高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第4节不等关系与不等式学案

　不等关系与不等式

[考试要求]　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.

2.了解不等式(组)的实际背景．

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)

(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)

(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)

(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)

(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)

a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)

(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)

(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)

(8)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)．(单向性)

提醒：同向不等式可相加，不能相减．

1．倒数性质

(1)a＞b，ab＞0⇒＜；

(2)a＜0＜b⇒＜；

(3)a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞.

2．分数性质

若a＞b＞0，m＞0，则

(1)真分数性质：＜；＞(b－m＞0)；

(2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0)．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a＞b，则ac2＞bc2.  (　　)

(2)若ac2＞bc2，则a＞b.  (　　)

(3)若＞1，则a＞b.  (　　)

(4)若a＋c＞b＋c，则a＞b.  (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、教材习题衍生

1．设a，b，c∈R，且a＞b，则(　　)

A．ac＞bc　　　　　　　 B．＜

C．a2＞b2   D．a3＞b3

D　[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D．]

2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则(　　)

A．ad＞bc   B．ad＜bc

C．ac＞bd   D．ac＜bd

D　[c＜d＜0⇒－c＞－d＞0，则有－ac＞－bd，所以ac＜bd，故选D．]

3．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．a－c＜b－d   B．ac＜bd

C．a＋c＞b＋d   D．a＋d＞b＋c

C　[由a＞b，c＞d得a＋c＞b＋d，故选C．]

4．设a＝＋，b＝＋，则a与b的大小关系为(　　)

A．a＝b　　B．a＞b    C．a＜b　　D．无法判断

B　[a2＝17＋2，b2＝17＋2，

由2＞2，知a2＞b2，又a＞0，b＞0，

所以a＞b，故选B．]

考点一　比较两个数(式)的大小                

[典例1]　(1)若0＜x＜1，p，q∈N*，则M＝1＋xp＋q与N＝xp＋xq的大小关系为(　　)

A．M＞N   B．M＜N

C．M＝N   D．不确定

(2)若a＝，b＝，则a________b．(填“＞”或“＜”)

(1)A　(2)＜　[(1)(1＋xp＋q)－(xp＋xq)＝(1－xp)＋xq(xp－1)＝(1－xp)(1－xq)，

∵0＜x＜1，p，q∈N*，

∴1－xp＞0,1－xq＞0，

∴(1－xp)(1－xq)＞0，

∴1＋xp＋q＞xp＋xq，即M＞N，故选A．

(2)法一：(作商法)易知a＞0，b＞0，＝＝＝log89＞1，所以b＞a.

法二：(作差法)b－a＝－＝(2ln 3－3ln 2)

＝(ln 9－ln 8)＞0.

所以b＞a.]

1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)

A．M＞N    B．M≥N    C．M＜N    D．M≤N

A　[M－N＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，∴M＞N，故选A．]

2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)

A．A≤B    B．A≥B    C．A＜B    D．A＞B

B　[因为A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b)＝2≥0，所以A≥B．故选B．]

考点二　不等式性质的应用                    

　判断不等式是否成立

[典例2－1]　(1)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)

A．＞   B．＜

C．＞   D．＜

(2)(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则(　　)

A．ln(a－b)＞0   B．3a＜3b

C．a3－b3＞0   D．|a|＞|b|

(1)B　(2)C　[(1)由c＜d＜0得＜＜0，则－＞－＞0，

∴－＞－，∴＜，故选B．

(2)由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)<0，故A错误；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B错误；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D错误．故选C．]

点评：本例第(1)题也适合用特殊值法求解．

　求代数式的取值范围

[典例2－2]　(1)已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．

(2)已知－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．

(1)(－4,2)　(1,18)　(2)(3,8)　[(1)∵－1＜x＜4,2＜y＜3，

∴－3＜－y＜－2，

∴－4＜x－y＜2；

由－1＜x＜4,2＜y＜3得

－3＜3x＜12,4＜2y＜6，

∴1＜3x＋2y＜18.

(2)设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，则

2x－3y＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，

∴，解得

∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)．

由－1＜x＋y＜4得－2＜－(x＋y)＜，

由2＜x－y＜3得5＜(x－y)＜.

∴3＜2x－3y＜8.]

点评：x＋y，x－y,2x－3y看作三个整体，整体中x，y相互制约．

1．“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

A　[由a＞b＞0得a2＞b2，∴a2＋a＞b2＋b.

反之由a2＋a＞b2＋b可得(a2＋a)－(b2＋b)＞0，

即(a－b)(a＋b＋1)＞0，

∴或

即或无法推出a＞b＞0.

因此，“a＞b＞0”是“a2＋a＞b2＋b”的充分不必要条件，故选A．]

2．已知－1＜x＜y＜3，则x－y的取值范围是________．

(－4,0)　[由－1＜x＜y＜3得，－1＜x＜3，－3＜－y＜1.

∴－4＜x－y＜4，又x＜y.

∴x－y＜0.

∴－4＜x－y＜0.]

3．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．

(－π，2π)　[设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，则

3α－β＝(m＋n)α＋(n－m)β.

∴，解得，

∴3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)．

由－＜α－β＜得－π＜2(α－β)＜π，

∴－π＜3α－β＜2π.]