备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题

这是一份备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题，共2页。试卷主要包含了[命题点1]已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
（1）求C的方程.
（2）斜率为－3的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线PA，PD的斜率存在且分别为k1，k2，证明：k1k2为定值.
解析 （1）设F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝a2＋b2.
因为｜PF1｜·｜PF2｜＝10，所以（3+c）2+1·（3－c）2+1＝10，解得c＝4.
所以2a＝（3+4）2+1－（3－4）2+1＝42，解得a＝22，所以b2＝c2－a2＝8，
所以C的方程为x28－y28＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（－x2，－y2）.
设直线l的方程为y＝－3x＋m，
将其与双曲线C的方程联立，消去y得8x2－6mx＋m2＋8＝0，
由Δ＝（－6m）2－32（m2＋8）＞0，得｜m｜＞8，
所以x1＋x2＝3m4，x1x2＝m2+88，
所以y1y2＝（－3x1＋m）（－3x2＋m）＝9x1x2－3m（x1＋x2）＋m2＝－m28＋9.
所以k1k2＝y1－1x1－3·－y2－1－x2－3＝y1y2＋y1－y2－1x1x2+3x1－3x2－9＝
－m28+8－3（x1－x2）m28－8+3（x1－x2）＝－1，所以k1k2为定值.
2.[命题点2/2023山东日照统考一模]已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，E为C上的动点，EQ垂直于动直线y＝t（t＜0），垂足为Q，当△EQF为等边三角形时，其面积为43.
（1）求C的方程.
（2）设O为原点，过点E的直线l与C相切，且与椭圆x24＋y22＝1交于A，B两点，直线OQ与AB交于点M，试问：是否存在t，使得｜AM｜＝｜BM｜？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.
解析 （1）因为△EQF为等边三角形时，其面积为43，
所以12×｜EQ｜2sinπ3＝43，解得｜EQ｜＝4.
根据｜EF｜＝｜EQ｜和抛物线的定义可知，Q落在C的准线上，即y＝t＝－p2.
如图，设准线与y轴的交点为H，易得∠HFQ＝π3，于是｜FH｜＝｜FQ｜csπ3＝2＝p，所以C的方程为x2＝4y.
（2）假设存在t，使得｜AM｜＝｜BM｜，则点M为线段AB的中点.
设E（x0，x024）（x0≠0），依题意得Q（x0，t），则kOQ＝tx0，
由y＝x24可得y'＝x2，所以切线l的斜率为kl＝12x0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x1＋x22，y1＋y22），
由x124＋y122=1，x224＋y222=1，可得x12－x224＋y12－y222＝0，
即（x1＋x2)(x1－x2）4＋（y1＋y2)(y1－y2）2＝0，
整理可得y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝－12，即kl·kOM＝－12，
所以12x0·kOM＝－12，可得kOM＝－1x0，又kOQ＝kOM＝tx0，
所以t＝－1.
综上，存在t＝－1，使得｜AM｜＝｜BM｜.