高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第1节集合学案

这是一份高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第1节集合学案，共6页。

集合
[考试要求]
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和∉表示．
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
提醒：根据元素的互异性可判断所求参数的值是否符合要求．
2．集合间的基本关系
提醒：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
eq \([常用结论])
1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( )
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )
(3)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )
(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(2 021)}，a＝2eq \r(2)，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
D [a＝2eq \r(2)∉N，则a∉A，故选D．]
2．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
(－2,1) (－∞，3) [∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]
3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________.
[答案] {x|x是直角}
4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．
64 [∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，
∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，
∴M∪N的子集有26＝64个．]
考点一 集合的含义与表示
解决与集合中的元素有关问题的一般思路
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
A [由x2＋y2≤3知，－eq \r(3)≤x≤eq \r(3)，－eq \r(3)≤y≤eq \r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)＝9，故选A．]
2．已知a，b∈R，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2 021＋b2 021＝________.
－1 [由已知得a≠0，
则eq \f(b,a)＝0，
所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋02 021＝－1.]
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.
0或eq \f(9,8) [当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq \f(9,8).]
考点二 集合间的基本关系
判断集合关系的三种方法
[典例1] (1)已知集合A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB B．BA C．A⊆B D．B＝A
(2)(2020·武汉模拟)集合{x|－1＜x＜3，x∈N*}的非空子集个数为( )
A．3 B．4 C．7 D．8
(3)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．
(1)B (2)A (3)(－∞，2] [(1)由1－x2≥0得－1≤x≤1，则A＝{x|－1≤x≤1}，
由－1≤m≤1得0≤m2≤1，则B＝{x|0≤x≤1}，
所以BA，故选B．
(2){x|－1＜x＜3，x∈N*}＝{1,2}，其非空子集个数为3，故选A．
(3)A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝∅，满足B⊆A，
此时2－a≥1＋a，即a≤eq \f(1,2).
②若B≠∅，由B⊆A得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a＜1＋a,2－a≥－1,1＋a≤3))，解得eq \f(1,2)＜a≤2.
由①②知a的取值范围为(－∞，2]．]
点评：(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入验证，否则易增解或漏解．
eq \([跟进训练])
1．(2020·北京模拟)已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N⊆M，则在下列集合中符合条件的集合N可能是( )
A．{0,1} B．{x|x2＝1}
C．{x|x2＞0} D．R
A [因为0∈M,1∈M，所以{0,1}⊆M，故选A．]
2．若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m＋1}，且A＝B，则m＝( )
A．0 B．1 C．±1 D．0或1
A [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1＝1,m2＝m，))解得m＝0，故选A．]
考点三 集合的基本运算
集合运算三步骤
集合的交、并、补运算
[典例2－1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
(2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
(1)C (2)C [(1)由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C．
(2)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，
∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C．]
点评：集合运算的常用方法
(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．
(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心．
根据集合的运算结果求参数
[典例2－2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
(2)(2020·秦皇岛模拟)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则实数a的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)) D．(－∞，2]
(1)B (2)C [(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq \f(a,2)＝1，解得a＝－2.故选B．
(2)B＝{x|x≥a或x≤a－1}，由A∪B＝R得3－2a≤a－1，解得a≥eq \f(4,3)，故选C．]
eq \([跟进训练])
1．(2019·天津高考)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2,3}
C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}
D [由题意可知A∩C＝{1,2}，则(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}，故选D．]
2．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则( )
A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅
A [B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，又A＝{x|x＜1}，
则A∩B＝{x|x＜0}．A∪B＝{x|x＜1}，故选A．]
3．已知集合A＝[1，＋∞)，B＝[0,3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) D．(1，＋∞)
C [由A∩B≠∅得3a－1≥1，解得a≥eq \f(2,3)，故选C．]
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
本章在高考中一般考查2～4个小题，选择题、填空题均可能出现.
2.考查内容
从考查内容看，集合主要考查两个方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本运算．常用逻辑用语主要从四个方面考查，分别为命题及其关系、充分必要条件的判断、逻辑联结词“或”“且”“非”以及全称量词与存在量词．不等式主要考查一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB或BA
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集
A＝B
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}