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备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第5讲二次函数与一元二次方程不等式
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第5讲二次函数与一元二次方程不等式，共11页。
1.二次函数的图象与性质
注意 对于函数y＝ax2＋bx＋c，要使它是二次函数，就必须满足a≠0.当题中条件未说明a≠0时，要讨论a＝0和a≠0两种情况.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于a＜0的情况同理可得出相应的结论.
注意 （1）当二次项系数含参时，需要对参数分类讨论；（2）对于含参的一元二次不等式，需要注意对应的一元二次方程两根的大小关系.
常用结论
分式不等式的解法
（1）f（x）g（x）＞0⇔f（x）g（x）＞0；（2）f（x）g（x）＜0⇔f（x）g（x）＜0；（3）f（x）g（x）≥0⇔f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；
（4）f（x）g（x）≤0⇔f（x）g（x）≤0，g（x）≠0；（5）f（x）g（x）＜a（a≠0）⇔f（x）g（x）－a＜0（a≠0）.
1.不等式x－3x－2＜0的解集为（ B ）
A.∅B.（2，3）
C.（－∞，2）∪（3，＋∞）D.（－∞，＋∞）
解析 x－3x－2＜0等价于（x－3）（x－2）＜0，解得2＜x＜3.
2.已知函数f（x）＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是（ B ）
A.（0，20）B.[0，20）C.[0，20]D.[20，＋∞）
3.一元二次不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x｜x＞3或x＜－2}，则m＋n的值是（ D ）
A.14B.0C.－10D.－14
解析 由题意可知一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的两个根分别为3，－2，所以由根与系数的关系得－2+3=－m2，－2×3=n2，解得m＝－2，n＝－12，所以m＋n＝－14.故选D.
4.[多选]下列说法不正确的是（ BCD ）
A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0
B.若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R
C.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且b2－4ac≤0
D.x－ax－b≥0⇔（x－a）（x－b）≥0（a≠b）
5.1+x＜1＋x2的解集为 [－1，0）∪（0，＋∞） .
研透高考 明确方向
命题点1 二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象及应用
例1 （1）[2024江苏省苏州市模拟]一次函数y＝ax－b（a≠0）与二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ B ）
解析 若a＞0，则一次函数y＝ax－b（a≠0）为增函数，
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，则一次函数y＝ax－b（a≠0）为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向下，故可排除D；对于选项C，由直线可知a＜0，b＞0，从而－b2a＞0，即二次函数图象的对称轴应该在y轴的右侧，故应排除C.故选B.
（2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），且截x轴所得的线段长为2，若对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝ x2－4x＋3 .
解析 因为f（2－x）＝f（2＋x）对任意x∈R恒成立，所以f（x）图象的对称轴为直线x＝2.又f（x）的图象截x轴所得的线段长为2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0），因为f（x）的图象过点（4，3），所以3a＝3，即a＝1，所以f（x）＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3.
方法技巧
识别二次函数图象应学会“三看”
角度2 二次函数的性质及应用
例2 （1）[2024江西景德镇统考改编]若函数f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最小值为6，则实数t＝ －4或5 .
解析 当t＋2≤32，即t≤－12时，函数f（x）在区间[t，t＋2]上单调递减，则f（x）min＝
f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4或t＝3（舍去）；当t≥32时，函数f（x）在区间[t，t＋2]上单调递增，则f（x）min＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5或t＝－2（舍去）；当t＜32＜t＋2，即－12＜t＜32时，函数f（x）min＝f（32）＝－254≠6.
综上所述，t＝－4或t＝5.
命题拓展
[变条件]若函数f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最大值为6，则实数t＝ －2或3 .
解析 因为f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最大值为6，且其图象的对称轴方程为x＝32，所以当32－t＞1，即t＜12时，f（x）max＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5（舍去）或t＝－2；当32－t≤1，即t≥12时，f（x）max＝f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4（舍去）或t＝3.综上所述，t＝－2或3.
（2）若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞），则a＝ －3 .
解析 由题意知f（x）为二次函数且a＜0，3－a2a＝－1，所以a＝－3.
