高考数学模拟题分项汇编(第四期) 专题08 数列(原卷版+解析)

这是一份高考数学模拟题分项汇编(第四期) 专题08 数列(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了分钟相遇.等内容，欢迎下载使用。

A．B．C．D．
2．（2021·辽宁渤海大学附中高三月考）在等差数列中，若，，则公差（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）已知数列满足，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·重庆八中高三月考）如图1甲是第七届国际数学家大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（ ）
A．2B．3C．D．
5．（2021·重庆一中高三月考）中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还升､升､升粟，1斗为10升，则（ ）
A．，，依次成公比为2的等比数列B．，，依次成公差为2的等差数列
C．D．
6．（2021·江苏如皋中学高三月考）已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
7．（2021·江苏苏州中学高三月考）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 (n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．（2021·广东福田一中高三月考）已知为数列的前项和，，，那么（ ）
A．-64B．-32C．-16D．-8
9．（2021·广东中山一中模拟）数列为等差数列，为其前项和，，则=（ ）
A．40B．42C．43D．45
10．（2021·广东肇庆一中模拟）甲､乙两人分别从相距的两处同时相向行走，甲第一分钟走，以后每分钟比前分钟多走；乙第一分钟走，以后每分钟比前分钟少走.甲､乙开始行走后，经过（ ）分钟相遇.
A．B．C．D．
11．（2021·湖南永州一中高三月考）在数列中，，则（ ）
A．25B．32C．62D．72
12．（2021·湖南湘潭一中高三月考）如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，则（ ）
参考数据：1.122＝8.14
A．814B．900C．914D．1000
13．（2021·湖北武汉二中高三期中）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，….下列说法错误的是（ ）
A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为
B．
C．使得不等式成立的的最大值为4
D．数列的前项和
14．（2021·山东滕州一中高三期中）已知数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项D．此数列的最小项是
15．（2021·山东德州一中高三期中）已知为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，且，则（ ）
A．10B．15C．18D．20
16．（2021·福建泉州科技中学高三月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（ ）
A．994B．995C．1003D．1004
17．（2021·福建福州四中高三月考）记为等差数列的前项和．若，，则（ ）
A．11B．9C．6D．4
18．（2021·河北石家庄二中高三月考）已知数列满足，对任意的有，设数列满足，，则当的前项和取到最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2021·河北衡水二中高三月考）高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前n项和为，，，，则n的值为（ ）
A．8B．11C．13D．17
20．（2021·河北石家庄一中高三月考）下列说法错误的有（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
21．（2021·广东惠州一中高三月考）记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ）
A．B．C．D．
专题08 数列
1．（2021·辽宁实验中学高三期中）数列中，，，使对任意的（）恒成立的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知可得，数列：，可得规律为；；；此时将原数列分为三个等差数列：，；，；
因为，
所以满足对任意的恒成立的最大值为．
故选：A.
2．（2021·辽宁渤海大学附中高三月考）在等差数列中，若，，则公差（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】数列为等差数列又∵ ，根据等差数列性质得到
，，又，
，.
故选：D.
3．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）已知数列满足，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，即是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以，因为数列是单调递增数列，所以对于任意的恒成立，即，即，即，因为在上单调递增，所以当时，，所以，即；
故选：C
4．（2021·重庆八中高三月考）如图1甲是第七届国际数学家大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【解析】由题意，…
以此类推可得，
所以.
故选：A.
5．（2021·重庆一中高三月考）中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还升､升､升粟，1斗为10升，则（ ）
A．，，依次成公比为2的等比数列B．，，依次成公差为2的等差数列
C．D．
【答案】D
【解析】由条件，知，，依次成公比为的等比数列，故AB都错误；
又，，
所以，所以，故C错误，D正确
故选： D．
6．（2021·江苏如皋中学高三月考）已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
【答案】D
【解析】因为是等差数列，前项和为，由得：
，即，即，
对于选项A：由得，可得，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C：，若，则，故选项C正确；
对于选项D：当时，，则，因为，所以，，
所以，故选项D不正确，
故选：D
7．（2021·江苏苏州中学高三月考）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 (n＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】因为 (n＝0,1,2，…)，所以，
所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，所以Sn＝＝2n－1
所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6，
故选：B
8．（2021·广东福田一中高三月考）已知为数列的前项和，，，那么（ ）
A．-64B．-32C．-16D．-8
【答案】B
【解析】时，，，可得：，化为．
时，．
数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为．
那么．
故选：B．
9．（2021·广东中山一中模拟）数列为等差数列，为其前项和，，则=（ ）
A．40B．42C．43D．45
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为d，则，
所以，
所以，
所以.
