不恒为零.
此时函数在上单调递减，
又因为，此时函数有且只有一个零点，不合乎题意；
若，即当时，
令，可得，，
当或时，，
当时，，
此时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为.
因为，
所以，，，
当时，，当时，，
此时，函数在、上各有一个零点，
又因为，故函数有三个零点，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是；
（ii）由（i）可知，
当时，，
则，
因为，则，
因为，从而，
因为函数在上有且只有一个零点，则，故，
因此，.
15．（2021·广东深圳福田中学高三月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）由已知定义域为，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.
所以时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；
当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；
若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.
所以综上所述：.
16．（2021·广东肇庆一中模拟）已知函数.
（1）若成立，求的值；
（2）若有两个不同的零点，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由得：，即；
令，则；
①当时，，在上单调递减，
又时，，不合题意；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
有唯一解：；
综上所述：.
（2）由题意得：，则，
由（1）知：，若有两个零点，则；
则当时，，，，不妨设，
要证，只需证，即证；
，，，即证；
，，即证，
即证，
令，则，只需证，即，
令，则，，
当时，，在上单调递增，，
在上单调递增，，即，
原不等式得证.
17．（2021·江苏海安高级中学高三月考）已知函数，
（1）若在处取极值，求k的值；
（2）若有两个零点，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
（1）由题意，函数，可得，
因为在处取极值，可得，解得，
由时，可得
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
因此在处取极大值，满足题意．
（2）由题意，函数有两个零点，，
即，，所以，可得
要证，
即证，即证，即证，
不妨设，记，则，即证，
即证，令，，
可得，
因此在上单调递增，所以，
即结论成立．
18．（2021·重庆八中高三月考）已知.
（1）当时，求证：函数在上单调递增；
（2）若只有一个零点，求的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【解析】
（1）当时，，，
，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以在上单调递增；
（2）因为，
所以为奇函数，，
要证明只有一个零点，只需证明在上无零点，
由（1）知：当时，，故，
令，则时，无零点，符合题意，
当时，，
故在上单调递减，则，无零点，符合题意，
当时，，，，
所以在上单调递增，且，，
故存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
所以，
取，时，令，
可得，即，且时，，
由零点存在性定理，在上至少存在一个零点，不符合题意，
综上所述：的取值范围为