命题拓展
[变条件]若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围是 [－3，0] .
解析 当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上单调递减，满足题意；当a≠0时，
f（x）图象的对称轴为直线x＝3－a2a，由f（x）在[－1，＋∞）上单调递减知a<0，3－a2a≤－1，解得－3≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－3，0].
方法技巧
1.二次函数的单调性取决于图象的开口方向及对称轴.
2.二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：①轴定区间定；②轴动区间定；③轴定区间动.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
训练1 （1）已知函数f（x）＝x2－2（a＋2）x＋a2，g（x）＝－x2＋2（a－2）x－a2＋8.设H1（x）＝max{f（x），g（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}（max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值）.记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A－B＝（ C ）
A.a2－2a－16B.a2＋2a－16
C.－16D.16
解析 易知f（x）的图象的顶点坐标为（a＋2，－4a－4），g（x）的图象的顶点坐标为（a－2，－4a＋12），并且f（x）与g（x）的图象的顶点都在对方的图象上，f（x）与
g（x）的大致图象如图所示，所以A－B＝－4a－4－（－4a＋12）＝－16，故选C.
（2）已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，则实数a的值为 －1或2 .
解析 易知y＝－x2＋2ax＋1－a（x∈R）的图象的对称轴为直线x＝a.
当a＜0时，函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致图象如图1中实线部分所示，当x＝0时，f（x）有最大值且f（x）max＝f（0）＝1－a，∴1－a＝2，即a＝－1.
当0≤a≤1时，函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致图象如图2中实线部分所示，当x＝a时，f（x）有最大值且f（x）max＝f（a）＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，解得a＝1±52.
∵0≤a≤1，∴a＝1±52不满足题意.
当a＞1时，函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致图象如图3中实线部分所示，当x＝1时，f（x）有最大值且f（x）max＝f（1）＝a＝2，∴a＝2.
综上可知，a的值为－1或2.
命题点2 “三个二次”之间的关系与一元二次不等式的解法
角度1 “三个二次”之间的关系
例3 [多选/2023山东枣庄调研]已知关于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2），则（ ABD ）
A.x1＋x2＝2B.x1x2＜－8
C.－2＜x1＜x2＜4D.x2－x1＞6
解析 解法一 （x＋2）（x－4）＋a＜0即（x＋2）（x－4）＜－a，作出f（x）＝（x＋2）（x－4）及y＝－a（a＜0）的图象，如图.因为（x＋2）（x－4）＋a＜0的解集是（x1，x2），所以f（x）＝（x＋2）·（x－4）的图象与直线y＝－a的交点的横坐标分别为x1，x2，则由图象易得x1＜－2＜4＜x2，x1＋x2＝－2＋4＝2，所以A正确，C错误.易知x2－x1＞4－（－2）＝6，所以D正确.因为－x1＞2，x2＞4，所以－x1x2＞8，所以x1x2＜－8，故B正确.故选ABD.
解法二 因为关于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2），所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，故A正确；x1x2＝a－8＜－8，故B正确；
x2－x1＝（x2＋x1）2－4x1x2＝29－a＞6，故D正确；
由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故C错误.
故选ABD.
方法技巧
1.一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以代入根或利用根与系数的关系求待定系数.
角度2 一元二次不等式的解法
例4 [2024河南省名校调研]不等式－x2－｜x｜＋6＞0的解集为（ B ）
A.{x｜－2＜x＜3}
B.{x｜－2＜x＜2}
C.{x｜x＜－2或x＞3}
D.{x｜x＜－3或x＞2}
解析 不等式可化为｜x｜2＋｜x｜－6＜0，即－3＜｜x｜＜2，解得－2＜x＜2.故选B.
例5 [2024湖北省孝感市部分学校模拟]设a∈R，解关于x的不等式：ax2－（a＋4）x＋4≤0.
解析 ∵ax2－（a＋4）x＋4≤0，
∴（ax－4）（x－1）≤0.
当a＝0时，原不等式可化为x－1≥0，解得x≥1.
