备考2024届高考数学一轮复习讲义第十章计数原理概率随机变量及其分布第1讲两个计数原理

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1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝① m＋n 种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝② m×n 种不同的方法.
辨析比较
两个计数原理的联系与区别
1.[多选]下列说法正确的是（ BD ）
A.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同
B.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事
C.在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事
D.从甲地经丙地到乙地是分步问题
2.[教材改编]已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的进出公园的方式有 12 种.
解析 将4个门分别编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，同理，从2，3，4号门进入，也各有3种出门的方式，故不同的进出公园的方式共有3×4＝12（种）.
3.[易错题]某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有 243 种.
解析 因为每封电子邮件有3种不同的发送方法，所以要发5封电子邮件，不同的发送方法有3×3×3×3×3＝243（种）.
4.[教材改编]书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架中任取1本书，则不同的取法种数为 9 .
解析 分三类：第一类，从第1层取一本书，有4种取法；第二类，从第2层取一本书，有3种取法；第三类，从第3层取一本书，有2种取法.共有取法4＋3＋2＝9（种）.
研透高考 明确方向
命题点1 分类加法计数原理
例1 （1）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2 022是“六合数”），则首位为2的“六合数”共有（ B ）
A.18个B.15个C.12个D.9个
解析 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成3个数分别为400，040，004；由3，1，0组成6个数分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成3个数分别为220，202，022；由2，1，1组成3个数分别为211，121，112.共计3＋6＋3＋3＝15（个）.
（2）满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为 13 .
解析 当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，（a，b）的个数为4.当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，（a，b）的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，（a，b）的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1，0，（a，b）的个数为2.由分类加法计数原理可知，（a，b）的个数为4＋4＋3＋2＝13.
方法技巧
分类加法计数原理的应用思路
（1）根据题目中的关键词、关键元素和关键位置等确定恰当的分类标准，分类标准要明确、统一；
（2）分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.
训练1 集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对（x，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是（ B ）
A.9B.14C.15D.21
解析 当x＝2时，x≠y，y可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.当x≠2时，由P⊆Q，得x＝y，x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.综上，满足条件的点共有7＋7＝14（个）.
命题点2 分步乘法计数原理
例2 （1）[2023全国卷乙]甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ C ）
A.30种B.60种C.120种D.240种
解析 甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有6种情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有5×4＝20（种）情况，由分步乘法计数原理可得，共有6×20＝120（种）选法，故选C.
（2）[多选]有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ AC ）
A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种
B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种
C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种
解析 对于A选项，第1个同学有3种报名方法，第2个同学有3种报名方法，后面的2个同学也有3种报名方法，根据分步乘法计数原理共有34种报名方法，A正确，B错误；对于C选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24（种）选择，C正确，D错误.故选AC.
方法技巧
分步乘法计数原理的应用思路
根据事件发生的过程合理分步，分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.
训练2 [多选]某校高二年级安排甲、乙、丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（ AC ）
A.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
解析 对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53－43＝61（种），故A正确；对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25（种），故B错误；对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有5×4×3＝60（种），故C正确；对于D，甲、乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲、乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有52＝25（种），故D错误.故选AC.
命题点3 两个计数原理的综合应用
例3 （1）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，其中记载了“勾股圆方图”（如图），用以证明勾股定理.现提供4种不同颜色给图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ C ）
A.36B.48C.72D.96
解析 解法一 根据题意得，涂色分2步进行：
①对于区域A，B，E，三个区域两两相邻，有A43＝24（种）涂色方法；（区域E位于中心位置，其他4个区域均与区域E相邻，故先考虑两两相邻的区域A，B，E的涂色方法，再研究余下2个区域的涂色方法）
②对于区域C，D，若区域C与区域A颜色相同，则区域D有2种涂色方法，若区域C与区域A颜色不同，当A，B，E涂色确定时，则区域C和区域D涂色方法确定，只有1种，由分类加法计数原理可知区域C，D有2＋1＝3（种）涂色方法.
由分步乘法计数原理得，共有24×3＝72（种）不同的涂色方法.故选C.
解法二 可分两种情况：①区域A，C不同色，先涂区域A有4种，区域C有3种，区域E有2种，区域B，D各有1种，有4×3×2＝24（种）涂法.②区域A，C同色，先涂区域A有4种，区域E有3种，区域C有1种，区域B，D各有2种，有4×3×2×2＝48（种）涂法.故共有24＋48＝72（种）涂色方法.
（2）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 420 个无重复数字的四位偶数.
解析 要完成的一件事为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中的四个数字不重复.因此应先分类，再分步.第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与个位、千位数字重复的数字，十位数字不能取与个位、百位、千位数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，不同的取法种数为3×4×5×4＝240.第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除千位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与个位、千位数字重复的数字，十位数字不能取与个位、百位、千位数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，不同的取法种数为3×3×5×4＝180.根据分类加法计数原理，可以组成无重复数字的四位偶数的个数为240＋180＝420.
方法技巧
1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤
2.涂色问题常用的两种方法
训练3 （1）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ D ）
A.48B.18C.24D.36
解析 第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24（个）；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36（个）.
（2）甲与其四位同事各有一辆汽车，甲的车牌尾号为9，其四位同事的车牌尾号分别是0，2，1，5.为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾号为奇数的车通行，偶数日车牌尾号为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（ B ）
A.64B.80C.96D.120
解析 5日至9日，有3个奇数日，2个偶数日.第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，不同的用车方案共有2×2＝4（种）.第二步，安排奇数日出行，分两类讨论：第一类，选1天安排甲的车，不同的用车方案共有3×2×2＝12（种）；第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，不同的用车方案共有2×2×2＝8（种）.综上，不同的用车方案种数为4×（12＋8）＝80，故选B.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
分类加法计数原理
2023新高考卷ⅠT13
两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，也是与实际联系密切的部分，既能单独命题，也常与排列组合问题、概率计算问题综合命题，题型以小题为主，难度不大.在2025年高考的复习备考中要注意两个计数原理的区别并能灵活应用.
分步乘法计数原理
2023全国卷乙T7；2022新高考卷ⅡT5；2021全国卷乙T6；2020新高考卷ⅠT3；2020全国卷ⅡT14
两个计数原理的综合应用
原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
都是对完成一件事的方法种数而言.
区别一
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事.
各个步骤都完成才算完成这件事（每步中的每一种方法都不能独立完成这件事）.
区别二
各类方法之间是相互独立的，既不能重复也不能遗漏.
各步之间是相互依存的，缺一不可.