故选:D.
10．（2021·广东肇庆一中模拟）甲､乙两人分别从相距的两处同时相向行走，甲第一分钟走，以后每分钟比前分钟多走；乙第一分钟走，以后每分钟比前分钟少走.甲､乙开始行走后，经过（ ）分钟相遇.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设甲第分钟走的路程为，则是以为首项，为公差的等差数列，
则其前项和；
设乙第分钟走的路程为，则是以为首项，为公差的等差数列，
则其前项和；
由题意知：，即；
解得：或，又，经过分钟相遇.
故选：B.
11．（2021·湖南永州一中高三月考）在数列中，，则（ ）
A．25B．32C．62D．72
【答案】B
【解析】令函数，
由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，
所以
所以
故选：B
12．（2021·湖南湘潭一中高三月考）如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，则（ ）
参考数据：1.122＝8.14
A．814B．900C．914D．1000
【答案】C
【解析】由条件可得，
∴，
得
，
∵，
∴．
故选：C
13．（2021·湖北武汉二中高三期中）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，….下列说法错误的是（ ）
A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为
B．
C．使得不等式成立的的最大值为4
D．数列的前项和
【答案】C
【解析】由题意， ，
，……，，
于是数列是以4为首项，为公比的等比数列，则.
由题意可得：，即……，
于是.
对A，连续三个正方形面积之和为：，正确；
易知B正确；
对C，令，而，错误；
对D，，正确.
故选：C.
14．（2021·山东滕州一中高三期中）已知数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项D．此数列的最小项是
【答案】B
【解析】令，则，
当时，
当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减
所以当即时，取得最大值，
所以此数列的最大项是，最小项为
故选：B．
15．（2021·山东德州一中高三期中）已知为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，且，则（ ）
A．10B．15C．18D．20
【答案】D
【解析】由题可知，等差数列的公差，
成等比数列，，
则，即，
解得：，所以.
故选：D.
16．（2021·福建泉州科技中学高三月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（ ）
A．994B．995C．1003D．1004
【答案】B
【解析】没有去掉“1”之前，第1行的和为，第2行的和为，第3行的和为，
以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则前项和为．每一行的个数为1，2，3，4，…，
可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则前项总个数为．
当时，，去掉两端“1”，可得，
则去掉两端“1”后此数列的前36项和为，
所以第36项为第10行去掉“1”后的最后一个数为，
所以该数列的前35项和为．
故选：B.
17．（2021·福建福州四中高三月考）记为等差数列的前项和．若，，则（ ）
A．11B．9C．6D．4
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
由，得，
解得，
所以是常数列，故．
故选：D
18．（2021·河北石家庄二中高三月考）已知数列满足，对任意的有，设数列满足，，则当的前项和取到最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，n=1时，，
时，，
则，
即，
则当时，，而均满足该式，
所以.
令，则，
于是，当时，，当时，，
由题意，.
所以，当的前项和取到最大值时的值为10.
故选：B.
19．（2021·河北衡水二中高三月考）高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前n项和为，，，，则n的值为（ ）
A．8B．11C．13D．17
【答案】D
【解析】
根据题意，，，，
即，
两式相加得到
所以，
故选：D．
20．（2021·河北石家庄一中高三月考）下列说法错误的有（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
【答案】ABD
【解析】
A：显然成等差数列，但是显然不成等差数列，因此本说法不正确；
B：显然成等差数列，但是这三个式子没有意义，因此本说法不正确；
C：因为a，b，c成等差数列，所以，因为，
所以成等差数列，因此本说法正确；
D：显然成等差数列，但是，显然不成等差数列，因此本说法不正确；
故选：ABD
21．（2021·广东惠州一中高三月考）记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】
由，得，
设等差数列的公差为，则有，
所以，
所以，
所以，，
，
由，得，
故选：ACD.