当a≠0时，（ax－4）（x－1）＝0⇒x＝4a或x＝1，
①当a＜0时，4a＜1，此时原不等式的解集为x≤4a或x≥1；
②当0＜a＜4时，4a＞1，此时原不等式的解集为1≤x≤4a；
③当a＝4时，4a＝1，此时原不等式的解集为x＝1；
④当a＞4时，4a＜1，此时原不等式的解集为4a≤x≤1.
综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x≥1}；当a＜0时，原不等式的解集为{x｜x≤4a或x≥1}；
当0＜a＜4时，原不等式的解集为{x｜1≤x≤4a}；
当a＝4时，原不等式的解集为{x｜x＝1}；
当a＞4时，原不等式的解集为{x｜4a≤x≤1}.
方法技巧
1.解不含参数的一元二次不等式
2.解含参数的一元二次不等式
训练2 （1）[2024山西太原模拟]不等式x－22x－1≤－1的解集为（ D ）
A.{x｜x≤12或x≥1}B.{x｜x＜12或x≥1}
C.{x｜12≤x≤1}D.{x｜12＜x≤1}
解析 由x－22x－1≤－1，得x－22x－1＋1≤0，
化简得x－12x－1≤0，得（x－1)(2x－1）≤0，2x－1≠0，解得12＜x≤1，
所以不等式x－22x－1≤－1的解集为{x｜12＜x≤1}.
故选D.
（2）[多选/2024甘肃省张掖市模拟]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤3或x≥4}，则下列结论中正确的是（ AD ）
A.a＞0
B.ab＞0
C.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－14或x＞13}
D.a＋b＋c＞0
解析 由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤3或x≥4}得ax2＋bx＋c＝a（x－3）（x－4）＝
a（x2－7x＋12），a＞0，得b＝－7a，c＝12a，ab＝－7a2＜0，a＋b＋c＝6a＞0，故A正确、B错误、D正确.
对于选项C，cx2－bx＋a＜0可转化为12ax2＋7ax＋a＜0，又a＞0，可得12x2＋7x＋1＜0，解得－13＜x＜－14，所以不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜－13＜x＜－14}，故C错误.故选AD.
命题点3 一元二次不等式的恒成立问题
角度1 在R上恒成立
例6 [2023甘肃省酒泉市玉门油田第一中学期中]已知不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是（ C ）
A.（2，＋∞）
B.（－∞，－2）
C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D.（－2，2）
解析 因为不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，所以对应方程的Δ＝4－4（k2－1）＜0，解得k＞2或k＜－2.故选C.
角度2 在给定区间上恒成立
例7 [2023石家庄质检]当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为（ A ）
A.（－2，2）B.（－∞，－2）
C.[－2，2]D.（2，＋∞）
解析 设f（x）＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.
①当m2≤－2，即m≤－4时，函数f（x）在[－2，2]上单调递增，
则f（x）min＝f（－2）＝2m＋5＞0，解得m＞－52，此时m不存在；
②当－2＜m2＜2，即－4＜m＜4时，f（x）min＝f（m2）＝1－m24＞0，解得－2＜m＜2；
③当m2≥2，即m≥4时，函数f（x）在[－2，2]上单调递减，则f（x）min＝f（2）＝－2m＋5＞0，解得m＜52，此时m不存在.
综上所述，实数m的取值范围是（－2，2）.
角度3 给定参数范围的恒成立
例8 [2023广东省深圳市模拟]对任意的实数m∈[0，2]，不等式（x－2）（x－3＋m）＞0恒成立，则x的取值范围是（ A ）
A.（－∞，1）∪（3，＋∞）B.（－∞，1）∪（2，＋∞）
C.（－∞，2）∪（3，＋∞）D.R
解析 依题意，对任意的实数m∈[0，2]，不等式（x－2）（x－3＋m）＞0，即（x－2）m＋（x－2）（x－3）＞0恒成立.令h（m）＝（x－2）m＋（x－2）（x－3），则h（0）＝（x－2)(x－3）>0，h（2）=2（x－2）＋（x－2)(x－3）>0，解得x＜1或x＞3.故选A.
