备考2024届高考数学一轮复习讲义第十章计数原理概率随机变量及其分布第6讲离散型随机变量及其分布列数字特征

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一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点Ω，都有① 唯一的实数X（Ω） 与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.
随机变量一般用大写英文字母表示，例如X，Y，Z.随机变量的取值一般用小写英文字母表示，例如x，y，z.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示.
3.离散型随机变量分布列的性质
（1）pi② ≥ 0，i＝1，2，…，n；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝③ 1 .
4.离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E（X）＝④ x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＝∑i=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
称D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝⑤ ∑i=1nxi－EX2pi 为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称D（X）为随机变量X的⑥ 标准差 ，记为σ（X）.方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的⑦ 偏离程度 ，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
5.均值与方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X，X1，X2是随机变量，则
（1）E（aX＋b）＝⑧ aE（X）＋b ，D（aX＋b）＝⑨ a2D（X） ；
（2）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2），D（X）＝E（X2）－[E（X）]2.
1.下列说法错误的是（ B ）
A.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量
B.离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1
C.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
D.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小
2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于（ D ）
A.1B.22或－22C.1＋22D.22
解析 由离散型随机变量分布列的性质得12+1－q＋q－q2=1，0≤1－q≤12，0≤q－q2≤12，解得q＝22.
3.一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ B ）
A.36元B.37元C.38元D.39元
解析 设这台机器每生产一件产品可获利X元，则X可能取的数值为50，30，－20，所以P（X＝50）＝0.6，P（X＝30）＝0.3，P（X＝－20）＝0.1，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为E（X）＝50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37（元），故选B.
4.[多选]设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有（ ACD ）
A.q＝0.1B.E（X）＝2，D（X）＝1.4
C.E（X）＝2，D（X）＝1.8D.E（Y）＝5，D（Y）＝7.2
解析 因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E（X）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以E（Y）＝2E（X）＋1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2，故D正确.故选ACD.
5.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，则D（X）的值为 0 .
解析 ∵P（X＝c）＝1，∴E（X）＝c×1＝c，∴D（X）＝（c－c）2×1＝0.
研透高考 明确方向
命题点1 离散型随机变量分布列的性质
例1 （1）某射手射击所得环数ξ的分布列如下表：
已知ξ的数学期望E（ξ）＝8.9，则y的值为（ C ）
A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2
解析 由题中表格可知x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，解得y＝0.4.故选C.
（2）[多选]设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k5）＝ak（k＝1，2，3，4，5），则（ AB ）
A.a＝115B.P（12＜ξ＜45）＝15
C.P（110＜ξ＜12）＝215D.P（ξ＝1）＝310
解析 ∵随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k5）＝ak（k＝1，2，3，4，5），
∴P（ξ＝15）＋P（ξ＝25）＋P（ξ＝35）＋P（ξ＝45）＋P（ξ＝1）＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝115，故A正确；
易知P（12＜ξ＜45）＝P（ξ＝35）＝3×115＝15，故B正确；
易知P（110＜ξ＜12）＝P（ξ＝15）＋P（ξ＝25）＝115＋2×115＝15，故C错误；
易知P（ξ＝1）＝5×115＝13，故D错误.
方法技巧
离散型随机变量分布列的性质的应用
1.利用“总概率之和为1”可以求相关参数的值及检验分布列是否正确；
2.利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
训练1 （1）若随机变量X的分布列为
则当P（X＜a）＝0.8时，实数a的取值范围是（ C ）
A.（－∞，2]B.[1，2]C.（1，2]D.（1，2）
解析 由随机变量X的分布列知，P（X＜1）＝0.5，P（X＜2）＝0.8，故当P（X＜a）＝0.8时，实数a的取值范围是（1，2].
（2）随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P（｜X｜＝1）＝ 23 ，公差d的取值范围是 [－13，13] .
解析 因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P（｜X｜＝1）＝a＋c＝23.
又a＝13－d，c＝13＋d，
根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.
命题点2 离散型随机变量的分布列及数字特征
例2 （1）[多选]设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝ak+1（k＝1，2，5），a∈R，Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则（ ABC ）
A.P（0＜ξ＜3.5）＝56B.E（3ξ＋1）＝7
C.D（ξ）＝2D.D（3ξ＋1）＝6
解析 ∵P（ξ＝k）＝ak+1（k＝1，2，5），a∈R，
∴P（ξ＝1）＝a1+1＝a2，P（ξ＝2）＝a2+1＝a3，P（ξ＝5）＝a5+1＝a6，∴a2＋a3＋a6＝1，
解得a＝1.