方法技巧
1.一元二次不等式在R上恒成立，可以利用判别式判断.
2.一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数求最值或分类讨论.
3.一元二次不等式在给定参数范围恒成立，可变换主元求解，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
方法技巧
求解不等式恒成立问题的常用方法
训练3 （1）已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为（ C ）
A.（－∞，2）∪（3，＋∞）
B.（－∞，1）∪（2，＋∞）
C.（－∞，1）∪（3，＋∞）
D.（1，3）
解析 把不等式的左边看成关于a的一次函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，则由
f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组x2－5x+6>0，x2－3x+2>0，得x＜1或x＞3.故选C.
（2）[2024江苏省扬州市模拟]设函数f（x）＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈{x｜1≤x≤2}，f（x）＜－m＋4恒成立，则（ C ）
A.m≤0B.0≤m＜53
C.m＜53D.0＜m＜53
解析 ∵∀x∈[1，2]，mx2－mx－1＜－m＋4恒成立，
∴m（x2－x＋1）＜5对∀x∈[1，2]恒成立，
又当x∈[1，2]时，y＝x2－x＋1＝（x－12）2＋34∈[1，3]，
∴m＜（5x2－x+1）min＝53，即m＜53.
故选C.
（3）[2024湖南省长沙市模拟]已知关于x的不等式kx2－3kx＋k＋5＞0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为 [0，4） .
解析 当k＝0时，不等式为5＞0，恒成立，符合题意；当k＞0时，若不等式kx2－3kx＋k＋5＞0对任意x∈R恒成立，则对应方程的Δ＝9k2－4k（k＋5）＜0，解得0＜k＜4；
当k＜0时，不等式kx2－3kx＋k＋5＞0不能对任意x∈R恒成立.
综上，k的取值范围是[0，4）.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
二次函数的图象与性质
2023新高考卷ⅠT4；2020新高考卷ⅡT7
本讲很少单独命题，常与其他知识综合命题，如作为工具求解集合、函数、导数、圆锥曲线等问题，命题热点有一元二次不等式的解法及恒成立问题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养.预计2025年高考命题点变化不大，复习备考时要重点掌握一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质，并能充分运用.
“三个二次”之间的关系与一元二次不等式的解法
一元二次不等式的恒成立问题
2019天津T8
函数
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）
y＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图象
开口向上的抛物线
开口向下的抛物线
定义域
R
R
值域
[4ac－b24a，＋∞）
（－∞，4ac－b24a]
单调性
在① （－∞，－b2a） 上单调递减，
在② （－b2a，＋∞） 上单调递增
在③ （－∞，－b2a） 上单调递增，
在④ （－b2a，＋∞） 上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点坐标
（－b2a，4ac－b24a）
对称轴
直线x＝⑤ －b2a
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根
有两个相异的实数根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等的实数根x1＝x2＝⑥－b2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集
⑦ {x｜x＜x1或x＞x2}
{x｜x≠－b2a}
⑧ R
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集
⑨ {x｜x1＜x＜x2}
⌀
⑩ ⌀
一看符号
看二次项系数的符号，它的正负决定二次函数图象的开口方向.若符号不确定，要分类讨论.
二看对称轴
看对称轴和最值，它们决定二次函数图象的具体位置.
三看特殊点
看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等.
不等式解集法
不等式f（x）≥0在集合A中恒成立等价于集合A是不等式f（x）≥0的解集B的子集，通过求不等式的解集，并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围.
分离参数法
若不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ为实参数）恒成立，将f（x，λ）≥0转化为λ≥
g（x）或λ≤g（x）（x∈D）恒成立，进而转化为λ≥g（x）max或λ≤g（x）min，求g（x）（x∈D）的最值即可.该方法适用于参数与变量能分离，函数最值易求的题目.
主参换位法
变换思维角度，即把主元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围列式求解.一般地，条件给出谁的范围，就看成是有关谁的函数，利用函数单调性求解.
数形结
合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x轴）求解.此外，若涉及的不等式能转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
1.二次函数的图象与性质
注意 对于函数y＝ax2＋bx＋c，要使它是二次函数，就必须满足a≠0.当题中条件未说明a≠0时，要讨论a＝0和a≠0两种情况.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于a＜0的情况同理可得出相应的结论.
注意 （1）当二次项系数含参时，需要对参数分类讨论；（2）对于含参的一元二次不等式，需要注意对应的一元二次方程两根的大小关系.
常用结论
分式不等式的解法
（1）f（x）g（x）＞0⇔f（x）g（x）＞0；（2）f（x）g（x）＜0⇔f（x）g（x）＜0；（3）f（x）g（x）≥0⇔f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；
（4）f（x）g（x）≤0⇔f（x）g（x）≤0，g（x）≠0；（5）f（x）g（x）＜a（a≠0）⇔f（x）g（x）－a＜0（a≠0）.
1.不等式x－3x－2＜0的解集为（ B ）
A.∅B.（2，3）
C.（－∞，2）∪（3，＋∞）D.（－∞，＋∞）
解析 x－3x－2＜0等价于（x－3）（x－2）＜0，解得2＜x＜3.
2.已知函数f（x）＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是（ B ）
A.（0，20）B.[0，20）C.[0，20]D.[20，＋∞）
3.一元二次不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x｜x＞3或x＜－2}，则m＋n的值是（ D ）
A.14B.0C.－10D.－14
解析 由题意可知一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的两个根分别为3，－2，所以由根与系数的关系得－2+3=－m2，－2×3=n2，解得m＝－2，n＝－12，所以m＋n＝－14.故选D.
4.[多选]下列说法不正确的是（ BCD ）
A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0
B.若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R
C.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且b2－4ac≤0
D.x－ax－b≥0⇔（x－a）（x－b）≥0（a≠b）
5.1+x＜1＋x2的解集为 [－1，0）∪（0，＋∞） .
研透高考 明确方向
命题点1 二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象及应用
例1 （1）[2024江苏省苏州市模拟]一次函数y＝ax－b（a≠0）与二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（ B ）
解析 若a＞0，则一次函数y＝ax－b（a≠0）为增函数，
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，则一次函数y＝ax－b（a≠0）为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向下，故可排除D；对于选项C，由直线可知a＜0，b＞0，从而－b2a＞0，即二次函数图象的对称轴应该在y轴的右侧，故应排除C.故选B.
（2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），且截x轴所得的线段长为2，若对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝ x2－4x＋3 .
解析 因为f（2－x）＝f（2＋x）对任意x∈R恒成立，所以f（x）图象的对称轴为直线x＝2.又f（x）的图象截x轴所得的线段长为2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0），因为f（x）的图象过点（4，3），所以3a＝3，即a＝1，所以f（x）＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3.
方法技巧
识别二次函数图象应学会“三看”
角度2 二次函数的性质及应用
例2 （1）[2024江西景德镇统考改编]若函数f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最小值为6，则实数t＝ －4或5 .
解析 当t＋2≤32，即t≤－12时，函数f（x）在区间[t，t＋2]上单调递减，则f（x）min＝
f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4或t＝3（舍去）；当t≥32时，函数f（x）在区间[t，t＋2]上单调递增，则f（x）min＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5或t＝－2（舍去）；当t＜32＜t＋2，即－12＜t＜32时，函数f（x）min＝f（32）＝－254≠6.
综上所述，t＝－4或t＝5.
命题拓展
[变条件]若函数f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最大值为6，则实数t＝ －2或3 .
解析 因为f（x）＝x2－3x－4在区间[t，t＋2]上的最大值为6，且其图象的对称轴方程为x＝32，所以当32－t＞1，即t＜12时，f（x）max＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5（舍去）或t＝－2；当32－t≤1，即t≥12时，f（x）max＝f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4（舍去）或t＝3.综上所述，t＝－2或3.
（2）若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞），则a＝ －3 .
解析 由题意知f（x）为二次函数且a＜0，3－a2a＝－1，所以a＝－3.
命题拓展
[变条件]若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围是 [－3，0] .