P（0＜ξ＜3.5）＝P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝12＋13＝56，故A正确；
∵E（ξ）＝1×12＋2×13＋5×16＝2，∴E（3ξ＋1）＝3E（ξ）＋1＝3×2＋1＝7，故B正确；D（ξ）＝12×（1－2）2＋13×（2－2）2＋16×（5－2）2＝2，故C正确；
D（3ξ＋1）＝32D（ξ）＝9×2＝18，故D错误.
（2）[2022全国卷甲]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
①求甲学校获得冠军的概率；
②用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.
解析 ①设甲学校获得冠军的事件为A，则甲学校必须获胜2场或者3场.
P（A）＝0.5×0.4×0.8＋（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.6.
故甲学校获得冠军的概率为 0.6.
②X的取值可以为0，10，20，30.
P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P（X＝10）＝（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，
P（X＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1－0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34，
P（X＝30）＝（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06.
所以X的分布列为
所以E（X）＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
方法技巧
求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
（1）理解X的含义，写出X的全部可能取值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列；
（4）由均值、方差的定义求E（X），D（X）.
训练2 [多选]甲、乙两人进行纸牌游戏（纸牌除了颜色不同，没有其他任何区别），他们手里各持有4张纸牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机取出1张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌张数分别为X，Y，则（ AD ）
A.P（X＝2）＝12B.P（X＝3）＝14
C.E（X）＝E（Y）D.D（X）＝D（Y）
解析 记甲取出1张红牌为事件A，乙取出1张红牌为事件B，
则P（A）＝24＝12，P（B）＝14.
由题意，X的可能取值为1，2，3，且Y＝3－X，
则P（X＝1）＝12×34＝38，P（X＝2）＝12×34＋12×14＝12，P（X＝3）＝12×14＝18，故A正确，B错误.
E（X）＝1×38＋2×12＋3×18＝74，E（Y）＝E（3－X）＝3－E（X）＝3－74＝54，故C错误.
D（Y）＝D（3－X）＝（－1）2D（X）＝D（X），故D正确.故选AD.
命题点3 利用均值与方差进行决策
例3 [2021新高考卷Ⅰ]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
解析 （1）由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，
P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，
P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
（2）当小明先回答A类问题时，由（1）可得E（X）＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4，
P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，
P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
E（Y）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6＞54.4，即E（Y）＞E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
方法技巧
在利用均值和方差的意义去分析、解决实际问题时，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.需要注意的是，实际应用中是方差大了好还是方差小了好，要看这组数据反映的实际问题.
训练3 [2023湖北荆州中学模拟]某公司计划在2023年年初将1 000万元用于投资，现有两个项目供选择.
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30％，也可能亏损15％，且这两种情况发生的概率分别为79和29.
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50％，也可能亏损30％，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13，115.
（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），大约在哪一年年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？（参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1）
解析 （1）若投资项目一，设获利为ξ1万元（负值表示亏损），则ξ1的分布列为
E（ξ1）＝300×79＋（－150）×29＝200.
若投资项目二，设获利为ξ2万元（负值表示亏损，0表示不赔不赚），则ξ2的分布列为
E（ξ2）＝500×35＋0×115＋（－300）×13＝200.
∴E（ξ1）＝E（ξ2），即投资项目一和项目二获利的期望相同.
D（ξ1）＝（300－200）2×79＋（－150－200）2×29＝35 000，
D（ξ2）＝（500－200）2×35＋（0－200）2×115＋（－300－200）2×13＝140 000，
∴D（ξ1）＜D（ξ2），即项目一的方差较小，投资项目一更稳定.
综上，建议该投资公司选择项目一进行投资.
（2）假设n（n∈N*）年后总资产可以翻一番，依题意得1 000×（1＋2001000）n＝2 000，即1.2n＝2，
两边同时取对数，得n×lg 1.2＝lg 2，n＝lg22lg2+lg3－1≈0.30102×0.3010+0.4771－1≈3.805 3，
∴该投资公司大约在2026年年底总资产可以翻一番.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）.
离散型随机变量分布列的性质
本讲是高考的命题热点，常以实际问题为情境，与计数原理、古典概型等知识综合命题，考查离散型随机变量的分布列、均值与方差，以解答题为主，有时也以选择题、填空题的形式进行考查，难度中等.预计2025年高考会着重考查本讲知识的实际应用.
离散型随机变量的分布列及数字特征
2022全国卷甲T19；2021新高考卷ⅠT18；2021新高考卷ⅡT21；2019全国卷ⅠT21
利用均值与方差进行决策
2021新高考卷ⅠT18
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
－1
0
1
P
12
1－q
q－q2
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
ξ1
300
－150
P
79
29
ξ2
500
0
－300
P
35
115
13