解析 当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上单调递减，满足题意；当a≠0时，
f（x）图象的对称轴为直线x＝3－a2a，由f（x）在[－1，＋∞）上单调递减知a<0，3－a2a≤－1，解得－3≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－3，0].
方法技巧
1.二次函数的单调性取决于图象的开口方向及对称轴.
2.二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：①轴定区间定；②轴动区间定；③轴定区间动.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
训练1 （1）已知函数f（x）＝x2－2（a＋2）x＋a2，g（x）＝－x2＋2（a－2）x－a2＋8.设H1（x）＝max{f（x），g（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}（max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值）.记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A－B＝（ C ）
A.a2－2a－16B.a2＋2a－16
C.－16D.16
解析 易知f（x）的图象的顶点坐标为（a＋2，－4a－4），g（x）的图象的顶点坐标为（a－2，－4a＋12），并且f（x）与g（x）的图象的顶点都在对方的图象上，f（x）与
g（x）的大致图象如图所示，所以A－B＝－4a－4－（－4a＋12）＝－16，故选C.
（2）已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，则实数a的值为 －1或2 .
解析 易知y＝－x2＋2ax＋1－a（x∈R）的图象的对称轴为直线x＝a.
当a＜0时，函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致图象如图1中实线部分所示，当x＝0时，f（x）有最大值且f（x）max＝f（0）＝1－a，∴1－a＝2，即a＝－1.
当0≤a≤1时，函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致图象如图2中实线部分所示，当x＝a时，f（x）有最大值且f（x）max＝f（a）＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，解得a＝1±52.
∵0≤a≤1，∴a＝1±52不满足题意.
当a＞1时，函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（0≤x≤1）的大致图象如图3中实线部分所示，当x＝1时，f（x）有最大值且f（x）max＝f（1）＝a＝2，∴a＝2.
综上可知，a的值为－1或2.
命题点2 “三个二次”之间的关系与一元二次不等式的解法
角度1 “三个二次”之间的关系
例3 [多选/2023山东枣庄调研]已知关于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2），则（ ABD ）
A.x1＋x2＝2B.x1x2＜－8
C.－2＜x1＜x2＜4D.x2－x1＞6
解析 解法一 （x＋2）（x－4）＋a＜0即（x＋2）（x－4）＜－a，作出f（x）＝（x＋2）（x－4）及y＝－a（a＜0）的图象，如图.因为（x＋2）（x－4）＋a＜0的解集是（x1，x2），所以f（x）＝（x＋2）·（x－4）的图象与直线y＝－a的交点的横坐标分别为x1，x2，则由图象易得x1＜－2＜4＜x2，x1＋x2＝－2＋4＝2，所以A正确，C错误.易知x2－x1＞4－（－2）＝6，所以D正确.因为－x1＞2，x2＞4，所以－x1x2＞8，所以x1x2＜－8，故B正确.故选ABD.
解法二 因为关于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2），所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，故A正确；x1x2＝a－8＜－8，故B正确；
x2－x1＝（x2＋x1）2－4x1x2＝29－a＞6，故D正确；
由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故C错误.
故选ABD.
方法技巧
1.一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以代入根或利用根与系数的关系求待定系数.
角度2 一元二次不等式的解法
例4 [2024河南省名校调研]不等式－x2－｜x｜＋6＞0的解集为（ B ）
A.{x｜－2＜x＜3}
B.{x｜－2＜x＜2}
C.{x｜x＜－2或x＞3}
D.{x｜x＜－3或x＞2}
解析 不等式可化为｜x｜2＋｜x｜－6＜0，即－3＜｜x｜＜2，解得－2＜x＜2.故选B.
例5 [2024湖北省孝感市部分学校模拟]设a∈R，解关于x的不等式：ax2－（a＋4）x＋4≤0.
解析 ∵ax2－（a＋4）x＋4≤0，
∴（ax－4）（x－1）≤0.
当a＝0时，原不等式可化为x－1≥0，解得x≥1.
当a≠0时，（ax－4）（x－1）＝0⇒x＝4a或x＝1，
①当a＜0时，4a＜1，此时原不等式的解集为x≤4a或x≥1；
②当0＜a＜4时，4a＞1，此时原不等式的解集为1≤x≤4a；
③当a＝4时，4a＝1，此时原不等式的解集为x＝1；
④当a＞4时，4a＜1，此时原不等式的解集为4a≤x≤1.
综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x≥1}；当a＜0时，原不等式的解集为{x｜x≤4a或x≥1}；
当0＜a＜4时，原不等式的解集为{x｜1≤x≤4a}；
当a＝4时，原不等式的解集为{x｜x＝1}；
当a＞4时，原不等式的解集为{x｜4a≤x≤1}.
方法技巧
1.解不含参数的一元二次不等式
2.解含参数的一元二次不等式
训练2 （1）[2024山西太原模拟]不等式x－22x－1≤－1的解集为（ D ）
A.{x｜x≤12或x≥1}B.{x｜x＜12或x≥1}
C.{x｜12≤x≤1}D.{x｜12＜x≤1}
解析 由x－22x－1≤－1，得x－22x－1＋1≤0，
化简得x－12x－1≤0，得（x－1)(2x－1）≤0，2x－1≠0，解得12＜x≤1，
所以不等式x－22x－1≤－1的解集为{x｜12＜x≤1}.
故选D.
（2）[多选/2024甘肃省张掖市模拟]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤3或x≥4}，则下列结论中正确的是（ AD ）
A.a＞0
B.ab＞0
C.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－14或x＞13}
D.a＋b＋c＞0
解析 由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤3或x≥4}得ax2＋bx＋c＝a（x－3）（x－4）＝
a（x2－7x＋12），a＞0，得b＝－7a，c＝12a，ab＝－7a2＜0，a＋b＋c＝6a＞0，故A正确、B错误、D正确.
对于选项C，cx2－bx＋a＜0可转化为12ax2＋7ax＋a＜0，又a＞0，可得12x2＋7x＋1＜0，解得－13＜x＜－14，所以不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜－13＜x＜－14}，故C错误.故选AD.
命题点3 一元二次不等式的恒成立问题
角度1 在R上恒成立
例6 [2023甘肃省酒泉市玉门油田第一中学期中]已知不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是（ C ）
A.（2，＋∞）
B.（－∞，－2）
C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D.（－2，2）
解析 因为不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，所以对应方程的Δ＝4－4（k2－1）＜0，解得k＞2或k＜－2.故选C.
角度2 在给定区间上恒成立
例7 [2023石家庄质检]当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为（ A ）
A.（－2，2）B.（－∞，－2）
C.[－2，2]D.（2，＋∞）
解析 设f（x）＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.
①当m2≤－2，即m≤－4时，函数f（x）在[－2，2]上单调递增，
则f（x）min＝f（－2）＝2m＋5＞0，解得m＞－52，此时m不存在；
②当－2＜m2＜2，即－4＜m＜4时，f（x）min＝f（m2）＝1－m24＞0，解得－2＜m＜2；
③当m2≥2，即m≥4时，函数f（x）在[－2，2]上单调递减，则f（x）min＝f（2）＝－2m＋5＞0，解得m＜52，此时m不存在.
综上所述，实数m的取值范围是（－2，2）.
角度3 给定参数范围的恒成立
例8 [2023广东省深圳市模拟]对任意的实数m∈[0，2]，不等式（x－2）（x－3＋m）＞0恒成立，则x的取值范围是（ A ）
A.（－∞，1）∪（3，＋∞）B.（－∞，1）∪（2，＋∞）
C.（－∞，2）∪（3，＋∞）D.R
解析 依题意，对任意的实数m∈[0，2]，不等式（x－2）（x－3＋m）＞0，即（x－2）m＋（x－2）（x－3）＞0恒成立.令h（m）＝（x－2）m＋（x－2）（x－3），则h（0）＝（x－2)(x－3）>0，h（2）=2（x－2）＋（x－2)(x－3）>0，解得x＜1或x＞3.故选A.
方法技巧
1.一元二次不等式在R上恒成立，可以利用判别式判断.
2.一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数求最值或分类讨论.
3.一元二次不等式在给定参数范围恒成立，可变换主元求解，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
方法技巧
求解不等式恒成立问题的常用方法
训练3 （1）已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为（ C ）
A.（－∞，2）∪（3，＋∞）
B.（－∞，1）∪（2，＋∞）
C.（－∞，1）∪（3，＋∞）
D.（1，3）
解析 把不等式的左边看成关于a的一次函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，则由
f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组x2－5x+6>0，x2－3x+2>0，得x＜1或x＞3.故选C.
（2）[2024江苏省扬州市模拟]设函数f（x）＝mx2－mx－1，若对于任意的x∈{x｜1≤x≤2}，f（x）＜－m＋4恒成立，则（ C ）
A.m≤0B.0≤m＜53
C.m＜53D.0＜m＜53
解析 ∵∀x∈[1，2]，mx2－mx－1＜－m＋4恒成立，
∴m（x2－x＋1）＜5对∀x∈[1，2]恒成立，
又当x∈[1，2]时，y＝x2－x＋1＝（x－12）2＋34∈[1，3]，
∴m＜（5x2－x+1）min＝53，即m＜53.
故选C.
（3）[2024湖南省长沙市模拟]已知关于x的不等式kx2－3kx＋k＋5＞0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为 [0，4） .
解析 当k＝0时，不等式为5＞0，恒成立，符合题意；当k＞0时，若不等式kx2－3kx＋k＋5＞0对任意x∈R恒成立，则对应方程的Δ＝9k2－4k（k＋5）＜0，解得0＜k＜4；
当k＜0时，不等式kx2－3kx＋k＋5＞0不能对任意x∈R恒成立.
综上，k的取值范围是[0，4）.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
二次函数的图象与性质
2023新高考卷ⅠT4；2020新高考卷ⅡT7
本讲很少单独命题，常与其他知识综合命题，如作为工具求解集合、函数、导数、圆锥曲线等问题，命题热点有一元二次不等式的解法及恒成立问题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养.预计2025年高考命题点变化不大，复习备考时要重点掌握一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质，并能充分运用.
“三个二次”之间的关系与一元二次不等式的解法
一元二次不等式的恒成立问题
2019天津T8
函数
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）
y＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图象
开口向上的抛物线
开口向下的抛物线
定义域
R
R
值域
[4ac－b24a，＋∞）
（－∞，4ac－b24a]
单调性
在① （－∞，－b2a） 上单调递减，
在② （－b2a，＋∞） 上单调递增
在③ （－∞，－b2a） 上单调递增，
在④ （－b2a，＋∞） 上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点坐标
（－b2a，4ac－b24a）
对称轴
直线x＝⑤ －b2a
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根
有两个相异的实数根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等的实数根x1＝x2＝⑥－b2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集
⑦ {x｜x＜x1或x＞x2}
{x｜x≠－b2a}
⑧ R
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集
⑨ {x｜x1＜x＜x2}
⌀
⑩ ⌀
一看符号
看二次项系数的符号，它的正负决定二次函数图象的开口方向.若符号不确定，要分类讨论.
二看对称轴
看对称轴和最值，它们决定二次函数图象的具体位置.
三看特殊点
看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等.
不等式解集法
不等式f（x）≥0在集合A中恒成立等价于集合A是不等式f（x）≥0的解集B的子集，通过求不等式的解集，并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围.
分离参数法
若不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ为实参数）恒成立，将f（x，λ）≥0转化为λ≥
g（x）或λ≤g（x）（x∈D）恒成立，进而转化为λ≥g（x）max或λ≤g（x）min，求g（x）（x∈D）的最值即可.该方法适用于参数与变量能分离，函数最值易求的题目.
主参换位法
变换思维角度，即把主元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围列式求解.一般地，条件给出谁的范围，就看成是有关谁的函数，利用函数单调性求解.
数形结
合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x轴）求解.此外，若涉及的不等式能转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
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